随机变量和数学期望-课件
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1.557.5(元)
例题
3. 已知ξ的概率分布律如下表所示：
x
0
1
2
3
P(ξ=x) 0.25 0.3 0.15 0.3
(1) 求Eξ； (2) 若η=2ξ-1，求Eη.
随机变量的均值
• 数学期望是随机变量取值的加权平均数，表 示随机变量取值的平均水平，因此也叫做随 机变量的均值.
• 求下列表中随机变量ξ1和ξ2的数学期望.
x 123
x -0.5 3 4
P(ξ1=x) 0.2 0.6 0.2 P(ξ2=x) 0.4 0.2 0.4
E1E2 2
ξ 取值与均值差的 平方的加权平均数
x 123 P(ξ1=x) 0.2 0.6 0.2
D11E12 p12E12 p23E12 p3 1220.22220.6320.2
0.4.
x -0.5 3 4
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021 9:52:47 AM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/62021/3/62021/3/6M ar-216- Mar-21
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2 .5 （时）
ξ取值的 加权平均数
数学期望
• 一般地，如果随机变量 ξ 可以取x1, x2, …, xn中的任意一个值，取这些 值对应的概率分别为 p1, p2, …, pn， 那么随机变量 ξ 的数学期望为 Eξ= x1p1 + x2p2 + … + xnpn.
备注
1. 数学期望是以概率为权的随机变量的加权 平均数；
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/021/3/6Marc h 6, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/6
4.3(2) 随机变量和数学期望
复习引入
• 随机变量 • 随机变量的分布律
k
1
2
3
4
5
6
P(ξ=k) 0.2 0.4 0.25 0.05 0.05 0.05
• 估计一下他今晚完成作业的时间？
1 0 .2 2 0 .4 3 0 .2 5 4 0 .0 5 5 0 .0 5 6 0 .0 5
(3) 常数C的数学期望是常数本身，即 EC=C.
例题
2. 有一种叫做“天天奖”的彩票，每注售价2 元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金 为50元，那么购买一注彩票的期望收益是 多少元？
解：P(ξ = 48)=0.01；P(ξ = -2)=0.99.
期望中不收奖中益的奖E概 的率 概4为 率8为0P.001.9，9，收48收益益为为428元-2P，元. 2
480.0120.99
1.5（元） 所以购买一注彩票的期望收益是-1.5元， 即损失1.5元.
例题
2. 有一种叫做“天天奖”的彩票，每注售价2 元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金 为50元，那么购买5注彩票的期望收益是多 少元？
解：购买一注的期望收益Eξ=-1.5(元).
因此购买5注的期望收益为
2. 数学期望并不一定等同于常识中的“期望” ——“数学期望”也许与随机变量的每个取 值都不相等.
例题
1. 一种填字彩票，购票者花1元买一张小卡， 购买者在卡上填10以内的三个数字(允许重 复). 如果三个数字依次与开奖的三个有序 的数字分别相等，得奖金600元. 只要有一 个数字不符(大小与次序)，无奖金. 求购 买一张彩票的期望收益.
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/62021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月6日星期 六2021/3/62021/3/62021/3/6
叫做随机变量的方差. 方差的算术平方根叫 做随机变量ξ的标准差.
随机变量的方差或标准差刻画 了随机变量取值的离散程度.
练习
1. 如果随机变量的概率分布律由下表给出：
x
0
2
π
1
P(ξ=x)
4
1
1
2
4
求ξ的数学期望与方差.
2. 设η=cosξ，其中ξ的概率分布律同第1题，
求Eη，Dη.
小结
• 随机变量的数学期望（均值）； • 随机变量的方差与标准差.
P(ξ2=x) 0.4 0.2 0.4
D20.5E22p13E22p24E22p3 0.5220.43220.2420.4
4.3.
定义
• 一般地，如果随机变量 ξ 可以取x1, x2, …, xn 中的任意一个值，对应的概率分布律为 p1, p2, …, pn，随机变量的数学期望为Eξ， 那么
D x 1 E 2 p 1 x 2 E 2 p 2 x n E 2 p n
解：中奖的概率为0.001，收益为599元； 不中奖的概率为0.999，收益为-1元.
期望收益E0.0015990.9991
0.4
数学期望的性质
(1) 设ξ是随机变量，c是任一实数，那么 E(cξ)=cEξ.
(2) 设ξ是随机变量，ξ=η1+η2+ … +ηn， ηi (i=1, 2, … , n)都是存在数学期望的随 机变量，那么Eξ=Eη1+Eη2+ … +Eηn.
例题
3. 已知ξ的概率分布律如下表所示：
x
0
1
2
3
P(ξ=x) 0.25 0.3 0.15 0.3
(1) 求Eξ； (2) 若η=2ξ-1，求Eη.
随机变量的均值
• 数学期望是随机变量取值的加权平均数，表 示随机变量取值的平均水平，因此也叫做随 机变量的均值.
• 求下列表中随机变量ξ1和ξ2的数学期望.
x 123
x -0.5 3 4
P(ξ1=x) 0.2 0.6 0.2 P(ξ2=x) 0.4 0.2 0.4
E1E2 2
ξ 取值与均值差的 平方的加权平均数
x 123 P(ξ1=x) 0.2 0.6 0.2
D11E12 p12E12 p23E12 p3 1220.22220.6320.2
0.4.
x -0.5 3 4
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021 9:52:47 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/62021/3/62021/3/6M ar-216- Mar-21
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2 .5 （时）
ξ取值的 加权平均数
数学期望
• 一般地，如果随机变量 ξ 可以取x1, x2, …, xn中的任意一个值，取这些 值对应的概率分别为 p1, p2, …, pn， 那么随机变量 ξ 的数学期望为 Eξ= x1p1 + x2p2 + … + xnpn.
备注
1. 数学期望是以概率为权的随机变量的加权 平均数；
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/021/3/6Marc h 6, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/6
4.3(2) 随机变量和数学期望
复习引入
• 随机变量 • 随机变量的分布律
k
1
2
3
4
5
6
P(ξ=k) 0.2 0.4 0.25 0.05 0.05 0.05
• 估计一下他今晚完成作业的时间？
1 0 .2 2 0 .4 3 0 .2 5 4 0 .0 5 5 0 .0 5 6 0 .0 5
(3) 常数C的数学期望是常数本身，即 EC=C.
例题
2. 有一种叫做“天天奖”的彩票，每注售价2 元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金 为50元，那么购买一注彩票的期望收益是 多少元？
解：P(ξ = 48)=0.01；P(ξ = -2)=0.99.
期望中不收奖中益的奖E概 的率 概4为 率8为0P.001.9，9，收48收益益为为428元-2P，元. 2
480.0120.99
1.5（元） 所以购买一注彩票的期望收益是-1.5元， 即损失1.5元.
例题
2. 有一种叫做“天天奖”的彩票，每注售价2 元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金 为50元，那么购买5注彩票的期望收益是多 少元？
解：购买一注的期望收益Eξ=-1.5(元).
因此购买5注的期望收益为
2. 数学期望并不一定等同于常识中的“期望” ——“数学期望”也许与随机变量的每个取 值都不相等.
例题
1. 一种填字彩票，购票者花1元买一张小卡， 购买者在卡上填10以内的三个数字(允许重 复). 如果三个数字依次与开奖的三个有序 的数字分别相等，得奖金600元. 只要有一 个数字不符(大小与次序)，无奖金. 求购 买一张彩票的期望收益.
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/62021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月6日星期 六2021/3/62021/3/62021/3/6
叫做随机变量的方差. 方差的算术平方根叫 做随机变量ξ的标准差.
随机变量的方差或标准差刻画 了随机变量取值的离散程度.
练习
1. 如果随机变量的概率分布律由下表给出：
x
0
2
π
1
P(ξ=x)
4
1
1
2
4
求ξ的数学期望与方差.
2. 设η=cosξ，其中ξ的概率分布律同第1题，
求Eη，Dη.
小结
• 随机变量的数学期望（均值）； • 随机变量的方差与标准差.
P(ξ2=x) 0.4 0.2 0.4
D20.5E22p13E22p24E22p3 0.5220.43220.2420.4
4.3.
定义
• 一般地，如果随机变量 ξ 可以取x1, x2, …, xn 中的任意一个值，对应的概率分布律为 p1, p2, …, pn，随机变量的数学期望为Eξ， 那么
D x 1 E 2 p 1 x 2 E 2 p 2 x n E 2 p n
解：中奖的概率为0.001，收益为599元； 不中奖的概率为0.999，收益为-1元.
期望收益E0.0015990.9991
0.4
数学期望的性质
(1) 设ξ是随机变量，c是任一实数，那么 E(cξ)=cEξ.
(2) 设ξ是随机变量，ξ=η1+η2+ … +ηn， ηi (i=1, 2, … , n)都是存在数学期望的随 机变量，那么Eξ=Eη1+Eη2+ … +Eηn.