高数第1章第2节——数列的极限

n
n
例4 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, qn 0 qn , nln q ln ,
n ln , ln q
取N [llnnq ] 1
0 1
,
2
1
则当n N时, n N 1 [ ln ] 1 ln ,
数列中的第n项an称为一般项或通项.
在几何上,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取 x1 , x2 ,L , xn ,L .
x3 x1 x2 x4 xn
例1:写出下列数列的通项
i) 2,4,8, ,2n , , xn 2n ;
ii)
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
,
,
由1 1 , n 100
只要 n 100,
给定 1 , 1000
要
an
1
1, 1000
只要 n 1000,
给定
1, 10000
要
an
1
1 10000
,
只要 n 10000,
给定 0,
要
an
1
成立，
只要 n
N
1
.
定义1.2.1 若存在常数A，使对任意的 0，
总存在自然数N 0，当n N时，恒有
1 1
n
lim n lim 1 1,
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1
由夹逼定理得
1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
例7 设a 0,证明 lim n a 1. n
证 记an n a 1,则an 0,由牛顿二项式定理可得
a (1 an )n
1
nan
n(n 1) 2!
示 an 无限接近于 A 的过程。
2. N 用来刻划 n 的增大程度，要 |anA|< ，
n 要变化到什么程度。定义中 n>N 表明了比
N 大的各项：aN+1，aN+2,... 都满足 |anA|<, an 是否以 A 为极限，关键是对 >0，这样的
N 是否存在。
3. 一般地，N 与 有关， 取得越小，相应地 N
证
设
an
(1
1 )n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1) (n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
类似地,
an1 11
1 (1 2!
1 )L n 1
an2
L
ann
nan ,
故0
an
a (n n
1,2,L
),
lim a 0, 由夹逼定理得
n n
lim n a 1.
n
例8 (1) 求 lim n 1n 2n 3n . n
解
又 lim 3 3 ,lim 3 n 3 3 ,
n
n
由夹逼定理得 lim n 1n 2n 3n 3 . n
) n1
当
n
时的变化趋势.
播放
问题: 当 n 无限增大时, an 的变化趋势如何？
把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。
当n
时,
an
1
(1)n n
无限接近于 1 .
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
Q
an 1
(1)n 1 1 nn
给定 1 , 100
要
an
1
1 100
(2)
设
a1,a2 ,a3
为正实数，求lim n n
a1n
a2n
a3n .
lim n
n
a1n
a2n
a3n
max{a1,a2 ,a3 }
定理1.2.7 (单调有界收敛准则) 单调有界数列 一定有极限 .
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例9
证明数列an
(1
1 n
)n
n1
是收敛的.
即当n N时,有a cn a ，a bn a ,
从而a cn an bn a , 即 | an a | ，
所以
lim
n
an
a,
例6 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解
又 lim n
n lim n2 n n
1 1,
| an B | | an A | | A B | .
矛盾. 故收敛数列极限唯一.
定理1.2.3
(收敛数列的保号性)
若
lim
n
an
A,
且 A 0 ( 或 A 0 ) , 则 存在正整数 N , 当 n N
时 , an 0 ( 或 an 0).
证 以 A 0的情形为例证明.
第二节 数列的极限
一、数列的概念 二、数列极限的定义 三、数列的极限的性质 四、数列极限存在准则
一、数列的概念
1. 数列的定义
如果函数y f (n)定义在正整数集Z 上,则它
的函数值就是一串有序的数,即
f (1), f (2),L , f (n),L
称其为数列,
记作(an
) n1
,
其中an
f (n).
列
an
n1
有极限,则其极限是唯一的
.
证
设
lim
n
an
不妨设 A
A, B,
又
lim
n
an
由定义, 对
B, |
A
2
B
|
N1, N2 使得 当n N1时恒有 | an A | ;
当n N2 时恒有 | an B | ; 取N maxN1, N2,
则当n N时有| A B | | (an A) (an B) |
| an A | ，
则称常数A是数列an
n1
当n
时的极限，或者
称数列an
n1
当n
时
收敛于A.
记为
lim
n
an
A
,
或
an
A
(n
)
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
N定义 :
lim
n
an
A
0,N Z ,使n N时,恒有 an A .
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
几何意义:
1 (1 1 )(1 2 )L n! n 1 n 2
(1 n 1) n 1
1 (1 1 )(1 2 )L (1 n ). (n 1)! n 1 n 2 n 1
显然 an1 an , an 是单调递增的;
an
11
1 2!
L
1 n!
11
1 2Βιβλιοθήκη 1 2n11 3 2n1 3,
an 是有界的;
例如,
数列
xn
n n
1
有界
数列 xn 2n 无界
数轴上对应于有界数列的点 an 都落在闭区间
[M , M ]上.
3.数列的单调性
如果数列an满足条件 a1 a2 L an an1 L , a1 a2 L an an1 L ,
单调增加 单调数列
单调减少
二、数列的极限
观察数列
(1
(1)n n
证
任给 0,
由于
lim
n
an
A,
则 正整数N , 当n N时恒有 | an A | ，
根据nk k, 当k N 时,有根据nk k N ,
所以 | ank A | ，即数列(ank )k1也收敛于A.
子数列(ank )k1极限与 数列(an )n1极限的关系
lim
n
an
A
lim
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
例3 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
an 1
n (1)n1 1
1
n
n
任给 0,
要 an 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1] 1, 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
a2 a1 aN 1
aN 2 a3 x
当 n N 时 , 所有的点 an 都落在开区间 ( A , A )内,
只有有限个(至多只有 N 个)点落在其外 .
推论
数列
(an
) n1
收敛于
A
对 A的任一
邻域 U(a, ) ,
只有有限多项 an U(a, ) .
说明 ：
1. 是用来刻划 an 与常数 A 的接近程度. 具有任 意性和稳定性的双重意义， 的任意性刻划了an 与A无限接近，同时 又具有相对稳定性，一经取 定，它就确定了，这样用有限形式 |anA|< 来表
xn
n1
是单调递增的 .
lim n
xn
存在.
设
lim
n
xn
A
,
xn1 3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x
2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A,
解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n