高中物理中的极值问题及求解方法

高中物理中的极值问题及求解方法
随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个
重要内容，它对培养学生的理解能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合分析能力都有很高要求，所以研究极值问题的规律和探究解决解决极值问题的方法，对于培养学生创造性思维能力和掌握科学研究的方法均有重要的意义。

一、 利用数学方法求极值
1．配方法： 22
24()24b ac b ax bx c a x a a
-++=++
当a ＞0时，当2b
x a
=-
时，y 有最小值为：2min 44ac b y a -=
当a ＜0时，当2b
x a
=- 时，y 有最大值为：2max 44ac b y a -=
例1.如图所示摩托车做腾跃特技表演，以速度v 0=10m ／s 冲上顶部水平的高台试分析：当台高h 多大时飞出，求跳板高度h 多大时，飞出的水平距离最远？且最大值是多少?(一切摩擦不计，取g=10 m ／s 2)。

解析:设摩托车从高台飞出的水平速度为v ，根据
机械能守恒定律有：2
20
1122
mv mgh mv =+ ① 摩托车飞出后做平抛运动，飞出的水平距离：2h
s vt v
g
== ② 由①和②有：2
2
20
02224h v s v gh h h g g
=-=-g
③ 因为40a =-<，所以s 有最大值的条件为：22
00
2/ 2.522(4)4b v g v h m a g
=-=-==⨯- ④
且最大距离为; 2
max 52v s m g
=
= ⑤ 例2甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 m/s 的速度匀速行驶，乙以2 m/s 2的加速度由静止启动，求：
(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？ (2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？
【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为x 1，乙车位移为x 2，则x 1＝x 2，即
211
a 2
v t t 11＝，解得12110 s 20 m /s t v at ＝，＝＝，因此212v v ＝.
(2)设追上前二者之间的距离为x ∆，则22221 2
x x x v t at t t 12122Δ10＝－＝－＝－
由数学知识知：当10
s 521
t s =⨯2＝
时，两者相距最远，此时21v v '＝. 例3、.(2017新课标II)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。

一小物快以速度 v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时。

对应的轨道半径为（重力加速度大小为g ）( )
A ．2
16v g
B ．28v g
C ．24v g D.2
2v g
解：物体由最低点到最高点有机械能守恒：
22111
222mv mgr mv =+ （1） 由平抛运动规律：1x v t = （2） 21
22
r gt = （3）
（1）（2）（3）联立得2
2416v x r r g
=- 因为a=-16<0所以x 有最大值的条件为：
22
422(16)8b v v r a g g
=-=-=⨯-时x 最大故B 对。

2.判别式法：利用一元二次方程式和不等式判别式的性质求极值
根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠；当在实数范围内有解时，其判别式为240b ac ∆=-≥① 当在实数范围内无解时，其判别式为240b ac ∆=-<②
根据一元二次方程不等式20(0)ax bx c a ++≥≠，当x 取任何实数时均能成立，其判别式为
240b ac ∆=-≤③
利用这三个判别式，可以极为方便求a 、b 和c 的极值。

例3.(2008四川) 如图，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。

整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。

一电荷量为q （q ＞0）、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ’。

球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（02
π
θ＜＜）为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P 相应的速率。

解：小球受力如图：洛仑兹力：F qvB = ①,
竖直方向：cos 0N mg θ-=②，水平方向：2
sin v F N m r
θ-=③
轨道半径：sin r R θ=④ 。

① ③④联立解得22
sin sin 0cos qBR qR v v m θθ
θ
-
+= ⑤ 由判别式22sin 4sin ()0cos qBR qR m θθθ∆=-≥解得2cos m g B q R θ
≥， min 2cos m g B q R θ
=
，min sin 2qB R v m θ=
3.利用定和求积与定积求和原理求极值
不等式有一个重要的定理：两个（或n 个）正数的算术平均值总是大于或等于几何平均值，即
1
()2
a b ab +≥，利用这个定理，可以得出两个极为重要的推论。

（1）定和求积原理——如果两个正数之和常数K ，则两个数相等时其积最大，即当a b k += 且2K a b ==
时，其积最大为2max ()()2
k
ab = ① (2)定积求和原理——如果两个正数之积为常数K ，则两个数相等时其和最小，即当ab k = 且a b k ==时，其和最小为min ()2a b K += ②
利用这两个原理，可极为简捷地求物理量的最大值和最小值。

例4.如图所示，将质量为M 的木块，分成质量为m 1和m 2两部分，并用细线连接；置于光滑水
平面上，m 2通过定滑轮竖直悬挂，试分析应该将M 怎样分割，才能使系统在加速运动过程中绳中的拉力最大？拉力最大值是多少？
解析：对m 1有：1T m a = ① 对m 2有：22m g T m a -= ②
① ②联立得212m a g m m =
+ ③， 12
12
m m T g m m =+ ④ 因为12m m M += ,当12m m M +=121
2
m m M == 时其积最大，
所以拉力最大值为2
max
1()1
24
M T Mg M ==
例5.(2012全国大纲卷) 探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈
抛物线形状。

此队员从山沟的竖直一侧，以速度v 0沿水平方向跳向另一侧坡面。

如图所示，以沟底的O 点为原点建立坐标系Oxy 。

已知，山沟竖直一侧的高度为2h ，坡面的抛物线方程为2
2x y h
= ，
探险队员的质量为m 。

人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g 。

(1)求此人落到坡面的动能；
(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？ 解：(1)由平抛运动规律：0x v t = ①，2122
y h gt =- ②，①② 联立得2
20
22g y h x v =-
③ 由题意22x y h = ④，③④联立解得220204h v x v gh =+ ⑤，③⑤联立得 2
0202hv y v gh =+ ⑥
根据机械能守恒定律：20122k mg h mv mgy E ⋅+=+⑦ 解得; 22
2020122k mg h E mv v gh
=++
(2)由a b ab +≥ 知：222222
0022001211213()2()22222
k mg h mg h E m v gh mgh m v gh mgh mgh v gh v gh =++-≥+⋅-=++
当0v gh =，min 3
2
K E mgh =。

4、利用三角函数性质求极值
如果物理量的变化规律，可以表示成三角函数sin y θ=和cos y θ=，根据正弦或者余弦函数的绝
对值在0~1之间变化的性质，可以极为简捷地求出物理量的最大值和最小值。

（1） 当θ=10时：sin 0θ=时——最小，cos 1θ=——最大 （2） 当θ=900时：sin 1θ=时——最大，cos 0θ=——最小
（3） 当三角函数的形式为sin cos y a b θθ=+时利用等效变化的方式，可以将上转化为
222
2
2
2
(
sin cos )y a b a b
a b
θθ=++
++ 若令
2
2
cos a b
ϕ=+，
2
2
sin a b
ϕ=+则tan b a
ϕ=
① 2222(sin cos cos sin )sin()y a b a b θϕθϕθϕ=++=++
当90θϕ+=o ，y 有最大值为22max y a b =+ ② ，
当0θϕ+=o ，y 有最小值min 0y = ③
另外，为了将三角函数化为sin y θ=和cos y θ=形式，还常用到下列关系：
cos cos sin sin cos()y αθαθαθ==±m
2sin cos sin2y θαθ== 2sin 1tan y θθ
=
=+ 2cos 1cot y θθ
=
=+
例6、如图3在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。

试分析和解：在屋顶宽度（2L ）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？（不计一切摩擦阻力）
解析：设屋顶倾角为α，根据雨滴做初速度为零的匀加速运动规律
2
12h at =
则雨滴下落时间可表示为22/cos 4sin sin 2s L L
t a g g ααα
===
可以看出：当sin21α=即290α=o 时，时间最短，所以
45α=o 时间最短，得min 2
L
t g
=。

例7.如图所示。

一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?
[解析]：设圆弧半径为R ，当小球运动到重力mg 与半径夹角为θ时，
速度为V ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：21cos 2
mV mgR θ=,2
cos V N mg m
R
θ-= 解得小球对小车的压力为：3N mgcos θ=，其水平分量为：3
3sin 22
x N mgsin cos mg θθθ== 根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：
3
sin 22
x f N mg θ==
可以看出：当21sin θ=,即θ=45º时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：32
max f mg = 例8、(2003上海）质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m 和2m 的小球A 和B 。

支架的两直角边长度分别为2l 和l ，支架可绕固定轴O 在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。

开始时OA 边处于水平位置，由静止释放，求A 球的最大速度？ 解：设OA 边与水平方向的夹角为θ，根据机械能守恒定律
22
112sin 2(1cos )22
A B mg l mgl mv mv θθ--=
+ ① 由角速度ω相等得：2A B v v = ② 解得：88
(sin cos )33
A v gl gl θθ=
+- ③ 由22sin cos y a b a b θθ=+≤+，可知45θ=o 时8
(21)3
Am v gl =
- ④ 例9.物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G ，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F 为多大？
分析：该题的已知量只有µ和G ，说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F 可由夹角的不同值而有不同的取值。

因此，可根据题意先找到F 与夹角有关的关系式再作分析。

方法一：如图，对物体受力分析，设拉力F 与水平方向的夹角为θ，根据条件：
水平方向：cos 0 F f θ-= ① 竖直方向; N Fsin G θ+= ②
又f N μ= ③ 联立①②③解得：
)
sin cos cos (sin 1cos sin 2φθφθμμθθμμ++=
+=
G
G F )
sin(12
φθμμ++=
G
,
其中tan ф= 1
µ，故G F 2
min 1μ
μ
+=
方法二：向量就是物理学中的矢量，当物体受三力平衡时，将三矢量首尾相连后，必定构成三角形。

利用点到直线的垂直线段最短可求极值。

对本题我们也可用矢量知识求极值。

将摩擦力f 和地面对木块的弹力N 合成一个力F'，如图7-4，F'与竖
直方向的夹角为tan ф= f
N =µ（为一定值）。

这样木块可认为受到三个力:重力G ，桌面对木块的作用力F'和拉力F 的作用。

尽管F 大小方向均未确定，F'方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如图7-5所示。

只有当F 与F'’垂直时，即拉力与水平方向成ф角时，拉力F 最小为F =G sin ф
而2
2
1tan 1tan sin μ
μ
φ
φφ+=
+=
，故2
1sin μ
μφ+=
=G
G F
二、例用图象法求极值
各种极值问题，还可以利用函数图像、矢量图、几何图和光路图等进行分析和解答。

图像法和其他方法比较，不仅具有形象、直观、简捷和概括力强的优点，而且对培养形象思维能力具有更。

重要的意义
1、利用函数图像法求极值
例10.在利用函数图像求极值时，首先，应根据各物理量的函数关系，在直角坐标系上画出相应的函数图像，然后根据交点的坐标、斜率、截距和与坐标轴包围的面积等的物理意义，进行分析、推理和计算。

解析：如图，依题意在同一坐标系中作出分别从A 、B 站由不同时刻开出的汽车做匀速运动的s-t 图象，如图所示．从图中可一目了然地看出：
（1）当B 站汽车与A 站第一辆汽车同时相向开出时，B 站汽车的s-t 图线CD 与A 站汽车的s-t 图线有6个交点（不包括在t 轴上的交点），这表明B 站汽车在途中（不包括在站上）能遇到6辆从A 站开出的汽车．
（2）要使B 站汽车在途中遇到的车最多，它至少应在A 站第一辆车开出50min 后出发，即应与A 站第6辆车同时开出，此时对应B 站汽车的s-t 图线MN 与A 站汽车的s-t 图线共有11个交点（不包括t 轴上的交点），所以B 站汽车在途中（不包括在站上）最多能遇到11辆从A 站开出的车．
例11.利用电动势为E 、内阻为r 的稳恒电源，向负载R 供电如图，试证明：
F / N
F
f
G Φ
图7-4
F
F' Φ
Φ
G
F
F
F''
F''
图7-5
1、当电源输出功率最大时，输出电压012U E =,输出电流012E I r
=g 2、当R=r 时，电源输出功率最大为2max
4E P r
= 3、当电源输出功率最大时效率为0050η=
4、电源输出功率随R 的变化不具有单调性；当R r <，电源输出功率随R 增大而增大；当R r > 电源输出功率随R 增大而减小。

分析：1.根据全电路的欧姆定律，路端电压可表示为U E Ir =-，其U-I 关系如图所示，根据直
角三角形斜边内接矩形面积表示电源的输出功率，且斜边中点O ‘
的内接矩形面积最大，即电源输出功率最大，因为三角形两边的中位线等于第三边的一半，所以这时的输出电压和电流分别为02E U =,0max 122E I I r
==, 2.电源的外电阻0
U R r I =
=最大输出功率2max 004E P I U r ==
3.电源效率为00
00050I U I E
η=
= 4.电源输出功率：22
(
)E P I R R R r
==+,P R -关系如图，它不仅表明P 随R 不是单调变化，且R=r 时电源输出功率最大；同时还表明对同一输出功率max P P <，有两个不同的阻值R 1和R 2，且电源内阻(r)等于消耗功率相同的两电阻（R 1和R 2）的几何平均值，即12r R R =
利用此结论，不仅可以简捷地计算电源内阻，而且可以迅速的判定两电阻消耗的功率是否相等，
22
1212(
)()E E R R R r R r
=++） 2.利用几何作图法求极值（等时圆法） 几何学是数学中关于形的科学，在物理学中，凡涉及到空间的问题，都与几何学有关。

所以，几何学在物理中的应用也极为广泛;一般，所谓几何作图法就是利用几何图形解决物理问题的方法。

（1）“等时圆”模型 （如图所示） （2）“等时圆”基本规律、
①小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。

（如图a ）
②小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。

（如图b ）
③沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即0242d R R
t g g g
=
== （式中R 为圆的半径） （3）“等时圆”等时性的证明
设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a gsin α=，位移为s dsin α=s ，所以运动时间为
022sin 2sin s d d t g g g
αα=
== 即沿各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

例12如图，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于点A ，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为
600，C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M 靠得很近的一点（DM 远小于CM ）。

已知在同一时刻：a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点；d 球从D 点静止出发沿圆环运动到M 点。

则（ ）.如
A ．a 球最先到达M 点
B ．b 球最先到达M 点
C ．c 球最先到达M 点
D ．d 球最先到达M 点 解析：设圆轨道半径为R ，据“等时圆”理论，42a R R t g g ==，b a t t >；
c 做自由落体运动2c R
t g
=；而d 球滚下是一个单摆模型，摆长为R ，42d T R
t g
π=
=
，所以C 正确。

【变式训练1】如图，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。

求小环从A 滑到B 的时间。

【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。

根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有24 2
AB AD d L L
t t g g g
=
=== 【变式训练2】如图5所示，在倾角为 的传送带的正上方，有一发货口A.为了使货物从静
止开始，由A 点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角 应为多少？ 【解析】：如图6所示，首先以发货口A 点为最高点作一个圆O 与传送带相切，切点为B ，然后过圆心O 画一条竖直线 ，而连接A 、B 的直线，就是既过发货口A ，又过切点B 的唯一的弦。

根据“等时圆”的规律，货物沿AB 弦到达传送带的时间最短。

因此，斜槽应沿AB 方向安装。

AB 所对的圆周角β为圆心角的一半，而圆心角又等于α，所以αβ2
1= 。

例13.（2005北京）真空中存在空间范围足够大的．水平向右的匀强电场。

在电场中，若将一个质量为m ．带正电的小球由静止释放，运动中小球速度与竖直方向夹角为37°。

现将该小球从电场中某点以初速度v 0竖直向上抛出。

求运动过程中小球的最小速度的大小及方向？
解：F =mgtan37=mg e 34
o 将mg 和qE 合成，建立沿合力
和垂直合力的坐标系，将初速度 分解后可知：当沿合力方向速度Vy=0时，小球的速度最小，
max 03
5
v v = 与水平方向夹角为37°斜向上。

例14..(武汉市2012届高中毕业生五月考试)质量均为m 的滑块A 、B 通过铰链用长为L 的刚性轻杆连接，让轻杆沿竖直方向，A 套在固定的竖立直棒上，B 放置在水平面上，A 、B 均静止。

由于扰动，A 开始向下运动，B 沿水平面向右运动。

不计一切摩擦，在A 向下运动的过程中： A ．A 、B 组成的系统机械能守恒 B ．在A 落地之前轻杆对B 一直做正功 C ．A 运动到最低点时的速度为2gl D ．当A 机械能最小时，B 对水
图5
图6
平面压力为2mg
解：答案选AC 。

本题难点在于BD 选项。

221(1cos )21 2
A B mgl mv mv θ--=
, cos sin A B v v θθ= 21cos )2(sin A v gl θθ-=,21cos )2(cos B v gl θθ-=
定性分析可知v A 一直增大,v B 先增大后减小。

即杆对B 先做正功
后做负功（先推后拉），当杆弹力为零时，A 机械能最小，此时B 对水平面压力应为mg 。

另外，本题可由导数知识定量求出B 的速度最大值：223(1cos )cos cos cos y θθθθ
-=-=2's 2cos s c s i in o n 3y θθθθ+⋅=-⋅,令'0y =可知当2
cos 3
θ=
时max 629B gl v =，
3.利用矢量图求极值
如图所示，将矢量A 分解成两个分量B 和C ，且已知B 的方向，即与A 的夹角为(90)αα>o ，根据点到直线的距离最短，等于点到直线的垂线之长，所以分矢量C 的最小值为min sin C A α=①这
时，分矢量B 的大小则为cos B A α=②，在α角未知的条件下，三者的大小关系还可表示为222A B C =+③，在画矢量三角形，并
进行分析时，必须注意三个矢量最典型的变化特点：A 的大小和方向都不变，B 的大小变化而方向不变，C 的大小和方向都变化。

例15.如图所示质量为m 的小球用细线悬挂在O 点，并置于倾角为α的光滑斜面上，细线与竖直方向的夹角为θ>α。

试分析：在斜面缓慢右移，θ逐渐减小到0的过程中，小球受到的线的拉力和斜面支持力如何变化？它们的极值各是多少？
分析：在θ减小的过程中，小球在三个共点力作用下始终处于平衡状态：重力（mg ）为竖直向下的恒力，支持力（N ）大小变化而方向始终垂直斜面，而拉力（T ）的大小和方向都变化。

从三力构成的矢量三角形可以看出：拉力T 先减小后增大，当T 与N 垂直，即90θα+=o ，T 与线面平行时，拉力最小为min sin T mg θ=，而支持力N 不断减小，当0θ=o 时，N 减小到零，即min 0N =。

例16.如图所示，将质量为M 的小车沿倾角为α，
摩擦系数为μ的斜坡匀速拉上，求拉力与斜面夹角θ多大时，拉力最小？
分析：小车在四个共点力作用下处于平衡状态，将支持力N 和摩擦力f ，用其合力R 代替，并设R 与N 的夹角为φ，则转化为三个共点力的平衡问题。

在θ角发生变化时：Mg 为竖直向下的恒力：R 仅大小变化而方向不变化，始终与竖直方向成（α+Φ）角；F 的大小和方向都变化。

根据三个力构成的矢量三角形可以看出：当拉力F 与R 成900
时，拉力最小，且θ=φ（同角的余弦相等）。

所以，最佳牵引角为1
1tan tan f
N
θϕμ--===,拉力的最小值为1max sin(tan )F Mg αμ-=+。

例17.运动员推铅球，在初速度为0v 和出手高处h 一定的条件下，为了使铅球的水平射程最大，试分析：最佳抛射角应多大？最大水平射程是多少？
分析：设铅球的抛射角为α，着地速度为t v ，且与水平方向的夹角为β，运动时间为t ，则水平射程可以表示为0cos x v t α=⋅①，将铅球的斜向上抛运动分解为抛射方向（0v 方向）的匀速运动和竖直方向的自由落体运动， 根据速度合成的矢量三角形和正弦定理，有sin()sin(90)cos t t
gt v v αβαα
==+-o
则运动时间可以表示为sin()cos t
v t g
αβα+=
⋅ ② 根据机械能守恒定律，着地速度为202t v v gh =+ ③ 所以，水平射程可以表示为2
002sin()v v gh
x αβ+=
⋅+ ④
④式表明：当sin()1αβ+=，90αβ+=o
时，水平射程最大为2
00max 2v v gh
x +=
最佳抛射角为1
00
21tan tan 2t v v v gh
α--==+，可以看出：最佳抛射角不仅与0v 有关，而且总是小于450，一般3842α=o o :。