应用统计学相关分析与回归分析

一、一元线性回归理论模型
一元线性回归模型是用于分析一个自变量x 与一个因变量y之间线性关系的数学方程， 在变量x与y的直角坐标平面上，可以绘制 散点图，可以看出所有的散点大致呈线性 关系
y 0 1x
二、普通最小二乘估计OLS
普通最小二乘法基本思想是：因变量实际 观察值y与因变量的估计值的离差平方和 (也称为残差平方和)最小，即这是一条最为 接近真实直线的模拟直线。
min
e2
2
(y - y) min
y
-
(β0
Байду номын сангаас
β1
x)
2
普通最小二乘法估计
正规方程的回归系数的估计值
__
__
1
(x - x)(y-
__
(x - x)2
y)
nxy xy nx2 (x)2
y
x __
__
0 n b1 n y b1 x
【举例】根据某地区居民货币收入和社会商品零售额的资 料，建立两个变量的回归方程
点预测 当给定x=x0时，利用样本回归方程，可以 求出相应的样本拟合值；点估计的优点是 当给定x0时，就能确切地给出预测值
区间预测
当数据来自小样本n≤30时，可以构造t统计量， 服从自由度为n-2的t分布，给定显著性水平α， 则实际值y0的置信区间：
回归的统计检验
离差平方和的分解 TSS=RSS+ESS
拟合优度检验(判决系数R2)
R2
回归平方和 总离差平方和
ESS TSS
估计标准误差
Syx
(y - y)2 n-2
相关性检验(r检验)
相关系数计算
r R2
检验的步骤
• 根据公式计算相关系数r值 • 根据给定的显著性水平α，查相关系数检验表，
描述社会经济现象的发展状况和结果 研究社会经济现象的发展速度、发展趋势，
探索现象发展变化的规律，并据以进行统 计预测 利用不同的但有互相联系的数列进行对比 分析或相关分析，以分析现象之间发展变 化的相互依存关系
图9-1 函数关系与相关关系示意图
函数关系
相关关系 因果关系 互为因果关系 共变关系
二、散点图
散点图又称相关图，它是以直角坐标系的横轴代 表变量x，纵轴代表变量y，将变量间相对变量数 值用坐标点的形式描绘出来，用于反映两变量相 关关系的图形，比相关表更为直观地表明了两变 量之间的相关关系。
三、相关关系
相关系数是度量两个变量之间线性相关的方向和 强度的测度，常用的度量指标是皮尔逊(Pearson) 相关系数
自由度为n-2，得到临界值 • 统计决策
参数的显著性检验(t检验)
t检验：是对回归系数的显著性检验
t 1 1
S
～t(n-2)
β1
t检验的基本步骤
• 提出假设 • 构造t检验统计量，并由样本数据计算t检验值 • 根据显著性水平α，查t分布表，得到临界值 • 统计决策
回归总体线性的显著性检验 （F检验）
F检验是对回归总体线性关系是否显著的一种假设 检验
_
F＝ （y y）2 / k ～F（k，n k 1） (y - y)2 /(n - k -1)
F检验的基本步骤
• 提出假设 • 构造F检验统计量，并由样本数据计算F检验值 • 根据显著性水平α，查F分布表，得到临界值 • 统计决策
四、一元线性回归方程的预测
普通最小二乘法估计
实际工作中，如果样本量很大，计算也很 麻烦，一般常用统计软件如eviews、spss、 stata等进行模拟估计，可直接得出输出结 果
【举例】eviews统计软件应用：根据某地区居民货币收入 和社会商品零售额的资料，模拟回归方程
三、一元线性回归的统计检验
统计检验包括线性关系检验和回归系数检验， 具体包括拟合优度检验、参数显著性检验以及 回归总体线性的显著性检验
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第二节 相关关系的测定
一、相关表
简单相关表
指资料未经分组，将某一变量按其变量值的大小 顺序排列，然后再将与其相关的另一变量的对应 值进行排列所形成的表格。
【举例】对10家企业的年销售收入和广告费支出进 行调查，请编制简单相关表。
分组相关表
• 单变量分组相关表 • 双变量分组相关表
【举例】女大学生身高与体重的关系
r 2 xy x y
__
__
(x - x)(y- y)
__
__
(x - x)2 (y- y)2
【专栏】在相关分析中，定性分析或经济理论分析重要吗?
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第三节 一元线性回归分析
回归分析实质就是通过建立数学方程，研究因变 量与自变量之间的变动关系，如果分析一个自变 量与一个因变量的线性关系，称为一元线性回归 分析，如果分析两个或两个以上的自变量与一个 因变量的线性关系，则称为多元线性回归。
【专栏】真实相关与虚假相关
三、相关分析与回归分析
相关分析是研究两个或两个以上变量之间的相关 方向和相关密切程度的统计分析方法，回归分析 是对具有相关关系的变量之间的数量变化的一般 关系进行测定，确定一个合适的回归方程，据以
进行估计或预测的统计方法 。
相关分析与回归分析的联系与区别
描述的方式不同 变量的地位不同 描述的内容不同
关键概念
相关分析、相关系数、回归方程、 统计检验
第一节 相关分析概述
一、相关关系的概念
在现实生活中存在许多社会经济现象，它们之间 相互依存、相互制约，彼此之间构成相互联系的 整体。
现象之间的联系表现为变量之间的依存关系，而 这种依存关系有两种不同的类型：一是函数关系， 二是相关关系。
时间序列的作用
应用统计学
编 著 陈在余 陶应虎
第9章 相关分析与回归分析
➢ 1.1 相关分析概述 ➢ 1.2 相关关系的测定 ➢ 1.3 一元线性回归分析 ➢ 1.4 多元线性回归分析 ➢ 案例分析
学习目标与关键概念
学习目标
1、了解相关关系的概念及种类、相关分析的概念和内容 2、重点掌握简单相关系数的计算方法 3、掌握回归分析的概念及建立线性回归方程的方法 4、掌握相关参数的统计检验，能对统计软件回归计算的结 果做出正确的解释。
确定性依存关系
不确定（随机性）依存关系
【专栏】对象之间有相关关系即为因果关系吗？
二、相关关系的种类
按相关关系涉及的因素多少可以分为单相关、复 相关和偏相关
按相关关系的表现形态可分为直线相关和曲线相 关
按相关关系的变化方向可分为正相关和负相关 按相关关系的相关程度可分为完全相关、不相关
和不完全相关