数学哲学

直觉主义的问题
古典数学的损失(排中律、反证法、连续性)？
形式主义
形式主义主张使用符号推演代替语言，而符号的使用方法要 靠约定的规则。 符号表：只有有限个符号 合式公式(well-formed formula)有意义的公式，要用具体的、 清晰的规则来说明。 公理：在合式公式中选择一些基本公式；(其余的为“定 理”) 推理规则：什么样的符号串可以换成什么样的符号串，要求 一一明确列出。 运用操作规则从基本公式推出别的公式，叫作“证明”。 对这套符号系统的研究，叫作“元数学”或“证明论”。
罗素：《我的哲学发展》
数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的 美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合 我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那样的装饰， 它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺 术才能显示的那种完满的境地。……数学把我们从人事以外 更向前带进一步，把我们带到绝对的必然界去。不但现实界 不能不遵从这个必然界，而且每个可能有的世界都不复不遵 从这个必然界；数学甚至在这里建造一个住所（说得更确切 一点，数学找到了一个永久存在的住所），在那里我们的理 想得到充分的满足，我们最高的希望不会遭到挫折……。所 有这些，虽然我仍然记得相信时的快乐，现在看来却大部分 是荒谬的，这一部分是由于技术上的原因，一部分是因为我 的世界观已经有了变化。……我在数学里总是希望得到的那 种壮丽的确定性消失在不知所措的困惑之中了。
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逻辑主义
代表人物：弗雷格，罗素，怀特海，卡尔纳普 罗素：数学和逻辑确实是一门学科，“它们的不同 就像儿童与成人的不同，逻辑是数学的少年时代， 数学是逻辑的成人时代”。 卡尔纳普：数学基础最重要的问题之一是，数学与 逻辑的关系。逻辑主义的论题是，数学可以还原为 逻辑学。 逻辑主义：(1)数学概念可以通过显定义而从逻辑概 念中推导出来；(2)数学定理可以通过纯粹的逻辑演 绎法而从逻辑公理推导出来。
数学哲学的主要问题
Paul Benacerraf, Hilary Putnam eds: Philosophy of Mathematics : Selected Readings, New York : Cambridge University Press, 2nd ed., 1983 数学基础 数学对象的存在性 数学真理 集合概念
12.类域的构成问题。 13.一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。 14.某些完备函数系的有限的证明。 15.建立代数几何学的基础。 16.代数曲线和曲面的拓扑研究。 17.半正定形式的平方和表示。 18.用全等多面体构造空间。 19.正则变分问题的解是否总是解析函数？ 20.研究一般边值问题。 21.具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。 22.用自守函数将解析函数单值化。 23.发展变分学方法的研究。
康德(Immanuel Kant，1724-1804)
《纯粹理性批判》 真 《实践理性批判》 善 《判断力批判》 美
康德：先天感性直观形式
人的知识离不开经验，但又要靠头脑中先天的认识 能力去整理。先天认识能力是“形式”，后天的感 官经验是材料。用形式处理材料，从而形成普遍的、 必然的科学知识。 先天认识能力：感性、知性和理性。感性是掌握数 学知识的能力；知性是掌握物理学知识的能力；理 性企图超越现象世界去认识“自在之物”，可能什 么也得不到。 先天感性直观形式：时间和空间。用先天的时间观 念整理关于事物的多与少的经验，便创造了数的概 念；用先天的空间概念整理关于事物的形状的经验， 便创造了几何学。
直觉主义
代表人物：克罗内克(L. Kronecker)、庞加莱 (H. Poinaré)、布劳威尔(L.E.J. Brouwer)、外 尔(H. Weyl)、海丁(A. Heyting) 直觉主义认为，数学对象必须能像自然数那 样明显地用有限步骤构造出来。 主张“构造性数学”，也被称为“构造主 义”。
逻辑主义定义“数”
弗雷格：将数定义为概念的外延。 0定义为“不等于自己”这个空概念的外延 1=“等于0”的外延 2=“等于0，或者等于1”的外延 3=“等于0，或者等于1，或者等于2”的外延 …… 罗素：将数定义为类的类。 1=所有只含单个个体的类的类 2=所有恰包含两个个体的类组成的类 ……
希尔伯特(D. Hilbert，1862-1943)
德国数学家 哥廷根学派领袖 不准数学家使用排中律， 就和不准天文学家使用 望远镜一样。 必须保卫古典数学！
希尔伯特23个数学问题
1. 康托的连续统基数问题。 2. 算术公理系统的无矛盾性。 3. 只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是 不可能的。 4. 两点间以直线为距离最短线问题。 5. 拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。 6. 对数学起重要作用的物理学的公理化。 7. 某些数的超越性的证明。 8. 素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共 问题。 9. 一般互反律在任意数域中的证明。 10.能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？ 11.一般代数数域内的二次型论。
欧几里得：《几何原本》
公设1 从任一点到任一点作直线[是可能的]。 公设2 把有限直线不断循直线延长[是可能的]。 公设3 以任一点为中心和任一距离[为半径]作一圆[是可能的] 公设4 所有直线彼此相等。 公设5 若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于 两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。 公理1 公理2 公理3 公理4 公理5 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。 等量加等量，总量仍相等。 等量减等量，余量仍相等。 彼此重合的东西是相等的。 整体大于部分。
逻辑主义的困难
庞加莱与希尔伯特的批评：数学归纳法不是逻辑 庞加莱：逻辑主义必须加以修正，而人们一点也不 知道还有什么东西可以保留下来。毋需多说，这指 的是康托主义和逻辑主义；真正的数学，总有它实 用的目的，它会按照它自己的原则不断地发展，而 不理会外面狂烈的风暴，并且它将一步一步地去追 寻它惯常的胜利，这是一定的，并且永远不会停止。
非欧wk.baidu.com何
零曲率空间，欧几里得空间； 负曲率空间，罗巴切夫斯基空间(过已知直线 外的任一点可以作出一和以上的直线同已知 直线平行)； 正曲率空间，狭义的黎曼空间(过已知直线外 的任一点所作的任何一条直线都同已知直线 相交)。
克罗内克(L. Kronecker，1823-1891)
康托尔的老师 “上帝创造了整数，其 余都是人的工作。” 只有在直觉的自然数的 基础上，用构造的方法 建立数学。只有这样， 数学才是可靠的。
皮亚诺(G. Peano，1888-1932)
意大利数学家 名著《算术原理新方法》 (1889) 1891年创办了《数学杂志》 (Rivista di Matematica) 1908年当选为国际语协会的 主席
皮亚诺算术
三个基本概念：0，数，后继 五个基本命题 (1) 0是一个数； (2) 任何数的后继是一个数； (3) 没有两个数有相同的后继； (4) 0不是任何数的后继； (5) 任何性质，如果0有此性质；又如果任一数有此性 质，它的后继必定也有此性质；那么所有的数都有 此性质。(数学归纳法原则)
数学哲学：数学基础
阅读文献
张景中、彭翕成：《数学哲学》，北京师范大学出版社， 2010 林夏水：《数学哲学》，北京：商务印书馆，2003 罗素：《数理哲学导论》，晏成书译，北京：商务印书馆， 1982 周述歧编著：《数学思想和数学哲学》，中国人民大学出版 社，1993 王宪钧：《数理逻辑引论》，北京大学出版社, 1982 克莱茵：《古今数学思想》(第四册)，北京大学数学系数学 史翻译组译，上海科学技术出版社，1981 叶峰：《二十世纪数学哲学——一个自然主义者的评述》， 北京大学出版社，2010 罗· 格勃尔：《哲学逻辑》，中国人民大学出版社，2008
形式主义的两大目标
既然数学命题可以用形式系统的“合式公式” 来表示，那么是不是所有的真命题都能在形 式系统之内证明？(完全性) 形式系统会不会推出矛盾？(一致性) 希尔伯特：我们必须知道，我们终将知道。
哥德尔(K. Gödel，1906-1978)
生于捷克(当时奥匈帝国)的 布尔诺 早年在维也纳大学攻读修 读理论物理、基础数学， 后来又转研数理逻辑、集 合论，并参加哲学小组活 动；1930年获博士学位。 1938年到美国普林斯顿高 等研究院任职
哥德尔的不完全性定理
第一不完全性定理：任意一个包含算术系统在内的 形式系统中，都存在一个命题，它在这个系统中既 不能被证明也不能被否定。 第二不完全性定理：任意一个包含算术系统的形式 系统自身不能证明它本身的无矛盾性。
希尔伯特：《几何基础》
基本概念：点、直线、面 基本关系：结合关系、顺序关系、迭合关系 几何基础 结合公理(8个) 顺序公理(4个) 基本命题 迭合公理(5个) (公理) 平行公理(1个) 连续公理(2个)
希尔伯特方案
首先把古典数学理论加以公理化和形式化的处理， 变成形式系统，通过证明形式系统的无矛盾性，来 获得相应的数学理论的无矛盾性。 研究形式系统必须用到逻辑和数论，为了与经典逻 辑和普通数论相区别，必须使用有穷方法，才能避 免循环论证。这样建立起来的逻辑和数论称为元数 学或证明论，它是作为研究形式系统的工具。 在用元数学研究形式系统的相容性中，必须使用构 造方法，也不得涉及实无穷。这样，如果能证明形 式系统的相容性，就可以保证它所反映的古典数学 理论的相容性。
哥德尔的挑战
哥德尔把系统中每一个语句都指派了一个正整数，称做该语句的 “哥德尔数”。 构造一个语句G，该语句断言，某数n是在该系统中不可证的一个 语句的哥德尔数，但是数n却是语句G的哥德尔数！ 因此，如果G是真的，那么它在系统中不可证；如果G是假的，那 么它是可证的。我们得到如下两命题中有一成立：（1）G是真的 但在系统中不可证；（2）G是假的但在系统中可证。 命题（2）绝不可能成立，因此（1）是真的。 Raymond Smullyan：本语句在系统S中不可证。 某地所有居民都可划分为T型或F型。所有T型居民的陈述都是真 的；所有F型居民的陈述都是假的。Jal说：“你永远不能证明我 是T型居民”。 “Jal是T型居民”是真的，但是逻辑学家却永远无法证明。
布劳威尔(L.E.J. Brouwer, 1881-1966)
荷兰数学家，哲学家 布劳威尔不动点定理 数学是独立于物质世界 的直觉构造；在直觉基 础上构造数学；排中律 不是普遍有效的。 二一性(two-oneness)
反对排中律
=3.141 592 65… (A)如果数列“0123456789”在中反复出现无穷多次，那 么规定d=1 (B)如果数列“0123456789” 在中不出现或只出现有穷多 次，那么规定d=0 直觉主义：d不存在，因为没有一个办法把d构造出来。 反对“排中律”在数学中的应用——“反证法”就用不 了。 要证明一个命题，只能从正面证明；用反证法只证明了 命题的否命题不成立，没有证明命题成立。
证明与形式系统
数学证明：肯定一个公式；肯定这个公式蕴涵着另一个公式； 肯定这第二个公式。一系列这样的步骤，其中所肯定的公式 或蕴涵关系都是前面的公理或结论，这就构成了一个定理的 证明。(还有一个许可的运算，就是用一个符号去替换另一 个或一组符号。) 数学本身就是一堆形式系统，各自建立自己的逻辑，同时建 立自己的数学；各有自己的概念，自己的公理，自己的推导 定理的法则（如关于相等和替代的法则），以及自己的定理。 把这些演绎系统的每一个都开展起来，就是数学的任务。数 学就不成为关于什么东西的一门学科，而是一堆形式系统， 在每一个系统中，形式表达式都是用形式变换从另一些表达 式得到的。