无约束优化的超记忆梯度算法
一类新的记忆梯度法及其收敛性
２１ ０ ０年
第 ５期
９月
中山大学学报 （ 自然科学版 ）
Ａ Ｔ Ｓ ＩＮ Ｉ Ｒ Ｍ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＵ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ ＴＳ Ｓ Ｎ Ａ Ｓ Ｎ Ｃ Ａ ＣＥ ＴＡ Ｕ Ａ Ｕ Ａ Ｉ Ｍ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＡ Ｉ Ｕ Ｙ Ｔ Ｅ Ｉ
Ｖｏ． Ｎｏ ５ １４９ ． Ｓ ｐ． ２ ０ ｅ ０１
Ａ ｗ ｅ ｏ ｙ Ｇ ｒ ｄ ｅ ｅ ｈｏ ｎｄ ＩｓＣｏ ｖ ｒ ｅ ｅ Ｎｅ Ｍ ｍ ｒ ａ ｉｎｔＭ ｔ ｄ ａ ｔ ｎ ｅ ｇ ｎｃ
Ｔ ＮＧ Ｊｎ ｙ ｎ ＤＯ Ａ ｉｇ ｏ ｇ 一， ＮＧ Ｌ ｉ
（ ． ｏ ｅｅｏ ｔｅ ａｉ ｎ ｆｒ ａｉ ｃ ｎ ｅ Ｘｎ ａｇＮ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ， ｉ ａ ｇ ６ ００，ｈｎ ； １ Ｃ ｌ ｇ ｆ ｈ ｍ ｔ ｓ ｄＩ ｏｍ ｔ ｎＳｉ ｃ ，ｉｙｎ ｏ ｌ ｎｖ ｓｙ Ｘ ｎ ｎ ４ ０ Ｃ ｉａ ｌ Ｍａ ｃａ ｎ ｏ ｅ ｍ ｅｉ ｙ ４
ｓ ｏ ｔ ｔｔ ｅ ｎ ｗ ｅｈ ｄ ｉ ｆ ｃ ｅ ｔｉ ｒ ｃｉ ａ ｏ ｈ ｗ ｈａ ｈ ｅ ｍ ｔ ｏ Ｓｅｆ ｉｎ ｎ ｐ ａ ｔｃ ｌｃ ｍｐｕ ａｉ ｎ ｉ ｔｔｏ ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｕ ｃ ｎ ｔａｎ ｄ ｏ ｔｍｉａ ｉｎ； ｍｅ ｒ ａ ｉ ｎ ｅｈ ｄ；ｇ ｏ ｌ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎｃ ｎ ｏ ｓｒ ｉｅ ｐ ｉ ｚ ｔ ｏ ｍｏ ｙ ｇ ｄ ｅ ｔｍ ｔ ｏ ｒ ｌｂａ ｏ ｖ ｒ ｅ ｅ；ｌｎ ａ ｏ ｅ — ｉ ｅ ｒ ｃ ｎｖ ｒ
ｇ ｎ ｅ ｒ ｔ ｅ ｃ ａ ｅ
考虑无 约束 优 化 问题
ｍｉ － ） ∈ Ｒ ｎ厂 ， （ （） １
方 法之 一 ，它在 每 步 迭 代 中不 需 计 算 和存 储 矩 阵 ， 算 法简单 ，其搜 索方 向的基本 结构 为
(05)第四章-无约束优化方法(梯度法-牛顿法和变尺度法)
第四章
第四章
无约束优化问题标准形式：
无约束优化问题标准形式：
§
§
§
§
§
§
图最速下降法的收敛过程
αα
2
2
例4－1 求目标函数
取初始点
[2,2]
=
x
例4－2 求目标函数解取初始点[2,2]
=x
算出一维搜索最佳步长
§
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
梯度法的特点
x
给定0,ε
一般迭代式：
§4.3
§4.3
§4.3
§4.3
α0
d 0
x
x 1
x*
1
α1d 1
1()
f −∇x d 1
4-4 共轭方向法
假设目标函数f (x ) 在极值点附近的二次近似函数为
沿某个下降方向
如果能够选定这样的搜索方向，那么对于二
α
0d0
x0x1x*
1
α
1
d1
1
()
f
−∇x d
1。
Armijo搜索下的记忆梯度法及其收敛性
维普资讯
第 １ 期
张祖 华 ， ：Ａｒ ｊ 搜 索下的记 忆梯 度 法及其 收敛性 等 ｍｉ ｏ
２ ５
信 息 ， 加 了参数 选择 的 自由度 ， 增 由此 可 以构造 稳定 的 收敛 均匀 的算 法 潮 ， 于 求解 大 规模 优化 问题 也 对 是 一种 有效 的算 法 。但是 ， 记忆 步数越 多 ， 则计 算公 式越 复杂 。在实 际问题 中 ， 忆二 步到三 步 比较 合适 。 记
Ｃｈｉ ｎ）
Ａｂｓｒ ｃ ： ｎ ｔ ｓ ｐ ｐ ｒｗｅ ｐｒ ｓ ｎｔａ ｎ ｗ ｍ ｏ ｙ ｇ ａ ｉｎｔｍｅ ｈｏ ｏｒｓ ｌ ｎｇ ｕ ｏ ｔ ａ ｎ ｄ ｏｐ ｉ ｚ ｔｏｎ ｔａ ｔ Ｉ ｈｉ ａ ｅ ｅ ｅ ｅ ｍｅ ｒ ｒ ｄ ｅ ｔ ｄ ｆ ｏ ｖｉ ｎｃ ｎｓ ｒ ｉ ｅ ｔｍｉａ ｉ
于 求解 大规 模无 约束 优化 问题． 忆梯 度法也具 有类 似的性 质 。舟 。 记 ］
记 忆梯 度算 法和 超记忆 梯度算 法 实际上是 共轭梯 度 法的 一 推广 பைடு நூலகம் 可更 充 分地 利 用前 面 迭 代点 的 它
收 稿 日期 ： ０ ６０ — ４ ２ ０－９０
作者简介 ： 张祖 华 （ ９ ４） 男 ， 东济 南人 ， 究 生 ； 贞军 （９ ３） 男， 东新 泰 人 ， 授 ， 要 研 究 方 向 ： 筹 学 。 １ ７一 ． 山 研 时 １ ６ 一， 山 教 主 运
Ａｒ ｊ ｅ ｒ ｈ ｒ ｌ ｎ ｄ ｈ ｒ ｅ ｏ ｏ ｏ ａ ａ ｔ ｒ．Ｔｈ ｒ ｆ ｒ ｔｉ ｕｔ ｂ ｅｔ ｏｖ ａ ｇ ｃ ｌ ｍｉ ｓ ａ ｃ ｕｅａ ｄ ａ ｄｔ ｅｆｅ ｄ ｍ ｆｓ ｍｅｐ ｒｍｅｅ ｓ ｏ ｅ ｅｏ ｅｉ ｓｓ ｉａ ｌ Ｏ ｓ ｌ ｅｌｒ ｅｓ ａｅ
解带线性或非线性约束最优化问题的混合三项记忆梯度投影算法
￣
：０５３８（０７０—０７０ １０－０５２０ ）１ ３－８ ０
解 带线性或 非线性约 束最优化 问题 的混合 三项 记忆梯度 投影算法木
孙清滢， 郑艳梅 ， 李 国
（ 石油大学应用数学系 ，东营 ２ ７ ６ ） ５ ０ １ 摘 要：利用 Ｒ ｓｎ投 影矩阵 ，结合 Ｓ ｌｄ ｖ投影技巧建立求解带线性或 非线性不等式约束优化 问题 的 ｏｅ ｏｏ ｏ 混合三项记忆梯度 Ｒｏｅ ｓｎ投影算法 ，并证明了算法 的收敛性 。数值例子表明该算法是有效的。
设 ∈ ，令 ： （ ， Ｒ ） 满足 ］ｔ Ｌ（ ）ｊ（ ） ， ＞０ 令：Ｂ ｄ （ ｘ Ａ Ｉ ｅＡ 七 ） ≥ 其中 。 ｊ：
（ ＴＡ ￣一 Ａ Ａ ｊ） ， ＝ 一Ａ ， Ｂ ：（ ， ） 歹∈ Ｔ：Ｂ ｋ七 Ｊｇ ，其中， 为 ｎ阶单位
矩阵 ，Ｐ 称为 Ｒ ｓｎ投影矩 阵。 ｊ ｏｅ
弓理２ 】 设 ∈Ｒ，对于 ｌ 【 ３
Ｌ ａｋＡ ￣ ） ＝ Ｉ ，ｒｎ （ ｇ（ ） Ｊ Ｌ ｋ，若 Ｐ 七 ０ ， 七 ＝ ｊｇ ： ，ｐ Ｊ ）
０ ， ≥０ ，则 为问题 （ 之 Ｋ Ｔ点。 ｐ ） — 对问题 （）的非 Ｋ— 点 ∈Ｒ，令 Ｐ Ｔ
维普资讯
第２卷 第１ ４ 期
２ ０ 年 ０ 月 ｏ７ ２
工
程
数
学
学
报
Ｖ １２ ｏ １ ｏ ４ ． ． Ｎ
Ｆｂ ０ ７ ｅ ．２ ０
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ Ｅ Ｏ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
集约束下 的优化 问题 通过 Ｇ Ｐ 投影 建立 了一族 记忆梯度 Ｇ Ｐ投 影算法 。受文【，的启发 ， Ｌ Ｌ ８９ 】 文［ １ １ 利用 Ｒ ｓ ３ ｏｅ ｎ投影矩阵，对求解无约束规划的三项记忆梯度算法中的参数给一条件确定参 数 的取值范 围以保证得到 目标 函数的三项记忆梯度 Ｒ ｓｎ投 影下 降方 向，建立 了求解带线性或 ｏｅ 非线性 不等式约束优化 问题的三项记忆梯 度 Ｒ ｓｎ投影算法 。本文 利用 Ｒ ｓｎ投影矩 阵 ，结 ｏｅ ｏ ｅ 合 Ｓ ｌｄ ｖ投影技巧［ － ］ ｏｏ ｏ １ １ ，即利 用步长搜 索时得到 的逼近 点来构造一个 超平面 ，此超 平面分 ０２
Wolfe线性搜索下的超记忆梯度法及其收敛性
Ｗｏｆ 性 搜 索 下 的超 记 忆梯 度 法及 其收 敛 性 ｌ ｅ线
汤 京 永 ，董 。 丽
（ ．信 阳师范学院 数学与信息科学学 院 ， １ 河南 信阳 ４ ４０ ； ．上海交通大学 数学系 ， ６０ ０ ２ 上海 ２ ０４ ） ０２ ０
摘 要 ： 究 无约 束优 化 问题 ，给 出 了一 种新 的超 记 忆梯 度 法 ，在 较 弱 条件 下 证 明 了算 法具 有 研
Ｘ＋ １＝Ｘ ｄ ， ＋ （．） １２
这 里 ｄ 为 ，Ｘ 在 Ｘ 点 的下 降方 向 ， Ｌ为 ＿ Ｘ 沿该 方 向 的搜 索步 长．对 和 ｄ 的不 同选择 构成 了不 （） ０ 厂 ） （
同的迭 代法 Ｊ ． 对于 ｄ ， 可采 用 ｄ ＝ 一 此 种算 法称 为最 速下 降 法 ．此 类算 法 虽 然 结构 简 单 ，每次 迭代 的计 ｇ，
收 稿 日期 ： ０ ９０ －６ ２ ０ －６２ ．
作者简介 ：汤京永（ ９ ９ ） 男 ，汉族 ， 士 ， １７ 一 ， 博 讲师 ，从事非 线性规划 的研究 ，Ｅｍａ ： ａｇ ｎ－ｏｇ ｏ ｃｒ． — ｉ ｔｎｊ ｇｙｎ ＠ｔ ｏ ｌ ｉ ｍ． ｎ
基金项 目： 国家 自 然科学基 金（ 准号 ： ０ ７ １９ 、山东省 自然 科学 基金 （ 批 １５ １０ ） 批准 号 ： ２ ０ Ａ １ 和信 阳师 范学 院青年科 研基 金 Ｙ０８ ０ ）
全局 收敛 性和 线性 收敛 速率 ．数值试 验表 明新算 法是有 效 的． 关 键词 ：无 约束 优化 ； 记 忆梯度 法 ；全局 收 敛性 ；线 性收敛速 率 超
中图分 类号 ：０ ２ ． ２ １２ 文献标 志码 ： Ａ 文章编 号 ： ６ １５ ８ （０ ０）３０ ９ －５ １７ ．４ ９ ２ １ ０ －３ ６０
基于稀疏对角拟牛顿方向的非单调超记忆梯度算法：
（）一阶连续可微函数．求解问题 （ ） （） Ｒ Ｐ 的拟牛顿算法收敛速度快，每次迭代
不需要计算 目标 函数 的 Ｈ ｓ 矩阵及其逆矩 阵．近 年来，修正拟牛顿方程 的研 究亦 吸引了不少 ｅｓ ｅ
国内外学者［４ 。 一 ．最近，Ｗｅ等【利用 目 ｉ 】 标函数 ｆｘ 的Ｔ ｙ ｒ （） ａｌ 展开式给出如下非拟牛顿方程 ｏ
３６ ７
工
程
数
学
学
报
第 ２ 卷 ９
制 风 为对 角稀疏 正定矩 阵提 出了对角稀疏拟牛顿算法，使算法存储量 降为 ｏ（） ｎ ，有利于求解
大规模 问题． 本文基 于修正拟 牛顿方程 （） １，通 过 限制 风 为对 角稀疏 正定矩 阵，提 出 了凰 的如下 修正
形式 ：
关 键 词 ： 线 性 规 划 ； 稀 疏 对 角拟 牛 顿算 法 ；非 单 调 线 搜 索 ；超 记 忆 梯 度 算 法 ； 收敛 性 非
分类号： Ｍ Ｓ２０ １ ０ ３ Ａ （ ０ ９Ｃ ０ ０
中图分类号： ２ １ Ｏ ２． ２
文献标识码： Ａ
１ 引 言
考虑无约束优化 问题
基于稀疏 对 角拟牛 顿 方 向的非 单调超 记忆梯度 算法术
孙清滢 徐琳琳 刘丽敏 王宣战 宫恩龙 徐胜来 ， ， ， ， ，
（一中国石油大学 （ １ 华东） 理学 院，青岛 ２ ６ ８ ； ２ 岛酒店管理职业技术学 院，青 岛 ２ ６ ０ ） ６ ５ ０ 一青 ６ １ ０ 摘 要：超记忆梯度算法 由于其迭代简单和较小的存储需求，在求解 大规模无约束优化 问题 中起着特殊的 作用 ．本文基于稀疏对 角拟 牛顿技术 ，结合修正 Ｇｕ Ｍｏ非单调线搜索步长规则 ，建立 了求解 和 大规模无 约束最优化 问题 的非单调超记忆梯度新算法，给出了算法 的全局收敛性分析．新算法具 有算法稳 定、计算简单 的特点可用于求解病态和大规模 问题 ．数值例子表 明算法有效稳定．
无约束常用优化方法
步长 ，作前进（或后退）试探．如试探成功（目
标函数值有所减小），则按步长序列
，加
大步长（注意每次加大步长都是由初始点算起），直
至试探失败（目标函数值比前一次的有所增加）时，
则取其前一次的步长作为沿这个坐标轴方向搜索的最
优步长，并计算出该方向上的终止点，而后以这个终
止点为始点再进行下一坐标轴方向的搜索，并重复上
处
显然 是二次函数，并且还是正定二次函数，所以 是凸函数且存在唯一全局极小点．为求此极小点，令
即可解得
即
（5.9）
对照基本迭代公式,易知，式（5.9）中的搜索方向
步长因子
方向
是直指点 处近似二次函数
的极小点的方向．此时称此方向为从点 出发的
Newton方向．从初始点开始，每一轮从当前迭代点出发，
沿Newton方向并取步长 的算法称为Newton法．
另外，共轭梯度法不要求精确的直线搜 索．但是，不精确的直线搜索可能导致迭代 出来的向量不再共轭，从而降低方法的效 能．克服的办法是，重设初始点，即把经过 n次迭代得到的Xn作为初始点重新迭代．
五、坐标轮换法
在坐标轮换法中，沿各个坐标轴方向进行一维搜索
时，常选用最优步长法或加速步长法．加速步长法从
初始点出发，沿搜索（坐标轴）方向先取一个较小的
三、共轭方向法
1、概念
通常，我们把从任意点
出发，依次沿某组共轭
方向进行一维搜索的求解最优化问题的方法，叫做共
轭方向法．
2、特点
• 一般地，在n维空间中可以找出n个互相共轭的方向，对于n元正 定二次函数，从任意初始点出发，顺次沿这n个共轭方向最多作n 次直线搜索就可以求得目标函数的极小点．这就是共轭方向法的 算法形成的基本思想．
梯度法求解无约束优化问题
梯度法求解无约束优化问题梯度法是一种常用的无约束优化算法，用于求解目标函数的最小值。
该方法基于目标函数在当前点的梯度方向进行迭代，直到达到最小值或满足停止条件。
下面将从算法原理、步骤、优缺点等方面介绍梯度法求解无约束优化问题。
一、算法原理梯度法是一种基于一阶导数信息的优化算法，其基本思想是在当前点沿着目标函数的梯度方向进行迭代，以期望能够找到函数的最小值。
在梯度法中，每次迭代的步长和方向都是由目标函数在当前点的梯度方向决定的。
二、步骤1. 初始化：选择一个初始点$x_0$，设置迭代次数$k=0$。
2. 计算梯度：计算目标函数在当前点$x_k$的梯度$\nabla f(x_k)$。
3. 更新变量：根据梯度方向和步长更新变量$x_{k+1}=x_k-\alpha_k\nabla f(x_k)$，其中$\alpha_k$是步长，可以通过线性搜索或其他方法确定。
4. 判断停止条件：如果满足停止条件，算法结束；否则，令$k=k+1$，返回步骤2。
三、优缺点1. 优点：梯度法是一种简单、易于实现的优化算法，适用于大部分的连续可导函数。
2. 缺点：梯度法存在局部最优解的问题，容易陷入局部最优解而无法找到全局最优解。
此外，如果步长选择不当，可能会导致算法收敛速度慢或不收敛。
四、应用梯度法广泛应用于机器学习、深度学习、信号处理、图像处理等领域。
例如，在机器学习中，梯度法常用于求解线性回归、逻辑回归、神经网络等模型的参数。
总之，梯度法是一种常用的无约束优化算法，其基本思想是在当前点沿着目标函数的梯度方向进行迭代，以期望能够找到函数的最小值。
该算法简单易用，但存在局部最优解和步长选择不当等问题，需要根据具体问题进行调整和优化。
无约束优化的超记忆梯度法及其全局收敛性
第 ｌ期
２０ ０ ８年 １ 月
基础理 论研 究 ・
无 约 束 优 化 的 超 记 忆 梯 度 法 及 其 全 局 收 敛 性
汤 京永 ， 金 华 ， 秦 董
摘
丽
（ 阳师范学院 数学与信息科学学院 ， 信 河南 信 阳 ４ ４０ ） ６０ ０
要 ： 出一类新的求解无 约束优化 问题的超记 忆梯度 法， 提 并在较弱条件 下证 明 了算法的全局收敛性
：
１ 假设与算法
假 设
（ ：（ 在 水平集 ＝ ｛ ∈Ｒ ｌ （ Ｈ ）， ） ， ）≤， 。 ｝ （ ） 上
有 下界 ．
（ －（ 在 水 平集 上 连 续 可微 ， （ ） Ｈ ）， ） ｇ ｘ 在 上 一 致
连续 的 ．
ｆ ，＝ ；
Ｌ ＋卢 ｄ 一 ， —ｇ １ｋ≥ ２ ，
其中， ）Ｒ 一 Ｒ为连续可微 函数 ，（ 为其梯度 ．求解 （ ： ｇ ） （Ｐ Ｕ ）的算法主要是迭代法 ， 其一般形式 为
＋ ＝ ｌ Байду номын сангаас Ｏ ， ｔｄ
其中 Ｏ 是搜索步长 ， ｔ ｄ 为搜索方向 ．若 为 当前迭代点 ， 则记 ｇ ） ｇ （ 为 ）为＾ ’ ）为厂 ． ） ～ （ ］ ｇ ｘ） 对 Ｏ 和 ｄ 的不同选择就构成 了不 同的迭代算法 ， ｔ 如最 速下降法 （ ＝一ｇ ） 牛顿法 （ ＝一［ ｄ ， ｄ 等 ， 中一个 著名 的方法叫共轭梯度法 ， 其 其搜索方向为
步 １ 若 ｌ ｌ ： ｌ ｌ＝０ 则停止迭代； ｇ ， 否则 ， 转步 ２ ； 步 ２ 计算 ｄ ， ： 使其满足
维普资讯
信 阳师范学院学报 ： 自然科学版 第２卷 ｌ
・
BFGS算法分析与实现
《最优化方法》课程设计题目：BFGS算法分析与实现院系：数学与计算科学学院专业：统计学姓名学号：左想 **********指导教师：***日期： 2014 年 01 月 22 日摘要在求解无约束最优化问题的众多算法中,拟牛顿法是颇受欢迎的一类算法。
尤其是用于求解中小规模问题时该类算法具有较好的数值效果。
BFGS 算法被认为是数值效果最好的拟牛顿法，其收敛理论的研究也取得了很好的成果. 在一定的条件下，BFGS 算法具有全局收敛性和超线性收敛速度。
然而，对于大规模最优化问题来求解，包括 BFGS 算法在内拟牛顿法具有明显的缺陷。
有许多的例子表明，一旦处理问题很大时，一些对小规模问题非常成功的算法变得毫无吸引力。
究其原因，主要是由于在中小型问题一些不太重要的因素在求解大规模问题时，变得代价很高。
随着速度更快及更复杂的计算机的出现，增强了我们的计算处理能力。
同时也为我们设计算法带来了新的课题。
并行计算机的发展为求解大规模最优化问题提供了一条新途径。
关键词：BFGS 拟牛顿法；无约束最优化问题；大规模问题AbstractQuasi-Newton methods are welcome numerical methods for solving optimization problems. They are particularly effective when applied to solve small or middle size problems. BFGS method is regarded as the most effective quasi-Newton method due toits good numerical perfor mance. It also possesses very good global and superlinear con vergen ceproperties. On the other hand, however, when applied to solve larg escaleproblems, quasi-Newton methods including BFGS method don ot perform well. Themajor drawback for a quasi-Newton method, when used to solve large scaleoptimization problem, is that the matrix gener ated by the method does not retain thesparsity of the Hessian matrix of the objective function. There are examples showing that many success methods for solving small-sized optimization become unattractive once the problem to be tackled is large. An important reason for thisfeature is that some process that is important for small problems may become veryexpensive for large scale problems.The fast development of computer has enhanced our ability to solve large scaleproblems. In particular, the parallel computer provides us a new way to solve largescale problems efficiently. In recent years, there has been growing interest in the studyin parallel methods. It has been found that many good methods that are efficient forsolving small and middle size problems can be parallized.Key Words: BFGS quasi-Newton method; unconstrained optimization problem, large scale problem目录1、引言 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
《九江学院学报》第25卷文题索引(2010年)
Ｔｙ ｒ ａｌ 公式 中点 ￡ ｏ 的一种 计算方法 热传导方程初值 的最优化问题
Ｄｒ ｈ ｉｃｌ ｉ ￣级数的级的研究
３ ７
３ ９
４ ２
饮酒驾车 问题模型
４ ３
㈤ ㈤ ㈤㈤ ㈤ ㈤㈤ ㈤ ㈤㈤ ㈤㈤
仇 傩 ｍ ： ∞ 兮
㈩ ㈤㈤ ㈤㈤ ㈤㈤ ㈤㈣ ㈤ 化 学 化工 ｍ ∞ ∞ ： ２
㈣㈤ ㈣㈤ ㈣ ㈣㈤ ㈤
￡ ｊ 牡 ∞ 勰 孔
优化农民生产生活方式 ，大力发展低碳农业 基于经济联系度 的鄱 阳湖生态经济区工业布局优化研究
鄱阳湖水生植物对重金属铜、铅 、锌 的富集作用 研究 探讨基于生态产业发展的鄱阳湖区域承接产业转 移问题
毛细管气相色谱法同时测定饮用水 中多种微量的挥发酚
《 九江学院学报》 第 ２ ５卷文题 索引
（ ００年 ） ２１
鄱 阳湖生态 经济
都 阳湖生态经济区发展战略初探
无约束优化 的超记忆梯度算法及其全局收敛性
３ ７ ４ ０ ３ ６
影响全息照相实验环境 因素分析
拉普拉斯展开定理 的一个新 的证 明
不同生境群落特征对紫茎泽兰幼苗生长动态的影响 共兴都 阳湖生态 经济区伟业 促进地方经济与高校发展 盆一 山耦合关系中的湖缘峡谷沉积特征及其意义 郭桥铜银矿水土保 持实施方案探讨 九江工业生态化 的问题与对策 九江环鄱阳湖县域生态经济旅游业保障体系与策略创新研究 仇 基于人地关系的江西 乡村景观空间演 变分析
２ １ 第 ４期 ０ ０年
Ｎｏ ４，２ １ ． ００
九江学院学报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊｕ ｌ ｆｉ ｉｎ ｎ ｅ ｉ ａ ｒｌ ｃｅｃｓ ｏｍａ ｏ ｕ ａｇＵ ｉ ｒ ｔ Ｉ ｔ ａ ｓｉ ｅ Ｔｊ ｖ ｓｙ ｎ ｕ ｎ Ｊ
第四章-01 gradientmethod
t1d(i) TQd(1)+t2d(i) TQd(2)+…+tkd(i) TQd(k)=0
由共轭方向定义知有 从而 tj=0 (j=1:k) tjd(i) TQd(j)=0(i≠j)
n维空间中共轭方向的个数不会超过n个
16
性质2
n阶对称正定阵Q至少有n个共轭方向 Proof 由线性代数知识我们知道 Q有n个正交的特征向量d(1),…d(n)，
则 当初始点x(0)与x*充分接近时对一切k有定义， 且当k∞时，x(k)二阶收敛于x*
13
牛顿算法的评价 (i)牛顿法虽有较快的收敛速度，但它只是局部收敛的 (即当初始点离x*较近时才能保证收敛) (ii)即使确定了x(0)，在每次迭带时还要计算二阶导数矩 阵(有时虽然存在但很难甚至不可能求出)，求出后为了进 行矩阵分解还需存储n阶方阵，这些均对大型问题不利。 (ⅲ)牛顿法的主要工作量在d(k)的确定上,但机算时通过求解 求解线性方程组
(iv)判断是否终止，终止则输出，否则k:=k+1,返(i)
3
1. 最速下降法 基本思想
(最简单的梯度算法)
以负梯度方向(即最速下降方向)作为搜索方向 又称梯度法（Gradient Method) 算法
给定控制误差 S TEP1 取 初 始 点 x (0) , k 0 S TEP2 计 算g k f(x(k) ) S TEP3 如 果 g k , x* x (k) , 停 止 运 算 ； 否则，令下降方向 d ( k ) -gk , 作 一 维搜 索 ， 求 步 长 k f(x(k) k d (k) ) m i nf(x(k) d (k) )
▽f(x(2))=Qx(2)+b=Q(x(1)+t1d(1))+b
Wolfe—Powell下的记忆梯度算法
（） ４
（） ５
并且 ａ 由 Ｗｏ ｅ ｏ ｅ 搜索规则确定 ； Ｉ ｆ Ｐ ｌ ｌ — ｗｌ Ｓｅ 七 ＝七＋１转 Ｓｅ 。 ｔｐ３ ， ｔｐ１
￣ｔ ｌ 对七 ， ｄ ≤一 １ ｐ ０ｋ １ ｉ ≥１ ：Ｉ （ 一 ） ２ ｇ ｇ ０。
证 明 若 ｋ ｌ贝 ｇ ｄ ＝ Ｉ・ Ｉ ＝ ，４ ＩＩ ｇ 一ｇ ＝ Ｔ Ｔ
精 确 搜 索 步 长 规 则 中 ， 具 有 代 表 性 的 是
ｄ ｛ ’ 培］， ２， ｋ 二。Ｉ ＋ ≥ （ ｋ ＝ 一） －ｇ ；
一
（） ６
且 ∈ ０ ｓ ， ［ ， ］ 而
Ａ ｍｊ－ｏ ｓ ｉ ｒ ｉ Ｇ ｌ ｔ ｎ准则和 Ｗｏ ｅＰｗ Ｕ准则 ４。 ｏ ｄｅ ｌ ．ｏ ｅ ｆ ’ 】
、 ８ Ｎｏ ４ Ｕ ２ ．
Ｄｅ ．２ ｏ ｃ ０７
Ｗｏ ｅＰｗ ｌ下 的记 忆梯 度 算 法 ｌ —ｏ ｅ ｆ ｌ
公锦凤 ，于宪伟
（ 海大学 数学系 ， 宁 锦州 １ １ １ ） 渤 辽 ２ ０ ３
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
摘
要ｉ提 出了一种记忆梯度法的主要参数 ｄ 的新形式，分析 了该算法在 ｗｏ Ｐｗｌ Ｉ －ｏ ｅ ｌ
本 文考虑 求解 无约 束优 化 问题 ｍｉ （ ） ｎ ｘ， ｆ （） １
其 ： （了 ， （ １ 中． ｏ１ ） ／ ，） ∈ ，。 ｔ ∈
为 了简便计 算 ， 进算 法 的性能 ， 改 以便求解 大
求 解该 问题 的 一种 重 要 方 法 是 共 扼 梯 度 法 ， 标 准共扼 梯度 法 的迭 代 格式 是 戈 １＝ “ ＾＋ ｄ ， ＾＾ （） ２
若 七≥２ 则 一 以＝ Ｔ ［ １一 ） ＋ ， ・（
一类新的记忆梯度法及其收敛性
６８ ３
工
程
数
学
学
报
第２ 卷 ７
算法１ 取？ １， ∈（，） ∈（，） Ｘ ∈Ｒ 。令ｋ： 。 ７ １ ） Ｐ ０１ ∈（， ， ０１， ｌ ＝１ 步骤 １ 若 ｌ ｌ ，则停止迭代 ；否则，转步骤 ２ Ｉ ｌ ＝０ 。
步骤 ２ 计算 ，使其满足
其中 一 ＝ｄ 一 一ｇ — ，而 １ ｋ１ ｋ ｌ
共轭梯度法在每步迭代 中不需计算和存储矩 阵，是求解大型无约束优化 问题 的有效算法之 记忆梯度法类似于共轭梯度法，也是求解大规模优化 问题的有 效方法 ，并且与共轭 梯度法 相 比，记忆梯度法增加了参数选择的 自由度 ，更有利于构造稳定的快速 收敛算法【８ ２］ －。
一
。
本文提 出一类新的求解无约束优化 问题 的记忆梯度法 ，算法利用当前和前面一步迭代点 的
一
类新的记 －梯度 法及其 收敛性木 Ｉ ｚ
汤京永 ， 董 ， 一 丽
ｆ一信阳师 范学 院数学与信息科学学院 ，信阳 ４ ４ ０ ； ２ 上海交通大学数学系 ，上海 ２ ０ ４ ） １ ６００ 一 ０ ２ ０ 摘 要：本文着重研究求解 无约束优化 问题的记忆梯度法 ，利用当前和前面一步迭代 点的信息产生下降方 向，采用 Ａｒ ｊ 线性搜索确定 步长 ，得到 了一类 新的无约 束优化算法 。新算法在较弱 的条件下 ｍｉ ｏ 具有全局收敛性和线性收敛速率，并且不用计算和存储矩 阵，适于求解 大规模优化问题。数值试 验表 明算法是有效 的。 关键词： 无约束优 化；记忆梯度法；全局收敛性；线性收敛速率
情 况１腹 （＞０ Ｆ（式 引 可 ２ 。ｈ４ 和 理１ 知 ｋ ）
一 ＋ ≥一 ａ ｄ ｐ１ ）ｋ 『． １ ｐ ｋ ｋ （ 一叩口 『 Ｉ Ｉ 因为｛ ． Ａ】 单调不增有下界， ｛ 有极限。由（ 式知ｋｍ ａ Ｉｋ。 ，故 故 ｝ ５ ） ｌ ％Ｉｌ ＝０ ｉ １ｌ ９
一类新的曲线搜索下的记忆梯度法(英文)
一类新的曲线搜索下的记忆梯度法(英文)
汤京永;董丽
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2010()3
【摘要】提出一类新的求解无约束优化问题的记忆梯度法,在较弱条件下证明了算法具有全局收敛性和线性收敛速率.算法采用曲线搜索方法,在每一步同时确定搜索方向和步长,收敛稳定,并且不需计算和存储矩阵,适于求解大规模优化问题.数值试验表明算法是有效的.
【总页数】7页(P575-581)
【关键词】无约束优化;记忆梯度法;曲线搜索;收敛性
【作者】汤京永;董丽
【作者单位】信阳师范学院数学与信息科学学院,河南信阳464000;上海交通大学数学系,上海200240
【正文语种】中文
【中图分类】O221.2
【相关文献】
1.一类Armijo搜索下的记忆梯度法及其全局收敛性 [J], 朱帅;王希云
2.一类新的强Wolfe线性搜索下的记忆梯度法 [J], 汤京永;时贞军
3.一类新的曲线搜索下的记忆梯度法 [J], 汤京永;董丽;郭淑利
4.Wolfe线搜索下一类记忆梯度算法的全局收敛性（英文） [J], 陈翠玲;韩彩虹;罗
荔龄;陈玉
5.一类Armijo搜索下新的共轭梯度法及其全局收敛性 [J], 董晓亮;杨喜美;黄元元因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类Armijo搜索下的记忆梯度法及其全局收敛性
ｔｅＡ ｒｊ ｎ ｅｒｈ ｔ ｓ ｔｏ ｒ ｆｃ ｎ ａ ｅｕａ Ａ ｄ ｒ ａｃｎｕ ａ ｒｄｅｔｏｍｕａ Ｔ ｅｈ ｍｅ — ｈ ｒ ｉ ｌ ｅｓａｃ ， ｉ ｍｅ ｄｍｏｅｅ ｉ ｔｈｎＮ ｃｌｉ ｎ ｅｓ ｏｊｇｔ ｇａ ｉ ｒ ｌ． ｈ ｕ ｒ ｎｏｉ ｈ ｈ ｉ ｅ ｔ ｉ ｅ ｎｆ ｉ
ｃ ｌｒ ｓ ｌ ｆｆｕ ｓ ｆ ｎ ｏ ｓ ｓ ｏ ａ ｅ ｔ ｏ ｓ ｂ ｔ ｒ ｔ ａ Ｙ ｓ ｅ ｔ ｍ ｌ ｏｉ ｍ ， ｎ ｆ ｃ ｉｅ ｔ ａ Ｒ ａ ｅ ｕｔ ｏ ｒ ｔ ｔ ｕ ｔ ｎ ｈ ｗ ｔ ｔｎ ｗ ｍｅ ｈ ｄ ｉ ｅ ｔ ｎ Ｄ ｐ ｃ ｒ ｓ ｏ ｅ ｉ ｈ ｅ ｈ ｕ ａｇ ｒ ｈ ｔ ａｄｅ ｅｔ ｎＦ ｖ ｈ ｍｅｈ ｄ． ｈ ｃ ｏ ａａ ｌ ｏ ｔ ｅ ｃ ｌ ｕ ａｉｎ ｏ ｅ ｏ ｍａ ｃ ＲＰ ｓ ｅ ｔ ｍ． ｏ ｔ ｅ ａ ｇ ｒ ｈ ｈ ｓ ｇ ｏ ｅ ｏｍ— ｔ ｏ ｗ ｉｈ ｉ ｃ ｍｐ ｂ ｅ ｔ ｈ ａｃ ｌｔ ｆｐ ｒ ｒ ｎ ｅ Ｐ ｐ ｃ ｒ ｓ ｒ ｏ ｆ ｕ Ｓ ｈ ｌｏ ｔ ｍ ａ ｏ ｄ ｐ ｒ ｒ ｉ ｆ
文章编 号 ：６ ３— ０ ７ ２ １ ）３— ２ ９— ３ １７ ２ ５ （ ０ ０ ０ ０ ４ ０
一
类 Ａｍｊ 索 下 的记 忆 梯 度 法 及 其 全局 收敛 性 ｒｉ ｏ搜
朱 帅 ， 希 云 王
（ 太原科技 大 学应 用科 学学 院 ， 太原 ０ ０２ ） ３０ ４
摘 要： 通过构造新的 ， 出了一种新的无约束优化 问题 的记忆梯度 算法 ， 提 同时在 Ａ ｍｊ ｒｉ ｏ线搜 索
［ ］ Ｎ Ｃ Ｌ ＩＡ Ｄ Ｅ ． ａ Ｙ ａ ｏｄｔ ｎ ｒ ｎｏ ｓ ａ ｅ ｐｉ ｚｔ ｎ Ｊ ． ｐｌ ｄＭａ ｅ ａｉ ｔ ｒ，０ ８ ２ ：６ － １ ４ Ｅ Ｕ Ａ ， Ｎ Ｒ ＩＡＤ ｉ ｕｎｃｎ ｉｏｓｆ ｃｎｔ ｉ ｄｏｔ ａｏ ［ ］ Ａ ｐ ｅ ｔ ｍ ｔ ｓ ｅｅｓ２０ ，１ １５１ ． － ｉ ｏｕ ｒｎ ｍｉ ｉ ｉ ｈ ｃ ｌｔ ７
无约束优化问题的求解方法
无约束优化问题的求解方法无约束优化问题是指在不考虑任何限制条件下，通过调整自变量来寻找函数的最大值或最小值的问题。
在数学和工程领域中，无约束优化问题是一个重要的研究方向，其解决方法也非常丰富和多样。
下面将介绍几种常用的无约束优化问题求解方法。
一、梯度下降法梯度下降法是一种基于一阶导数信息的优化算法。
其基本思想是通过不断迭代地朝着函数的负梯度方向进行搜索，从而找到函数的极小值点。
具体来说，梯度下降法的迭代公式如下：x_(x+1)=x_x−x∇x(x_x)，其中x_x代表第x次迭代的自变量的取值，x称为学习率，∇x(x_x)是函数x(x_x)在点x_x处的梯度。
梯度下降法是求解无约束优化问题的常用方法，具有易于实现和收敛性等优点。
但是，梯度下降法有时可能会陷入局部最优解，因此需要进行多次尝试或采用改进的算法。
二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于二阶导数信息的优化算法。
其基本原理是通过逆Hessian矩阵的乘法来更新自变量的取值，从而加速搜索速度。
具体来说，共轭梯度法的迭代公式如下：x_(x+1)=x_x−x_x,x∇x(x_x)，x_x,x=x∇x(x_x)+x_x,x−1共轭梯度法具有高效、迭代次数少、不需要存储Hessian矩阵等优点。
然而，共轭梯度法也存在一些问题，如对于某些特定的函数可能会陷入收敛困难、对于非二次函数可能收敛速度较慢等。
三、拟牛顿法拟牛顿法是一种综合利用一阶和二阶导数信息的优化算法。
其基本思想是通过利用函数在当前点处的一阶导数和二阶导数近似值来构造一个局部的二次模型，从而求解优化问题。
拟牛顿法的迭代公式如下：x_(x+1)=x_x−(x_x)^−1∇x(x_x)，x_x是拟牛顿法的Hessian矩阵近似值。
拟牛顿法具有利用了二阶导数信息、不需要进行二阶导数计算、有较好的全局收敛性等优点。
但是，拟牛顿法也存在一些问题，如需要存储和更新Hessian矩阵近似值、对于非光滑函数可能无法收敛等。
一个新的求解无约束优化问题的超记忆梯度法
信息产生下降方向 ， 利 用曲线搜 索产 生步 长， 并且在每 步迭代 中不 需计 算和存储矩 阵， 适 于求解 大规模优 化 问 题． 在较 弱的条件 下证 明了算法具有全局收敛性和线性收敛速度． 数值 实验表 明该算 法是有效 的．
关键词 ： 无约束优化 ；曲线搜索 ； 全局收敛 ；线性收敛速 度 中图分类号 ： ０ ２ ２ １ ． ２ 文献标 志码 ：Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ３ － ０ ９ ７ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ ０ － ３ ２ ４ ０３ －
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ａ ｎ ｅ ｗ ｓ ｕ ｐ ｅ ｒ － ｍｅ ｍｏ ｒ ｙ ｇ ｒ ａ ｄ ｉ ｅ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｕ ｎ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｗａ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ．Ａ ｎ ｅ ｗ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗａ ｓ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｃ ｕ ｒ ｒ ｅ ｎ ｔ ａ ｎ ｄ ｐ ｒ ｅ ｖ ｉ ｏ ｕ ｓ ｍｕ ｌ ｔ ｉ — ｓ ｔ ｅ ｐ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｉ ｎ ｆ ｏ ｍａ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ
０ 引 言
考虑无约束优化问题 ：
ｍｉ ｎ ｆ （ ） ， ∈Ｒ ， （ １ ）
ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ，ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｅ ｐ — ｓ ｉ ｚ ｅ ａ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗ ａ ｓ ｄ ｅ ｉ ｆ ｎ ｅ ｄ ｂ ｙ ａ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｒ ｕ ｌ ｅ，ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｓ ｃ ｌｅ ａ
最大梯度算法步长牛顿法
最大梯度算法步长牛顿法
最大梯度算法步长牛顿法是一种优化算法，主要用于求解无约束优化问题。
这种算法结合了梯度法和牛顿法的特点，旨在以更快的收敛速度找到函数的最优解。
下面将详细介绍这两种方法以及它们如何结合使用。
梯度法是一种基于一阶导数的优化算法。
它的基本思想是从一个初始点出发，沿着函数在该点的梯度方向进行搜索，以找到函数的最小值。
梯度方向表示函数在该点上升最快的方向，因此，沿着负梯度方向搜索可以找到函数的最小值。
梯度法的优点是简单易懂，计算量较小。
然而，它的收敛速度较慢，且在接近最优解时可能出现震荡。
牛顿法是一种基于二阶导数的优化算法。
它利用函数的二阶导数信息（即海塞矩阵）来估计函数的曲率，从而确定搜索方向。
牛顿法的收敛速度通常比梯度法快，因为它在每次迭代中都能更接近最优解。
但是，牛顿法需要计算海塞矩阵及其逆，这会增加计算复杂度。
此外，当海塞矩阵接近奇异或不可逆时，牛顿法可能无法正常工作。
最大梯度算法步长牛顿法结合了梯度法和牛顿法的优点。
在每次迭代中，它首先使用梯度法确定一个搜索方向，然后利用牛顿法来调整步长。
这样，算法在保持较快收敛速度的同时，还能避免牛顿法在接近最优解时可能出现的震荡。
此外，最大梯度算法步长牛顿法还可以通过调整步长来控制算法的收敛速度和稳定性。
总之，最大梯度算法步长牛顿法是一种有效的优化算法，结合了梯度法和牛顿法的优点。
它在求解无约束优化问题时具有较高的收敛速度和稳定性，适用于各种实际问题。
单目标多变量无约束优化问题的典型优化算法
单目标多变量无约束优化问题在工程和科学领域中广泛存在，求解这类问题需要采用有效的优化算法。
本文将介绍几种典型的优化算法，包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、粒子裙算法和遗传算法等，以帮助读者更好地理解和应用这些算法。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，通过不断沿着目标函数的负梯度方向更新参数，以最小化目标函数。
其具体步骤如下：1. 初始化参数向量x和学习率α；2. 计算目标函数的梯度g=∇f(x)；3. 更新参数向量：x=x-αg；4. 重复步骤2和步骤3，直到收敛或达到迭代次数。
梯度下降法的优点是简单易用，但也存在收敛速度慢、易陷入局部最优解等缺点。
二、牛顿法牛顿法是一种快速收敛的优化算法，其基本思想是利用目标函数的二阶导数信息加速收敛。
牛顿法的步骤如下：1. 初始化参数向量x；2. 计算目标函数的梯度g=∇f(x)和海森矩阵H=∇²f(x)；3. 更新参数向量：x=x-(H^-1)g；4. 重复步骤2和步骤3，直到收敛或达到迭代次数。
牛顿法具有快速收敛的优点，但也存在计算海森矩阵复杂、可能导致矩阵奇异等缺点。
三、拟牛顿法拟牛顿法是对牛顿法的改进，通过估计目标函数的海森矩阵来避免直接计算。
拟牛顿法的步骤如下：1. 初始化参数向量x和拟海森矩阵G；2. 计算目标函数的梯度g=∇f(x)；3. 更新参数向量：x=x-Gg；4. 更新拟海森矩阵G；5. 重复步骤2至步骤4，直到收敛或达到迭代次数。
拟牛顿法克服了牛顿法中计算海森矩阵的困难，同时具有较快的收敛速度。
四、粒子裙算法粒子裙算法是一种基于裙体智能的优化算法，模拟了鸟裙觅食的行为。
其基本思想是通过不断更新粒子的位置和速度来搜索最优解。
粒子裙算法的具体步骤如下：1. 初始化粒子的位置和速度；2. 计算目标函数值，并更新个体最优位置和全局最优位置；3. 根据个体最优位置和全局最优位置更新粒子的速度和位置；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足停止条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。