初中数学圆的难题汇编及答案解析

初中数学圆的难题汇编及答案解析

一、选择题

1．下列命题错误的是（）

A．平分弦的直径垂直于弦

B．三角形一定有外接圆和内切圆

C．等弧对等弦

D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

【答案】C

【解析】

【分析】

根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．

【详解】

A、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题；

B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题；

C、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题；

D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题；

故选C．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答，难度不大．

2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( )

A．1 B．3

2

C．3D．

5

2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

OE=1

2

AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解.

【详解】

解：连接CE，

∵E点在以CD为直径的圆上，

∴∠CED=90°，

∴∠AEC=180°-∠CED=90°，

∴E点也在以AC为直径的圆上，

设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8，

∴OC=1

2

AC=4，

∵BC=3，∠ACB=90°，

∴OB=22

OC BC

=5，

∵OE=OC=4，

∴BE=OB-OE=5-4=1.

故选A.

【点睛】

本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和勾股定理.

3．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出

OP 的最值，代入求解即可．

【详解】

设P （x ，y ），

∵PA 2＝（x +1）2+y 2，PB 2＝（x ﹣1）2+y 2，

∴PA 2+PB 2＝2x 2+2y 2+2＝2（x 2+y 2）+2，

∵OP 2＝x 2+y 2，

∴PA 2+PB 2＝2OP 2+2，

当点P 处于OC 与圆的交点上时，OP 取得最值，

∴OP 的最小值为CO ﹣CP ＝3﹣1＝2，

∴PA 2+PB 2最小值为2×22+2＝10．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P 坐标，将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值，难度较大．

4．下列命题中，是假命题的是( )

A ．任意多边形的外角和为360o

B ．在AB

C V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V

C ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边

D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相关的知识点逐个分析．

【详解】

解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题；

B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题；

C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；

D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.

故选D ．

【点睛】

本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义．

5．如图，△ABC 的外接圆是⊙O ，半径AO=5，sinB=25

，则线段AC 的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．5

【答案】C

【解析】

【分析】 首先连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O 的半径是5，sinB=25

，即可求得答案． 【详解】

解：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，

由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，

∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ，

∴∠B=∠D ，即sinB=sinD=

25， ∵半径AO=5，

∴CD=10，

∴2sin 105

AC AC D CD =

==， ∴AC=4，

故选：C.

【点睛】

本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

6．如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作»AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）