数理方程与特殊函数(钟尔杰)4方程求解叠加原理

x xLeabharlann Baidu
at c1 at c2
x at x at
dt
Jacobi矩阵
t x
t x
a
1
a 1
2/15
ut
ux
u t u x
ut ux
t x
t x
u u
u
t
u
a
1
x
u
a 1
u
t
a
1
x
a1
2 t 2
a12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y 0
标准型: y2u 0 u 0 u f ( )
u f ( ) g( )
通解: u y f ( y ) g( y ) xx
物理现象的叠加性：几种不同的因素同时出现时所 产生的效果，等于各个因素单独出现时所产生的效 果的总和（叠加）。 在同一时刻同一高度,B球自由下落,A球向水平方向 射出.实验结果是A,B两球同时落地
a12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y
a11
2 x
2a12x y
a22
2 y
0
a11
2 x
/
2 y
2a12 x
/y
a22
0
(x, y) C
x
y
dy dx
0
dy dx
x
/
y
特征方程
a11
(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
一般 a11(dy)2 2a12dydx a22 (dx)2 0
[ x
y
]aa1211
a12 a22
x
y
( x, y) ( x, y)
ux uy
x y
x u
y
u
Q
x y
x
y
x
Q
y
a11uxx 2a12uxy a22uyy a11u 2a12u a22u
[ x
y
]aa1211
n
2
n
L
aij
i , j1
xix j
2 bi
i 1
xi
c
显然: L[c1u1+ c2u2]= c1 Lu1+ c2 Lu2
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叠加原理1: 设ui满足线性微分方程 Lui = fi (i=1,···,n)
dx
dx
ln y = ln x + C0 y = Cx
y
x
y
y
J
x2 1
x
0 y 1 x2
x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0
a11
a12
a22
x y
x y
y
x2 1
0
1
a11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 0
x
a22 a11x2 2a12xy a22y2 y2
A球水平方向的运动 不影响竖直方向的运 动, 抛射体运动是两 个方向运动的叠加
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u(x1, x2,···, xn)满足二阶线性微分方程
n
2u
n u
aij
i , j1
xix j
2 bi
i 1
xi
cu
f
记
n
2u
n u
Lu
aij
i , j1
xix j
2 bi
i 1
xi
cu
引入二阶线性微分算子
4. 将变换表达式代入得原方程通解
u f ( y 1 x) g( y 2 x)
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例2 求方程的通解 uxx+ 2uxy – 3uyy = 0 解: 由特征方程 2 2 3 0
( 1)( 3) 0 1 3
变换:
y x y 3x
x y
x y
1 1
通解 u(x, t) = f(x – at ) + g(x + at )
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二阶方程自变量的变换: a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f
2u
2u
2u
a11 x 2 2a12 xy a22 y2
2
2
2
a11 x 2 2a12 xy a22 y2
a2
2 x 2
[ t
x
1 ]0
0 a
2
t
x
[
a
]
a
1 1 1 0
0 a
a
2
1
a1
3/15
[
0
] 2a2
2a 0
2
4a 2
2
2 ( t 2
a2
2 x 2
)u
0
4a2 2u 0
u f ( ) g()
x at x at
3
1
a12 =1 ·1 ·(–3) +1·[1+(-3)]–3= –8
8u 0 u 0
u f ( ) g()
通解: u f ( y x) g( y 3x)
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例3 求方程 uxx – 4x2uyy = 0 的通解
解: 由特征方程 ( dy )2 4x 2 0 dx
dy 2x, dy 2x
dx
dx
y x2 C1 y x2 C2
变换:
x2 y
x2
y
x y
x y
2x 1
2x
1
a12 4x 2 4x 2 (1) 8x 2
8x2u 0
u 0 u f ( ) g()
通解: u f ( x2 y) g( x2 y)
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1. 由 a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy=0 构造二次方程 a112 2a12 a22 0
求解, 得 1 2
2. 构造线性变换 y 1 x, y 2 x
a12 a1112 a12 (1 2 ) a22
3. 写出新方程及通解.
u 0 u f ( ) g()
《 数理方程》4
方程化简求解方法 可逆变换与特征方程 方程求解典型例题 线性方程的叠加原理
例1 求一维齐次双曲型方程通解
2u t 2
a2
2u x 2
0
2 ( t 2
a2
2 x 2
)u
0
特征方程
( dx )2 a2 0
令 dx
dt
dt
2 a2 0 1,2 a
dx a,
dt dx a
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例4. 讨论 x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0 的类型,并化
为标准型,再求通解.
判别式: a122 – a11a22 = (xy)2 – x2y2 = 0
故,该微分方程为抛物型
特征方程
dy y dx x
构造变换:
x2( dy )2 2xy( dy ) y2 0
a12 a22
x
[
y
]aa1211
a12 a22
a11 a21
a12
a22
x x
y a11
y
a21
a12 x
a22
y
x
y
其中 a11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 =0
a22 a11x2 2a12xy a22y2 =0