中考专题训练课件 专题五 代数几何综合
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∴∠QPW =∠PWF，∠PWF =∠MNF ∴∠QPW =∠MNF 同理可得：∠PQW =∠NFM ∴△FMN∽△QWP
典例解析 【解答】
（2）解：∵△FMN∽△QWP ∴当且仅当△FMN为直角三角形时， △QWP为直角三角形 过点N作NG⊥DC于点G，则CG=BN=χ， NG=BC=4 ∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4χ ∴AD=BC=4，DC=AB=6 G F C D ∴CF=4 P W ∵0≤χ≤4 M ∴AM=AD-DM=4-χ， Q A B N FG=CF-CG=4-χ， AN=6-χ
∴ MF DM DF x 4
2 2 2 2
2 2 2 ①若∠FMN=90°，则 FN MN MF
2 即 4 x 16 4 x 6 x x 4 2 2 2
2 整理得，x 6 x 12 0 ∵ 36 48 0 ，方程无实根
第二部分 专题综合复习
专题五 代数几何综合
专题分析
代数几何综合题是指需要综合运用代数、几何这两部分知 识解决的问题，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型 . 其题型可分为： ①方程与几何综合问题； ②函数与几何综合问题； ③动态几何中的函数问题； ④直角坐标系中的几何问题； ⑤几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 解决这类问题需要灵活运用数学思想方法，如数形结合思 想、数学建模思想、分类讨论思想、转化的思想、函数与方程 思想等.
典例解析
90°或两边互相垂直；②勾股定理逆定理；③若三角形一边上的中 线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形.
典例解析
【分析】本题是双动点问题，是一道与矩形、相似三角形、 勾股定理、二次函数最值相关的综合题.解题的关键是利用勾 股定理计算运动过程中相关线段的长度. 【解答】 （1）证明：
∵PQ∥FN，PW∥MN
考点统计
平面图形 运动
单点运动 双点运动 单点运动
求重叠部分面积与线段长度的函 数关系式
求梯形面积与线段长度的函数关 系式 探索变化过程中的某种瞬时状态 求线段长度与运动时间的函数关 系式 求三角形面积与线段长度的函数 关系式
2012
22题、9分
抛物线
单点运动 平面图形
求重叠部分面积与线段长度的函
考点：利用勾股定理计算线段长度
∴直线AD的解析式为y=x+4. 联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：
∴点F的坐标为（
考点：利用相似三角形的性质或直角三角形的边角关系计算线段长度 例3. （2013· 广东）有一副直角三角板，在三角板 ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中， ∠FDE=90°,DF=4,DE= .将这副直角三角板按如 图4-1所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在 同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射 线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.
例1. （2010· 广东）如图1-1，图1-2所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4， 点F在DC上，DF＝2.动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段 BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时， M、N两点同时停止运动．连结FM、MN、FN，当F、N、M不在同一条直线 时，可得 FMN ，过 FMN 三边的中点作 PQW．设动点M、N的速 度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为 x 秒．试解答下列问题： （1）说明 FMN ∽ QWP； （2）设0≤ x ≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问 x 为何值时， PQW不为直角三角形？ PQW为直角三角形？当 x 在何范围时，
典例解析 【解答】（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，
∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1） 又∵由抛物线经过C（－2，6）， ∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1 ∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为： y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4 （2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
专题分析
纵观广东省近八年中考数学压轴题都是“动态几何中的函数问 题”，以图形的运动变化为背景；其背景图形可以是三角形、矩形、 梯形、正方形，或抛物线；其运动方式可以是单点运动，双点运动， 线段运动，或平面图形运动；其问题的核心是：探索变量之间的对 应关系（变化规律）或者探索变化过程中的某种瞬时状态. 在“动态几何中的函数问题”中，自变量往往是图形运动的时 间或者距离，因变量则往往是线段的长度或者封闭图形的面积.因此， 线段长度和图形面积的表示就成为解决问题的关键.而图形的面积无 非是底和高的乘积，所以，掌握线段长度的计算方法是解决动态问 题的杀手锏. 计算线段的长度的主要途径有四种：勾股定理、相似三角形的 性质、直角三角形的边角关系以及坐标平面内两点间的距离.
【方法点拨】 设直角坐标平面内有两点 A xA , yA , B xB , yB
典例解析
①若AB// x 轴，则AB= xA xB ；②若AB//y轴，则AB= yA yB ③若AB与两坐标轴都不平行，则可构造全等三角形或利用勾股 定理求AB. 【变式】 （2012· 深圳）如图3，已知△ABC的三个顶点 坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)． (1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式； (2)设直线BC交y轴于点E，连接AE， 求证：AE=CE; (3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F， 试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似 吗？请说明理由．
广东省省卷近八年中考统计：
年份 题号、分值 图形背景 2006 2007 2008 2009 2010 2011 22题、9分 22题、9分 22题、9分 22题、9分 22题、9分 22题、9分 梯形 正方形 三角形 正方形 矩形 抛物线 运动方式 单点运动 双点运动 问题的核心 探索变化过程中的某种瞬时状态 求三角形面积与线段长度的函数 关系式
典例解析 【分析】本题是单动点问题，是一道与一次函数、二次函数、
平行四边形、菱形相关的综合题.解题的关键是利用坐标平面 内两点间的距离计算运动过程中相关线段的长度. 【解答】
5 2 17 y x 1 与y轴交于A点 （1）∵抛物线 4 4
∴A(0,1) ∵过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0) ∴B(3,2.5)
2 即 4 x 6 x x 4 4 x 16 4 x 解得， 3 2 2 2
FN FG NG 4 x 16
2 2 2 2
MN 2 AM 2 AN 2 4 x 6 x
2
2
4 3 4 4 当0≤x< ， <x<4时，△PQW不为直角三角形. 3 3
(1)如图4-2,当三角板DEF运动到点D与点A重合时, 设EF与BC交于点M,则∠EMC=______ 15 度； (2)如图4-3，在三角板DEF运动过程中,当EF经过 点C时,求FC的长; (3)在三角板DEF运动过程中,设BF= ,两块三角板 重叠部分面积为 ,求 与 的函数解析式,并求出 对应的 取值范围.
由题意得： ，解得：
∴直线BC的解析式为y=－2x+2． ∴点E的坐标为（0，2）
∴AE=CE
典例解析 【解答】
（3）相似. 理由如下： 设直线AD的解析式为y=k1x+b1， 则 ，解得： 又∵AB=5， ∴ ∴ ，解得： 又∵∠ABF=∠CBA， ），则 ∴△ABF∽△CBA ∴以A、B、F为顶点的三角形与 △ABC相似。
∴当 x 或x 4 时，△PQW为直角三角形；
典例解析
【解答】 （3）∵
MN 4 x 6 x 2 x 5 2
2 2 2 2
又∵
0 x6
∴当x=5时，MN最短为 2
典例解析 考点：利用坐标平面内两点间的距离计算线段长度
例2. （2011· 广东）如图2，抛物线 的直线与抛物线交于另一点B，过点B作
5 2 17 y x 1 与y轴交于A点，过点A 4 4
A O
N
B
M
BCHale Waihona Puke Baidux轴，垂足为点C(3，0).
P
C
x
图2
（1）求直线AB的函数关系式； （2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动， 过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时 间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取 值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连 接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的 t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.
1 把B(3,2.5)代入y= kx 1 解得，k 2 1 ∴直线AB的解析式为y= x 1 2
设直线AB的解析式为y= kx 1
典例解析
【解答】 （2）∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N， 且P点的坐标为 P t ,0
1 ∴ M t , t 1 , 2
【方法点拨】图形位置不确定时，需根据图形在不同位置时的特征 进行分类讨论.寻找运动过程中的特殊位置（临界点）是正确分类的 关键.
典例解析
【分析】本题是一道与二次函数、相似三角形、直角三角形相关的综合题. 解题的关键是利用相似三角形的性质及直角三角形的边角关系求线段长. 【解答】
（2）在Rt△CFA中,AC=6,∠ACF=∠E=30°,∴FC= (3)如图(4),设过点M作MN⊥AB于点N, 则MN∥DE,∠NMB=∠B=45°, ∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x ∵MN∥DE ∴△FMN∽FED,
5 2 17 N t , t t 1 4 4
∴ s MN NP MP
5 2 17 1 t t 1 ( t 1) 4 4 2 5 2 15 t t (0 t 3) 4 4
典例解析 【解答】
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有 5 15 5 t2 t 4 4 2 解得t1=1,t2=2 所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形. 3 ①当t=1时，MP ，NP=4， 2 5 故 MN NP MP 2 5 2 2 又在Rt△MPC中，MC MP PC 2 故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形 9 NP ②当t=2时，MP=2， 2 5 故 MN NP MP 2 MC MP2 PC 2 5 又在Rt△MPC中， 故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形.
典例解析
（3）问当 x 为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
图1-1
图1-2
【方法点拨】 （1）根据“有一个角是直角的三角形是直角三角形”这一概念， 第（2）问的解答需分类讨论. 分类讨论，又称分情况讨论. 当一个数学问题在一定的题设下， 其结论并不唯一时，就需要将这一数学问题根据题设的特点和要求、 按照一定的标准分为几种情况，在每一种情况中分别求解，最后再 将各种情况下得到的答案进行归纳小结，综合得出结论. 引起分类讨论的原因通常有：①由数学概念引起的分类讨论； ②由数学运算要求引起的分类讨论；③由图形位置不确定引起的 分类讨论；④由参数的变化引起的分类讨论. 分类的原则：①分类中的每一部分相互独立（即“不 重”）；②一次分类按同一个标准（即“不漏”）；③分类讨 论应逐级进行 . （2）判断一个三角形是直角三角形的方法：①证有一个角为
∴∠FMN≠90°. ②若∠FNM=90°，则 MF 2 FN 2 MN 2
2 即 x 4 4 x 16 4 x 6 x 2 2 2
x1 4, x2 10 （舍去）. 解得，
③若∠MFN=90°，则 MN 2 MF 2 FN 2
典例解析 【解答】
（2）解：∵△FMN∽△QWP ∴当且仅当△FMN为直角三角形时， △QWP为直角三角形 过点N作NG⊥DC于点G，则CG=BN=χ， NG=BC=4 ∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4χ ∴AD=BC=4，DC=AB=6 G F C D ∴CF=4 P W ∵0≤χ≤4 M ∴AM=AD-DM=4-χ， Q A B N FG=CF-CG=4-χ， AN=6-χ
∴ MF DM DF x 4
2 2 2 2
2 2 2 ①若∠FMN=90°，则 FN MN MF
2 即 4 x 16 4 x 6 x x 4 2 2 2
2 整理得，x 6 x 12 0 ∵ 36 48 0 ，方程无实根
第二部分 专题综合复习
专题五 代数几何综合
专题分析
代数几何综合题是指需要综合运用代数、几何这两部分知 识解决的问题，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型 . 其题型可分为： ①方程与几何综合问题； ②函数与几何综合问题； ③动态几何中的函数问题； ④直角坐标系中的几何问题； ⑤几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 解决这类问题需要灵活运用数学思想方法，如数形结合思 想、数学建模思想、分类讨论思想、转化的思想、函数与方程 思想等.
典例解析
90°或两边互相垂直；②勾股定理逆定理；③若三角形一边上的中 线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形.
典例解析
【分析】本题是双动点问题，是一道与矩形、相似三角形、 勾股定理、二次函数最值相关的综合题.解题的关键是利用勾 股定理计算运动过程中相关线段的长度. 【解答】 （1）证明：
∵PQ∥FN，PW∥MN
考点统计
平面图形 运动
单点运动 双点运动 单点运动
求重叠部分面积与线段长度的函 数关系式
求梯形面积与线段长度的函数关 系式 探索变化过程中的某种瞬时状态 求线段长度与运动时间的函数关 系式 求三角形面积与线段长度的函数 关系式
2012
22题、9分
抛物线
单点运动 平面图形
求重叠部分面积与线段长度的函
考点：利用勾股定理计算线段长度
∴直线AD的解析式为y=x+4. 联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：
∴点F的坐标为（
考点：利用相似三角形的性质或直角三角形的边角关系计算线段长度 例3. （2013· 广东）有一副直角三角板，在三角板 ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中， ∠FDE=90°,DF=4,DE= .将这副直角三角板按如 图4-1所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在 同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射 线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.
例1. （2010· 广东）如图1-1，图1-2所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4， 点F在DC上，DF＝2.动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段 BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时， M、N两点同时停止运动．连结FM、MN、FN，当F、N、M不在同一条直线 时，可得 FMN ，过 FMN 三边的中点作 PQW．设动点M、N的速 度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为 x 秒．试解答下列问题： （1）说明 FMN ∽ QWP； （2）设0≤ x ≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问 x 为何值时， PQW不为直角三角形？ PQW为直角三角形？当 x 在何范围时，
典例解析 【解答】（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，
∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1） 又∵由抛物线经过C（－2，6）， ∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1 ∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为： y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4 （2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
专题分析
纵观广东省近八年中考数学压轴题都是“动态几何中的函数问 题”，以图形的运动变化为背景；其背景图形可以是三角形、矩形、 梯形、正方形，或抛物线；其运动方式可以是单点运动，双点运动， 线段运动，或平面图形运动；其问题的核心是：探索变量之间的对 应关系（变化规律）或者探索变化过程中的某种瞬时状态. 在“动态几何中的函数问题”中，自变量往往是图形运动的时 间或者距离，因变量则往往是线段的长度或者封闭图形的面积.因此， 线段长度和图形面积的表示就成为解决问题的关键.而图形的面积无 非是底和高的乘积，所以，掌握线段长度的计算方法是解决动态问 题的杀手锏. 计算线段的长度的主要途径有四种：勾股定理、相似三角形的 性质、直角三角形的边角关系以及坐标平面内两点间的距离.
【方法点拨】 设直角坐标平面内有两点 A xA , yA , B xB , yB
典例解析
①若AB// x 轴，则AB= xA xB ；②若AB//y轴，则AB= yA yB ③若AB与两坐标轴都不平行，则可构造全等三角形或利用勾股 定理求AB. 【变式】 （2012· 深圳）如图3，已知△ABC的三个顶点 坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)． (1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式； (2)设直线BC交y轴于点E，连接AE， 求证：AE=CE; (3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F， 试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似 吗？请说明理由．
广东省省卷近八年中考统计：
年份 题号、分值 图形背景 2006 2007 2008 2009 2010 2011 22题、9分 22题、9分 22题、9分 22题、9分 22题、9分 22题、9分 梯形 正方形 三角形 正方形 矩形 抛物线 运动方式 单点运动 双点运动 问题的核心 探索变化过程中的某种瞬时状态 求三角形面积与线段长度的函数 关系式
典例解析 【分析】本题是单动点问题，是一道与一次函数、二次函数、
平行四边形、菱形相关的综合题.解题的关键是利用坐标平面 内两点间的距离计算运动过程中相关线段的长度. 【解答】
5 2 17 y x 1 与y轴交于A点 （1）∵抛物线 4 4
∴A(0,1) ∵过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0) ∴B(3,2.5)
2 即 4 x 6 x x 4 4 x 16 4 x 解得， 3 2 2 2
FN FG NG 4 x 16
2 2 2 2
MN 2 AM 2 AN 2 4 x 6 x
2
2
4 3 4 4 当0≤x< ， <x<4时，△PQW不为直角三角形. 3 3
(1)如图4-2,当三角板DEF运动到点D与点A重合时, 设EF与BC交于点M,则∠EMC=______ 15 度； (2)如图4-3，在三角板DEF运动过程中,当EF经过 点C时,求FC的长; (3)在三角板DEF运动过程中,设BF= ,两块三角板 重叠部分面积为 ,求 与 的函数解析式,并求出 对应的 取值范围.
由题意得： ，解得：
∴直线BC的解析式为y=－2x+2． ∴点E的坐标为（0，2）
∴AE=CE
典例解析 【解答】
（3）相似. 理由如下： 设直线AD的解析式为y=k1x+b1， 则 ，解得： 又∵AB=5， ∴ ∴ ，解得： 又∵∠ABF=∠CBA， ），则 ∴△ABF∽△CBA ∴以A、B、F为顶点的三角形与 △ABC相似。
∴当 x 或x 4 时，△PQW为直角三角形；
典例解析
【解答】 （3）∵
MN 4 x 6 x 2 x 5 2
2 2 2 2
又∵
0 x6
∴当x=5时，MN最短为 2
典例解析 考点：利用坐标平面内两点间的距离计算线段长度
例2. （2011· 广东）如图2，抛物线 的直线与抛物线交于另一点B，过点B作
5 2 17 y x 1 与y轴交于A点，过点A 4 4
A O
N
B
M
BCHale Waihona Puke Baidux轴，垂足为点C(3，0).
P
C
x
图2
（1）求直线AB的函数关系式； （2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动， 过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时 间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取 值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连 接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的 t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.
1 把B(3,2.5)代入y= kx 1 解得，k 2 1 ∴直线AB的解析式为y= x 1 2
设直线AB的解析式为y= kx 1
典例解析
【解答】 （2）∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N， 且P点的坐标为 P t ,0
1 ∴ M t , t 1 , 2
【方法点拨】图形位置不确定时，需根据图形在不同位置时的特征 进行分类讨论.寻找运动过程中的特殊位置（临界点）是正确分类的 关键.
典例解析
【分析】本题是一道与二次函数、相似三角形、直角三角形相关的综合题. 解题的关键是利用相似三角形的性质及直角三角形的边角关系求线段长. 【解答】
（2）在Rt△CFA中,AC=6,∠ACF=∠E=30°,∴FC= (3)如图(4),设过点M作MN⊥AB于点N, 则MN∥DE,∠NMB=∠B=45°, ∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x ∵MN∥DE ∴△FMN∽FED,
5 2 17 N t , t t 1 4 4
∴ s MN NP MP
5 2 17 1 t t 1 ( t 1) 4 4 2 5 2 15 t t (0 t 3) 4 4
典例解析 【解答】
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有 5 15 5 t2 t 4 4 2 解得t1=1,t2=2 所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形. 3 ①当t=1时，MP ，NP=4， 2 5 故 MN NP MP 2 5 2 2 又在Rt△MPC中，MC MP PC 2 故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形 9 NP ②当t=2时，MP=2， 2 5 故 MN NP MP 2 MC MP2 PC 2 5 又在Rt△MPC中， 故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形.
典例解析
（3）问当 x 为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
图1-1
图1-2
【方法点拨】 （1）根据“有一个角是直角的三角形是直角三角形”这一概念， 第（2）问的解答需分类讨论. 分类讨论，又称分情况讨论. 当一个数学问题在一定的题设下， 其结论并不唯一时，就需要将这一数学问题根据题设的特点和要求、 按照一定的标准分为几种情况，在每一种情况中分别求解，最后再 将各种情况下得到的答案进行归纳小结，综合得出结论. 引起分类讨论的原因通常有：①由数学概念引起的分类讨论； ②由数学运算要求引起的分类讨论；③由图形位置不确定引起的 分类讨论；④由参数的变化引起的分类讨论. 分类的原则：①分类中的每一部分相互独立（即“不 重”）；②一次分类按同一个标准（即“不漏”）；③分类讨 论应逐级进行 . （2）判断一个三角形是直角三角形的方法：①证有一个角为
∴∠FMN≠90°. ②若∠FNM=90°，则 MF 2 FN 2 MN 2
2 即 x 4 4 x 16 4 x 6 x 2 2 2
x1 4, x2 10 （舍去）. 解得，
③若∠MFN=90°，则 MN 2 MF 2 FN 2