杭州市锦绣中学数学分式解答题专题练习(解析版)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：

（1）方程+=+的解；

（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．

【答案】（1）x=4；（2）x=．

【解析】

通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．

解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：

，

化简可得：，

整理可得：2x=15﹣8，

解得：x=，

这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），

这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；

解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：

，

化简可得：，

解得：x=，

这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），

这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；

所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，

由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，

分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，

所以方程的解为x ==4；

（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ）， 所以方程的解为x =．

2．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．

据上述条件解决下列问题：

①规定期限是多少天？写出解答过程；

②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?

【答案】规定期限20天；方案（3）最节省

【解析】

【分析】

设这项工程的工期是x 天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．

【详解】 解：设规定期限x 天完成，则有：

415

x x x +=+， 解得x=20．

经检验得出x=20是原方程的解；

答：规定期限20天．

方案（1）：20×1.5=30（万元）

方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），

方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．

所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．

所以方案（3）最节省．

点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．

3．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．

（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为

4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？

（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟．

①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？

②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．

【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为

3分；②

1000(1)m mn

-． 【解析】

【分析】 （1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；

（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；

②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.

【详解】

（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：1200x ＝4500220

x +． 解得：x ＝80．

经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意．

∴x+220＝300．

答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．

（2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6， ∴1000100063y y -=，解之得10009

y =. 经检验，10009y =

是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：10001000(3)39

÷⨯=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11

n mn n m m +=--分钟，

小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn -÷

=-分． 故答案为：

1000(1)m mn

-． 【点睛】 此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.

4．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。甲、乙两人同时从A 地出发，沿同一条道路去B 地，途中都使用两种不同的速度1v 与()212v v v ＜。

甲前一半的路程使用速度1v ，另一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间用速度1v ，另一半的时间用速度2v 。

（1）甲、乙二人从A 地到达B 地的平均速度分别为v v 甲乙、；则

=v 甲___________,=v 乙____________

(2)通过计算说明甲、乙谁先到达B 地？为什么？

【答案】（1）

12121222v v v v v v ++；；（2）乙先到达B 地． 【解析】

【分析】

（1）设AB 两地的路程为s ，乙从A 地到B 地的总时间为a ．

先算出前一半的路程所用的时间，后一半的路程所用的时间相加，速度=路程÷时间求出V 甲；

先算出前一半的时间所行的路程，后一半的时间所行的路程相加，速度=路程÷时间求出V 乙

； （2）看甲、乙两人谁先到达B 地，因为路程一定，比较V 甲，V 乙的大小即可．

【详解】

（1）设AB 两地的路程为s ，乙从A 地到B 地的总时间为a ．

v 甲=12121221122

v v s

v v s s v v =++，v 乙=1212222

v a v a v v a ++=． （2）v 乙﹣v 甲=122v v +－1212

2v v v v +=21212()2()v v v v -+ ∵0＜v 1＜v 2，∴v 乙﹣v 甲＞0，乙先到B 地．

【点睛】

本题重点考查了列代数式和分式的混合运算，是一道难度中等的题目．