数理方程与特殊函数(钟尔杰)4方程求解叠加原理
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4叠加原理
2 2 2 t x 2
二阶偏微分方程
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a 22 2 b1 b2 cu f xy x y x y
可简写为 L[u ] f . 齐次形式为： Lu 定解条件 线性算子：
0
g 可简写为
形式解：未经过严格数学理论验证的解为形式解。
8、求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分离变量法、 特征线法、格林函数法
例2.1 设F x , G x 在直线R上具有二阶连续导 ) 验证 u1和u 2 数，u1 ( x, t ) F ( x at ), u 2 ( x, t ) G ( x at ， 2 xot u a u xx 0 的古典解. 在 平面上都是 tt
三、线性方程的叠加原理
1、线性偏微分方程的一般形式 一般二阶线性偏微分方程（n个自变量）
n 2u u Aik Bi cu f 0 xi xk i 1 xi i 1 k 1 n n
两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu f x x y y x y
2 2 2
其中
u ( x, y, )
是未知多元函数，而 为
是未知变量；
u u , , x y
x, y,
u 的偏导数.
有时为了书写方便，通常记
u u 2u ux , uy , , u xx 2 , x y x
(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称
2 u ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t ) 2u u 2 f ( x, t ), 0 x l, t 0 2 a W (0, t ) u1 (t ) 2 t x W (l , t ) u 2 (t ) u ( 0 , t ) u ( t ), u ( l , t ) u ( t ), t 0 1 2 此方法在使得非齐次边界 u ( x,0) 条件齐次化的同时将导致 u ( x,0) ( x), t ( x), 0 x l 方程的非齐次化。能否做 2 2 2 2 V W 2 V 2 W 到两者同时齐次化？ f ( x, t ) a 2 , 2 a 2 2 x x t u ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t ) t V (0, t ) u1 (t ) W (0, t ), u (l , t ) u2 (t ) W (l , t ), u ( x,0) W u ( x,0) ( x) W ( x,0), t ( x) t ( x,0), 2 2 若f(x,t)和非齐次边界条 W W 2 f ( x, t ) a 2 0, 2 件都与t无关，则此时W x t 仅是x的函数W(x) W (0, t ) u1 (t ),W (l , t ) u2 (t ) a 2W f ( x) 0, 若能从中求出W(x,t)，就 W (0) u1 , W (l ) u2 可以实现两者同时齐次化。 但一般很难求出!
数理方程与特殊函数(钟尔杰)总复习pa
2π
性质12
F [(x )] （ x ） e j x d x e j xx 0 1
四、n维Fourier变换
F (1 , 2 , , n ) F [f( x 1 ,x 2 , ,x n ) ]
f( x 1 , x 2 ,
,x n ) e j( 1 x 1 2 x 2 n x n ) d x 1 d x 2 d x n
uS (x, y, z)
称这两个定解问题分别为Laplace方程Dirichlet问题与Poisson方程Dirichlet问题。
Neumann问题（第二类边值问题）：在空间中 某光滑的闭曲面S上给出连续函数 ，要求找 出一个函数 u(x, y, z) ，在V内满足
u 0, (x, y, z)V
二、正（余）弦变换的定义
定义2 Fourier余弦变换是指
fˆc()
f(x)cosxdx
0
定义3 Fourier逆余弦变换是指
f(x)2 π
fˆc()cosxd
0
定义4 Fourier正弦变换是指
fˆs()
f(x)sinxdx
0
定义5 Fourier逆正弦变换是指
f(x)2 π
fˆs()sinxd
L
L
n0, 1 , 2,
定义1 fˆ ( ) 称为f(x)的Fourier变换，f(x)称为 fˆ ( ) 的Fourier逆变换。
Fourier变换有多种形式。这些形式的差异主 要体现在积分号前的系数以及被积函数中指 数函数的指数符号。本书采用工程应用中典 型的定义形式，这样的Fourier变换许多性质 也可以从物理上得到解释。
2πj j
作 L1[f(s)]f(x)
二、Laplace变换的存在定理
数理方程与特殊函数(钟尔杰)2弦振动和几类波动方程的定解条件
03
应用
贝塞尔函数在解决弦振动问题、电磁学、光学等领域的问题中有着广泛的应用。
贝塞尔函数
01
定义
贝塞尔函数是一类在数学和物理中广泛应用的特殊函数，通常记作Jn(x)，其中n为非负整数。
02
性质
贝塞尔函数具有一些重要的性质，例如它们是正交的，具有递推关系等。
定义
01
勒让德函数是一种在数学和物理中常用的特殊函数，通常记作Pn(x)和Qn(x)。
应用
高斯函数在解决各种问题中有着广泛的应用，例如统计学、信号处理、图像处理等。
高斯函数
04
弦振动方程的定解条件
弦振动方程的建立
两种常见的弦振动方程：离散型弦振动方程和连续型弦振动方程。
离散型弦振动方程适用于具有固定节点或支撑的弦，而连续型弦振动方程适用于无节点或自由支撑的弦。
建立过程：弦振动方程是通过将物体的质量、弹性系数、阻尼系数等物理参数代入牛顿第二定律，结合初始条件和边界条件而建立的。
在统计力学中的应用
07
研究结论与展望
证明了2弦振动方程的解的存在性和唯一性，并给出了其解的表达式。
研究了几类波动方程的定解条件，给出了其解的表达式和稳定性条件。
探讨了这些方程在实际问题中的应用，并给出了相应的实例分析。
分析了2弦振动方程的稳定性，得到了其稳定性的充分条件。
研究结论
研究展望
进一步研究2弦振动方程和其他复杂振荡系统的动力学行为，以及它们在物理、工程和其他领域的应用。
研究内容与方法
02
数理方程的基本概念
1
偏微分方程概述
2
3
偏微分方程是指包含未知函数及其偏导数的等式。
偏微分方程的定义
数理方程与特殊函数 第一章 王元明版课件
自变量的个数是两个或者两个以 上的微分方程称为偏微分方程
数理方程学科发展
微积分产生后，人们开始把力学中的一些问 题和规律归结为偏微分方程进行研究。 十八世纪初，弦振动问题归结为偏微分方程 并探讨了它的解法。 流体的运动 弹性体的平衡和振动 热传导 电磁相互作用 原子核和电子的相互作用
发展（续）
在研究物理现象的过程中，人们对偏微分方程的 性质也了解得越来越多，越来越深入，从而形成 了数学中得一门重要得分支——偏微分方程理论。 它既有悠久的历史，又不断地更新它的对象、内 容和方法。由于它直接联系着许多自然现象，所 以又不断地产生需要解决的新课题和新方法。
偏微分方程的有关术语
齐次和非齐次
自由项：方程中不含未知函数及其各阶偏导数的项
∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ) ∂t 2 ∂x
∂u ∂ 2u = a2 2 ∂t ∂x
自由项为0 齐次 自由项不为0 非齐次
偏微分方程的有关术语
偏微分方程的解 若一个函数具有所需要的各阶连续偏导数，且代 入方程后使该方程成为恒等式，则该函数称为偏 微分方程的解
课程考核
考核方式： 闭卷书面考试+平时成绩
课程要求
（1）上课认真听讲、积极发言 （2）课前预习，课后复习 （3）独立完成作业，每周一交作业
什么是数理方程？
质点的自由落体运动
位移随时间的变化
∂ u =g 2 ∂t
2
自感电路的 电流滋长
电流随时间的变化
dI ε − L = IR dt
研究某个物理量（位移、电流）怎样随时间变化 以时间为自变量的常微分方程
∂u 小段的相对伸长为 ，在x点处为 ∂u ( x, t ) ∂x ∂x ∂u ( x + Δx, t )
数学物理方程第四章_格林函数
1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有
∫
Ω
(G∆u − u∆G )dr = −
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0
且
∫Байду номын сангаас
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨
且
⎧0, ⎩∞,
∫
= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为
∫
Ω
(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n
数理方程与特殊函数(钟尔杰)7非齐次方程求解
8/13
将 f(x, t )也展开为固有函数Xn(x) 的级数
n f ( x , t ) f n ( t ) sin x L n 1 n W ( x , t ) Tn ( t ) sin x L n 1
代入方程: Wtt – a2Wxx = f(x,t)
na 2 n n [Tn ( ) Tn ] sin x f n ( t ) sin x L L L n 1 n 1
utt = a2uxx + A Vtt =a2[Vxx + W”] + A 取 Vtt =a2Vxx 得常微分方程: a2W”+ A = 0
2/13
求常微分方程问题
2 a W A 0 W x 0 0,W x L B
得
A 2a 2 B W 2 x[( L ) x] 2a AL
《数学物理方程》第三章§5
非齐次方程求解方法
特解齐次化方法 固有函数展开方法
1/13
P.51例6
4 8 utt u xx ( 0 x , t 0) 9 9 u x 0 0, u x 2
u t 0 si n3 x x 2 , ut
t 0
设问题II的解可以按固有函数展开
W ( x, t ) Tn ( t ) X n ( x )
其中, Xn(x)是满足齐次边界条件的固有函数
nx X n ( x ) sin L
n 0
X n 0, 0 x L Xn X (0) 0, X ( L) 0
0
utt a 2 u xx A 例1. 求定解问题 u x 0 0, u x L B u t 0 0, u t t 0 0
将 f(x, t )也展开为固有函数Xn(x) 的级数
n f ( x , t ) f n ( t ) sin x L n 1 n W ( x , t ) Tn ( t ) sin x L n 1
代入方程: Wtt – a2Wxx = f(x,t)
na 2 n n [Tn ( ) Tn ] sin x f n ( t ) sin x L L L n 1 n 1
utt = a2uxx + A Vtt =a2[Vxx + W”] + A 取 Vtt =a2Vxx 得常微分方程: a2W”+ A = 0
2/13
求常微分方程问题
2 a W A 0 W x 0 0,W x L B
得
A 2a 2 B W 2 x[( L ) x] 2a AL
《数学物理方程》第三章§5
非齐次方程求解方法
特解齐次化方法 固有函数展开方法
1/13
P.51例6
4 8 utt u xx ( 0 x , t 0) 9 9 u x 0 0, u x 2
u t 0 si n3 x x 2 , ut
t 0
设问题II的解可以按固有函数展开
W ( x, t ) Tn ( t ) X n ( x )
其中, Xn(x)是满足齐次边界条件的固有函数
nx X n ( x ) sin L
n 0
X n 0, 0 x L Xn X (0) 0, X ( L) 0
0
utt a 2 u xx A 例1. 求定解问题 u x 0 0, u x L B u t 0 0, u t t 0 0
数理方程第四章格林函数法
第4章格林函数法
格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微
分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯
(4.1.1)
求方程(4.1.1)的球对称解u V (r ) (即与 和 无关的解) ,则有：
c1 其通解为：V ( r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r 1 若取 c1 1, c2 0,则得到特解 V0 ( r ) ,称此解为三维Laplace r
方程的边值问题。
2
上午5时5分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.1 格林公式及其应用
4.1.1 基本解 对拉普拉斯方程 u uxx u yy uzz 0 , 其球坐标形式为：
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
u 0, ( x, y, z ) 推论2 Dirichlet问题 的解是唯一的。 u f ( x, y, z )
9
上午5时5分
HUST 数学物理方程与特殊函数
如图4.1 , 以
u(M ) u(M 1 ) .
M1
第4章格林函数法
证明： （ 反证法）假设 u 在 内某点 M 1 达到最大值， 为中心，任意长 R 为半径作球 k R ,使 它完全落在区域 中，记 kR 的球面为 S R , 则在 SR 上有 这是因为，若 M ，使u ( M ) u ( M 1 ) ,则由函数的 连续性，必可找到此点在球面 S R上的一个邻域，在此 邻域中，也有 u ( M )
数理方程教案08
教师教案( 2008—2009学年第一学期 )课程名称：数学物理方程与特殊函数授课学时：32学时授课班级：微固学院、光电学院2007级任课教师：钟尔杰教师职称：副教授教师所在学院：应用数学学院电子科技大学第一章 绪论授课时数：共2学时 1次课完成本章教学内容 一．教学内容及要求 1. 教学内容1.1常微分方程基础(1学时)； 1.2常用算符与函数(1学时)；2. 教学要求(1)复习二阶常微分方程通解概念；(2)学会求解二阶常微分方程的常数变易法； (3)了解格林公式和高斯公式。
二．教学重点与难点 1. 教学重点二阶常系数常微分方程求解方法。
2. 教学难点二阶常微分方程的常数变易法。
三．教学方式1． 提问方式：常系数齐次二阶常微分方程求解方法；2． 类比方式：一阶常微分方程与二阶常微分方程常数变易法对比3． 绘图方式：绘制多边形图形说明格林公式应用，绘制三维立体说明高斯公式应用。
四、作业 思考题：1.微分方程和代数方程的最大区别是什么?2.常系数齐次二阶常微分方程的系数满足什么条件时,通解中含有正弦函数？3.给定两个函数y1和y2,如何构造朗斯基行列式？4.谐振动中的参数 ω有何意义？5.不定积分dx x ⎰cos 与⎰dx y x ),cos(的结果有何区别？五、本章参考资料蔡日增，俞华英, 数学物理方法学习与解题指导, 长沙：湖南科学技术出版社，1988 六、教学后记本章主要介绍数理方程与特殊函数课的主要内容，回顾与数理方程相关的微积分内容，并介绍数理方程的历史背景和工程背景以及课程中的常用数学思想方法。
重点是常微数方程的求解方法，二阶常微分方程常数变易法，按计划完成了教学内容，效果较好。
第二章定解问题与偏微分方程理论授课时数：共6学时分为3次课完成本章教学内容一．教学内容及要求1. 教学内容2.1波动方程及定解条件(2学时)；2.2热传导方程及定解条件(1学时)；2.3方程的化简与分类(3学时)。
数学物理方程-典型方程和定解条件名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
运动时，弦上各点旳运动规律。
简化假设：
(1)柔软：弦上旳任意一点旳张力沿弦旳切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦旳截面直径与长度相比可忽视，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀旳，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦旳平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴旳方向运动；
x
x
即x点处的应变为 u(x,t) . x
若略去垂直杆长方向的变形，根据Hooke定律，弹(应)力P与应变 u x
成正比：P E u , E为杆的Young模量,故
x
2u t 2
E
2u x2
,
2u t 2
a2
2u x2
,
（其中a
E）.
例3、热传导方程
热传导现象：当导热介质中各点旳温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
☆ 特殊函数
在求解某些类型旳数理方程时，采用分离变量法所得到旳方程旳解 是某种特殊函数，例如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)函 数等。其中有些特殊函数我们在“微积分”课程中已经学习而且研究 过其性质。在本课程中，我们只讨论它们在数理方程中旳应用问题。
☆ 课程旳内容： 三类方程、 四种求解措施、 二个特殊函数
t1 V
t
M V
S
热场
t2 k2udVdt t2 c udVdt
t1 V
t1 V
t
k2u c u u k 2u a22u （齐次）热传导方程 t t c
如果介质内部有热源，设单位时间内单位体积介质中产生的热量
为Fx, y, z, t ，由能量守恒定律有
t2 k2udVdt t2 FdVdt t2 c udVdt
简化假设：
(1)柔软：弦上旳任意一点旳张力沿弦旳切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦旳截面直径与长度相比可忽视，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀旳，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦旳平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴旳方向运动；
x
x
即x点处的应变为 u(x,t) . x
若略去垂直杆长方向的变形，根据Hooke定律，弹(应)力P与应变 u x
成正比：P E u , E为杆的Young模量,故
x
2u t 2
E
2u x2
,
2u t 2
a2
2u x2
,
（其中a
E）.
例3、热传导方程
热传导现象：当导热介质中各点旳温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
☆ 特殊函数
在求解某些类型旳数理方程时，采用分离变量法所得到旳方程旳解 是某种特殊函数，例如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)函 数等。其中有些特殊函数我们在“微积分”课程中已经学习而且研究 过其性质。在本课程中，我们只讨论它们在数理方程中旳应用问题。
☆ 课程旳内容： 三类方程、 四种求解措施、 二个特殊函数
t1 V
t
M V
S
热场
t2 k2udVdt t2 c udVdt
t1 V
t1 V
t
k2u c u u k 2u a22u （齐次）热传导方程 t t c
如果介质内部有热源，设单位时间内单位体积介质中产生的热量
为Fx, y, z, t ，由能量守恒定律有
t2 k2udVdt t2 FdVdt t2 c udVdt
数理方程与特殊函数(钟尔杰)例题与习题1
其中, f 和 g 是任意函数
1/16
例1.分离变量法求解 波动方程定解问题
解:利用公式
utt
a2uxx , 0
x
,t
0
u x0 0, u x 0
u t0 sin(3 x),ut t0 0
u( x, t) [Cn cos(ant ) Dn sin(ant )]sin(nx )
n1
Cn Dn
2
0
2
na
sin(3 )sin(n
1
0sin(n )d
0
)d
0
0, 1,
n3 n3
u( x, t) cos(3at)sin(3x)
2/16
f
(x)
4
k 1
1 sin(2k 2k 1
1)x
1 0
， ,
x [0 , 1] x [0 , 1]
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
X
(0)
0,
[X
hX ]xL
0
通解: X ( x) Acos x B sin x
X(0)=0
A=0 X B sin x
[ X hX ]xL 0
cos L hsin L 0
习题2.4,2题(求方程通解)
(1) uxx +10 uxy +9 uyy = 0
解:特征方程 2 10 9 0 ( 1)( 9) 0
dy 1
dx dy 9
dx
原方程化简为
y x C1
x y
y 9x C2 9x y
u 0 u f ( ) g()
u f (x y) g(9x y)
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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n
2
n
L
aij
i , j1
xix j
2 bi
i 1
xi
c
显然: L[c1u1+ c2u2]= c1 Lu1+ c2 Lu2
14/15
叠加原理1: 设ui满足线性微分方程 Lui = fi (i=1,···,n)
a2
2 x 2
[ t
x
1 ]0
0 a
2
t
x
[
a
]
a
1 1 1 0
0 a
a
2
1
a1
3/15
[
0
] 2a2
2a 0
2
4a 2
2
2 ( t 2
a2
2 x 2
)u
0
4a2 2u 0
u f ( ) g()
x at x at
a12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y
a11
2 x
2a12x y
a22
2 y
0
a11
2 x
/
2 y
2a12 x
/y
a22
0
(x, y) C
x
y
dy dx
0
dy dx
x
/
y
特征方程
a11
(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
一般 a11(dy)2 2a12dydx a22 (dx)2 0
3
1
a12 =1 ·1 ·(–3) +1·[1+(-3)]–3= –8
8u 0 u 0
u f ( ) g()
通解: u f ( y x) g( y 3x)
9/15
例3 求方程 uxx – 4x2uyy = 0 的通解
解: 由特征方程 ( dy )2 4x 2 0 dx
10/15
例4. 讨论 x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0 的类型,并化
为标准型,再求通解.
判别式: a122 – a11a22 = (xy)2 – x2y2 = 0
故,该微分方程为抛物型
特征方程
dy y dx x
构造变换:
x2( dy )2 2xy( dy ) y2 0
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1. 由 a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy=0 构造二次方程 a112 2a12 a22 0
求解, 得 1 2
2. 构造线性变换 y 1 x, y 2 x
a12 a1112 a12 (1 2 ) a22
3. 写出新方程及通解.
u 0 u f ( ) g()
A球水平方向的运动 不影响竖直方向的运 动, 抛射体运动是两 个方向运动的叠加
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u(x1, x2,···, xn)满足二阶线性微分方程
n
2u
n u
aij
i , j1
xix j
2 bi
i 1
xi
cu
f
记
n
2u
n u
Lu
aij
i , j1
xix j
2 bi
i 1
xi
cu
引入二阶线性微分算子
dx
dx
ln y = ln x + C0 y = Cx
y
x
y
y
J
x2 1
x
0 y 1 x2
x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0
a11
a12
a22
x y
x y
y
x2 1
0
1
a11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 0
x
a22 a11x2 2a12xy a22y2 y2
《 数理方程》4
方程化简求解方法 可逆变换与特征方程 方程求解典型例题 线性方程的叠加原理
例1 求一维齐次双曲型方程通解
2u t 2
a2
2u x 2
0
2 ( t 2
a2
2 x 2
)u
0
特征方程
( dx )2 a2 0
令 dx
dt
dt
2 a2 0 1,2 a
dx a,
dt dx a
a12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y 0
标准型: y2u 0 u 0 u f ( )
u f ( ) g( )
通解: u y f ( y ) g( y ) xx
物理现象的叠加性：几种不同的因素同时出现时所 产生的效果，等于各个因素单独出现时所产生的效 果的总和（叠加）。 在同一时刻同一高度,B球自由下落,A球向水平方向 射出.实验结果是A,B两球同时落地
通解 u(x, t) = f(x – at ) + g(x + at )
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二阶方程自变量的变换: a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f
2u
2u
2u
a11 x 2 2a12 xy a22 y2
2
2
2
a11 x 2 2a12 xy a22 y2
4. 将变换表达式代入得原方程通解
u f ( y 1 x) g( y 2 x)
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例2 求方程的通解 uxx+ 2uxy – 3uyy = 0 解: 由特征方程 2 2 3 0
( 1)( 3) 0 1 3
变换:
y x y 3x
x y
x y
1 1
a12 a22
x
[
y
]aa1211
a12 a22
a11 a21
a12
a22
x x
y a11
y
a21
a12 x
a22
y
x
y
其中 a11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 =0
a22 a11x2 2a12xy a22y2 =0
x x
at c1 at c2
x at x at
dt
Jacobi矩阵
t x
t x
a
1
a 1
2/15utຫໍສະໝຸດ uxu t u x
ut ux
t x
t x
u u
u
t
u
a
1
x
u
a 1
u
t
a
1
x
a1
2 t 2
dy 2x, dy 2x
dx
dx
y x2 C1 y x2 C2
变换:
x2 y
x2
y
x y
x y
2x 1
2x
1
a12 4x 2 4x 2 (1) 8x 2
8x2u 0
u 0 u f ( ) g()
通解: u f ( x2 y) g( x2 y)
[ x
y
]aa1211
a12 a22
x
y
( x, y) ( x, y)
ux uy
x y
x u
y
u
Q
x y
x
y
x
Q
y
a11uxx 2a12uxy a22uyy a11u 2a12u a22u
[ x
y
]aa1211