双曲线的简单几何性质优秀教案

2.3.2 双曲线的几何性质（第一课时教案)
一、 教学目标
1. 知识与技能
（1）理解并掌握双曲线的简单几何性质；
（2）利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。

2. 过程与方法
（1）通过类比椭圆的几何性质，得到双曲线的几何性质；
（2）通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。

3. 情感、态度与价值观
（1）培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力；
（2）培养学生的方法归纳能力和应用意识。

二、 教学重难点
1、教学重点：双曲线的几何性质
2、教学难点：应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题
三、 教学过程
结合双曲线图像以及几何画板动画，学习双曲线
的相关几何性质。

1. 取值范围
(1) 焦点在x 轴上：x a ≥或x a ≤-，y R ∈
(2) 焦点在y 轴上：y a ≥或y a ≤-，x R ∈
2. 对称性——既是轴对称图形，又是中心对称图形
3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点，即12,A A （以图为例）
(1) 实轴——线段12A A 。

122,A A a a =为半实轴长；
(2) 虚轴——记12(0,),(0,)B b B b -，则线段12B B 为虚轴。

122,B B b b =为半虚轴长。

(3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。

一般可设为：22,(0)x y m m -=≠
4. 离心率：c e a
= (1) 范围：1e >；
(2) 变化规律：e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小.
5. 渐近线
(1) 若22221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线为：b y x a
=±， (2) 若)0,0(12222>>=-b a b x a y ，则渐近线为：a y x b
=±， (3) 一般求法：令双曲线方程等于0，即22220x y a b -=（或22
220y x a b
-=） (4) 渐近线相同的双曲线可设为：22
22(0)x y a b
λλ-=≠
题型一：求双曲线的标准方程
例 求满足下列条件的双曲线标准方程
（1） 顶点在x 轴上，两定点间的距离为8，54e =
； （2） 焦点在y 轴上，焦距为16，43
e =； （3） 以椭圆22
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x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线； （4） 过点(3,1)A -的等轴双曲线.
题型二：有关渐近线的计算
例1 已知双曲线的渐近线方程为34
y x =±，求双曲线的离心率为.
例2 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点为)
，求双曲线的方程.
例3 求与双曲线22
1916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-的双曲线方程.
作业：P61 A 组 《导报》第8课时。