直线和圆的位置关系与圆的切线的性质

A ●O
B
1．（青岛·中考）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆， 则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A
A．相离 答案：B
C B．相切
C．相交
B D．相切或相交
2.（娄底·中考）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为
圆心、3为半径的圆，一定（
●O
●O
●O
2．如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD 有怎样的位置关系?说说你的理由.
小颖的理由是: B
∵右图是轴对称图形,AB是对称轴,
∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,
●O
因此,∠BAC=∠BAD=90° 小亮的理由是:
C
D
A
直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离; 当r=4cm时,d<r,AB与⊙C相交.
巩固练习
1.已知圆的半径等于5,直线l与圆没有交点,则圆心到直 线的距离d的取值范围是 d>5 .
2.直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距离为8,则 r的取值范围是 r>8 .
3．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD
与⊙O相交所以AB与CD垂直.
这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径 几何语言： ∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径, ∴CD⊥OA.
例2、已知:如图,P是⊙O外一点,PA,PB 都是⊙O的切线,A,B是切点.请你观察猜 想,PA,PB有怎样的关系?并证明你的结 P 论.
解:(1)过点C作CD⊥AB于点D. A
D ∵AB=8cm,AC=4cm.
cos A AC 1 . AB 2
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┐
C
B
∴∠A=60°.
CD AC sin A 4sin 60 2 3 cm .
因此,当半径长为 2 c3m时,AB与⊙C相切.
(2)由(1)可知,圆心到AB的距离d=2 3cm,所以
）
A.与x轴相切，与y轴相切
B.与x轴相切，与y轴相交
C.与x轴相交，与y轴相切
D.与x轴相交，与y轴相交
答案：C
3.（赤峰·中考）如图，⊙O的圆心到直线l的距离为3cm， ⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移， 使l与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A.1cm
B.2cm
C.4cm
新知探究
探究 作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,试说出直线和圆有几种
位置关系?
●O
●O
相交
直线和圆有两个 公共点
相切
直线和圆有一个 公共点
●O
相离
直线和圆没有公 共点
直线和圆的位置关系
•o
直线和圆有两个公共点时，叫做直 线和圆相交.这时直线叫做圆的割线
l
直线和圆有唯一公共点时，叫做直
（2）根据性质，圆__心__到__直__线__的__距__离__d_与__半__径__r__的关系来 判断. 在实际应用中，常采用第二种方法判定.
直线和圆的三种位置关系
直线与圆的 位置关系
相交
相切
公共点个数 公共点名称 直线名称 数量关系
2
1
交点
切点
割线 d<r
切线 d=r
相离
0
无 无 d>r
第三章 圆
3.6 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
复习回顾
点和圆的位置关系有几种？
（1）d<r （2）d=r （3）d>r
点在圆内 点在圆上 点在圆外
太阳与地平线的位置关系,列车 的轮子与铁轨之间的关系, 给 你留下了_直__线__与__圆__的位置关系 的印象.
1、了解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。 2、能根据条件判断直线与圆的位置关系。 3、掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系。 4、运用切线的性质定理解决问题。
D.2cm或4cm
·O l
答案：D
【规律方法】直线与圆位置关系的判定可以从数的角度 和形的角度进行判定，数的角度是圆心到直线的距离； 形的角度是直线与圆的交点的个数.
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由__直__线__与__圆__的_公__共__点___的个数来判断；
“点和圆的位置关系”怎样判断？
做一做
图形 A
• •o
A
• •o A•
•o
点和圆的三种位置关系
点与圆的位置关 圆心到点的距离
系
d与半径r的关系
点在圆外
d>r
点在圆上
d=r
点在圆内
d<r
仿照这种方法怎样判断“直线和圆的位置关系”？
探究新知
直线和圆的位置关系
令圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r
Ｏ
1.直线和圆相离
•o
线和圆相切.这条直线叫做圆的切线.
唯一的公共点叫切点.
M
l
•o
l
直线和圆没有公共点时，叫做 直线和圆相离.
你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?
想一想 （1） l
·O
相离 （4）
看图判断直线l与⊙O的位置关系
（2）
（3）
·O
l
l 相交
·O
相切
·O
相交
l
利用公共点的个数判断直线和圆的位置关系具有一定 的局限，你有更好的判断方法吗？
d>r
r
d
┐
l
2.直线和圆相切
d=r
ｏ dr
┐l
3.直线和圆相交
d<r
rO ┐d l
例1、已知Rt△ABC的斜边AB=8cm, AC=4cm. (1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切? (2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这 两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
位置关系是（ C ）
A．相离
B.相交
C. 相切
D.相切或相交
4.已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则x轴与 ⊙A的位置关系是_相__离__, y轴与⊙A的位置关系是_相__切___.
提示：求圆心A到x轴，
y
y轴的距离各是多少.
B Ox
4
A.(-3,-4) C 3
新知探究
议一议：1．下面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能 画出它们的对称轴吗?你能由此悟出点什么？