圆环形电流的磁场分布

圆环形电流的磁场分布

福建省石狮市石光中学 陈龙法

摘 要 本文详细推算出圆环形电流的磁场分布（包括磁标势、磁感应强度），证明了圆电流平面上圆内的磁感应强

度为r 的单调增函数，且在圆心处磁感应强度有极小值。

设圆环形电流强度为I ，圆半径为R 0，以圆心为原点，过圆心垂直于圆面的轴为极轴，建立球坐标系。如图所示。用半径为R 0的球面把整个空间分成两个区域，在这两个区域内，磁场的标势分别满足拉普拉斯方程

012=∇m φ （r

=∇m φ （r>R 0）

由于具有轴对称性，磁标势与方位角φ无关，所以满足边界条件

有限−−→−→01r m φ， 有限−−→−∞

→r m 2φ

的通解可取为： ()θφcos 1n n

n

n m P r

a ∑=

（r

()θφcos 12n

n n n

m P r

b ∑+=

（r>R 0） ⑵ r=R 0的球面上，21m m φφ和满足边值关系：

()φααφφe e f f m m r -=-=∇-∇⨯12 ⑶

()012=∇-∇•m m r φφe ⑷

解上列⑴⑵⑶⑷式得：

()()f n n n n n

n n n d dP R b d dP R a

αθθθθ=-∑∑+-cos cos 20

10

⑸

()()()0cos cos 1101

0=++∑

∑--n

n

n n n n n n

P R na P R b n θθ ⑹

其中，面电流密度⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20πθδαR I f ，I 是圆环中的电流强度 。⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-2πθδ可按连带勒让德函数展开：

()()()()θθπθδcos !

1!

1212cos 2n n

n n n P n n n P f '+-+==⎪⎭⎫

⎝

⎛-

∑∑ ⑺

)

又 ()()θθθd dP P n n cos cos -

='， ()002='k P ， ()()()()k

k k k k P 22122

!!1210+-='+ 于是⑸⑹式可化为：

()()θθcos cos 1

00201

n

n n

n

n n n n n n P R

na R I P R b R a -+-∑∑-='⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

()()()0cos cos 1102

=++∑∑

-+n

n n n n n

n n

P R na P R

b n θθ

于是得到系数n n b a 和满足的方程：

()()0121

20

2

010n n n n n P n n n R I R b R a '++-=-

+- ⑻ 01

1

20=++

+n n n R a n n b ⑼ 解⑻⑼式，当n=2k 时，有：

01

40

22=-+k k k R a b 01

2214022=++

+k k k R a k k b 这是关于k k b a 22和的齐次方程组，其系数行列式

012211

1

401

40≠+-++k k R k k

R 所以方程组只有零解，即

022==k k b a ⑽

当n=2k+1时，有：

()()()()212013

20122012!!2222341

k k k k R I

R b R a k k k k k k +++++++-=-

02

2123

401212=+++

+++k k k R a k k b

解得：

()

()()1

221201

122!!21++++-=k k k k k k R I

a ⑾

()()()()()2

122

2012!222!2121k k k k IR b k k k

k +++++-= ⑿ 由⑽⑾⑿及⑴⑵式，得到球内外的磁标势：

()

()()()θφcos 2

!!2112121

221201

1+++++∑-=k k k k k k

m P r k k R I

（r

()()()()()θφcos 1

2!22!211

2221222

2012+++++∑+-=k k k

k k k m P r k k k IR （r>R 0） ⒁

于是球内外的磁感应强度为：

()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-=+++∑θθθθμφμe e B r 1d dP P k R r k k R I k k k

k k

k m cos cos 122!!21121220122001

0 （r

⎤⎢⎣⎡

-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=∇-=++++∑θθθθμφμe e B r d dP P k r R k k k R I

k k k k k

k

m cos cos 222!22!12112123

201

22002

02 （r>R 0） ⒃

根据⒂⒃式，当2

π

θ=

时，利用

()0012=+k P ，

()()()k

k k k k d dP 22122)!(!121)(cos cos +-=+θθ

便得到圆电流平面上圆内和圆外的磁感应强度为：

()θμe B 1k

k k R r a R I

r 20

002∑⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=

（r

βμe B 3

200022+∑⎪⎭

⎫

⎝⎛=k k k r R R I

r (r>R 0) ⒅

其中 ()[]()()442!212!12k k k a k k

++=， ()[]()()

442

!222!12k k k k k ++=β 从⒄式知，

()01>dr

r dB ，故圆电流平面上圆内的磁感应强度()r B 1为r 的单调增函数。当r=0时，

()r B 1为极小，有()R

I

B 2001μ=

，这正是用毕奥—萨伐尔定律求出的圆电流中心的磁感应强度。

（2001/10/22）