变化率问题 精品教案

变化率问题

【教学目标】

1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．学会求函数在某点处附近的平均变化率

【教学重难点】

平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 平均变化率的概念。

【教学过程】

一、创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

1．已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等； 2．求曲线的切线；

3．求已知函数的最大值与最小值； 4．求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。 二、新课讲授

1．问题提出 问题1：气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。从数学角度，如何描述这种现象呢？

气球的体积V （单位：L ）与半径r （单位：dm ）之间的函数关系是33

4

)(r r V π=

如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么3

43)(π

V V r =

分析： 3

43)(π

V

V r =，)(62.0)0()1(dm r r ≈-；)(16.0)1()2(dm r r ≈- （1）当V 从0增加到1时，气球半径增加了

气球的平均膨胀率为)

/(62.001)

0()1(L dm r r ≈-- （2）当V 从1增加到2时，气球半径增加了 气球的平均膨胀率为)/(16.01

2)

1()2(L dm r r ≈--

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均 膨胀率逐渐变小了。 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？

1

212)

()(V V V r V r --

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h （t ）= -4．9t 2+6．5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态？

思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v

在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)

0()5.0(s m h h v =--=

；

在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)

1()2(s m h h v -=--=

探究：计算运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

（1）运动员在这段时间内使静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h （t ）= -4．9t 2+6．5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65

(

h h =， 所以)/(0049

65)

0()49

65

(

m s h h v =--=， 虽然运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，

并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。

2．平均变化率的概念：

h

t

o

（1）上述问题中的变化率可用式子 1

212)

()(x x x f x f --表示， 称为函数f （x ）从x 1到x 2的

平均变化率

（2）若设12x x x -=∆， )()(12x f x f f -=∆ （这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆）

（1） 则平均变化率为

=

∆∆=∆∆x

f

x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f （x ）的图像 平均变化率=

∆∆x

f

直线AB 的斜率

3．典例分析

例1：已知函数f （x ）=x x +-2的图像上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则

=∆∆x

y

。 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，

x 1

x 2

O x

∴x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

解：2

02

0)(x x x y -∆+=∆，所以x

x x x x y ∆-∆+=∆∆2

20)( x x x

x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02

202022

所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02 4．课堂练习

（1）质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 。 （2）物体按照s （t ）=3t 2+t +4的规律作直线运动，求在4s 附近的平均变化率。 （3）过曲线y =f （x ）=x 3上两点P （1，1）和Q （1+Δx ，1+Δy ）作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率。

5．回顾总结

（1）平均变化率的概念

2）函数在某点处附近的平均变化率

【作业布置】