学海导航1高三数学文第一轮总复习课件 第讲 函数模型及其应用
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(2)①对于函数模型 f(x)＝15x0＋2：
当 x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，
则[f(x)]max＝f(1000)＝1105000＋2＝230＋2<9，所以 f(x)ห้องสมุดไป่ตู้9 恒成立．
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因为函数fxx＝1150＋2x在[10,1000]上是减函数， 所以[fxx]max＝1150＋51>51. 从而 f(x)≤5x不恒成立． 故该函数模型不符合公司要求． ②对于函数模型 f(x)＝4lg x－3： 当 x∈[10,1000]时，f(x)是增函数， 则[f(x)]max＝f(1000)＝4lg 1000－3＝9. 所以 f(x)≤9 恒成立．
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文数
给出以下 3 个论断：①0 点到 3 点只进水不出水； ②3 点到 4 点不进水只出水；③4 点到 6 点不进水不出 水．则一定能确定正确的是 .
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解析：由丙图(题图)知 0 点到 3 点蓄水量为 6，故应两 个进水口进水，不出水，故①正确；由丙图(题图)知 3 点到 4 点间 1 小时蓄水量少 1 个单位，故 1 个进水 1 个出水， 故②错误；由丙图(题图)知 4 点到 6 点蓄水量不变，故两个 进水一个出水，故③错误．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小
值．
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解析：(1)设隔热层厚度为 x cm. 由题设，每年能源消耗费用为 C(x)＝3x＋k 5，
再由 C(0)＝8，得 k＝40，
因此 C(x)＝3x4＋0 5. 而建造费用为 C1(x)＝6x.
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解析：(1)根据题意，得 S＝－2t＋20012t＋30 1≤t≤30，t∈N
45－2t＋200 31≤t≤50，t∈N －t2＋40t＋6000 1≤t≤30，t∈N ＝－90t＋9000 31≤t≤50，t∈N .
文数
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(2)①当 1≤t≤30，t∈N 时， S＝－(t－20)2＋6400， 所以当 t＝20 时，S 的最大值为 6400； ②当 31≤t≤50，t∈N 时， S＝－90t＋9000 为减函数， 所以当 t＝31 时，S 的最大值为 6210. 因为 6210<6400，所以当 t＝20 时，日销售额 S 有最大值 6400.
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(2)设 B 产品投入 x 万元，则 A 产品投入 10－x 万元，设 企业利润为 y 万元，
由(1)得 y＝f(10－x)＋g(x)＝－15x＋54 x＋2(0≤x≤10)． 因为 y＝－15x＋54 x＋2＝－15( x－2)2＋154，0≤ x≤ 10， 所以当 x＝2，即 x＝4 时，ymax＝154＝2.8. 因此当 A 产品投入 6 万元，B 产品投入 4 万元时，该企业 获得最大利润为 2.8 万元．
(1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x)； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．
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解析：由题意知，x∈[1,100]，且x∈N*. (1)P(x)＝R(x)－C(x) ＝(3000x－20x2)－(500x＋4000) ＝－20x2＋2500x－4000， MP(x)＝P(x＋1)－P(x) ＝[－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000]－(－20x2＋2500x－ 4000) ＝2480－40x.
C．y＝log2x
D．y＝(21)x
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解析：将各组数据代入验证，选 B.
文数
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3．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个 “E”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为 x、y，剪去 部分的面积为 20.若 2≤x≤10，记 y＝f(x)，则 y＝f(x)的图象 是( )
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设 g(x)＝4lg x－3－5x，则 g′(x)＝4lxg e－15. 当 x≥10 时，g′(x)＝4lxg e－15≤41lg0e－15＝2lg 5e－1＝ lg e52－1<0， 所以 g(x)在[10,1000]上是减函数，
从而 g(x)≤g(10)＝－1<0，所以 4lg x－3－5x<0，即 4lg x －3<15x，
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【拓展演练 1】 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为 销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前 30 天价格为
g(t)＝12t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系； (2)求日销售额 S 的最大值．
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(2)设年获得总利润为 S 万元，
则 S＝16x－y＝16x－110x2＋30x－4000 ＝－110(x－230)2＋1290， 当 x＝230∈(150,250)时，Smax＝1290(万元)， 故年产量为 230 吨时，可获得最大的利润为 1290 万元．
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解析：(1)由题意可知，每吨平均成本为yx万元． 即yx＝1x0＋40x00－30≥2· 1x0·40x00－30＝10， 当且仅当1x0＝40x00，即 x＝200 时，取“＝”号．
又因为 200∈(150,250)，所以年产量为 200 吨时，每 吨的平均成本最低，最低成本为 10 万元．
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【拓展演练 2】 某公司计划投资 A、B 两种金融产品，根据市场调查与预 测，A 产品的利润与投资金额成正比，其关系如图 1；B 产品 的利润与投资金额的算术平方根成正比，其关系如图 2(注： 利润与投资金额单位：万元)．
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(1)分别将 A、B 两产品的利润表示为投资金额的函数关 系式
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2.(2011·湖北卷)里氏震级 M 的计算公式为：M＝lg A－lg A0， 其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0 是相应的 标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大
振幅是 1000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的
震级为 级；9 级地震的最大的振幅是 5 级地震最大振
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二 构造函数模型问题
【例 2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房 屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建 筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年 能源消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的 能源消耗费用之和．
D．f(x)>h(x)>g(x)
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2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组 数据：
x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的
规律，其中最接近的一个是( B )
A．y＝2x－2
B．y＝21(x2－1)
A．2
B．4
C．5
D．6
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解析：平均利润yx＝－x2＋1x2x－25＝12－(x＋2x5) ≤12－10＝2， 当且仅当 x＝2x5，即 x＝5 时，等号成立，故选 C.
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5．一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速 度如图甲、乙所示．某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图 丙所示(至少打开一个水口)．
所以 f(x)<5x恒成立， 故该函数模型符合公司要求．
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【拓展演练 3】 某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在 150 吨至 250 吨之间，其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关 系式可近似地表示为 y＝110x2－30x＋4000.问： (1)年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低 成本； (2)若每吨平均出厂价为 16 万元，则年产量为多少吨时， 可获得最大利润？并求出最大利润．
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1.(2013·湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因
交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与
以上事件吻合得最好的图象是( C )
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解析：由题意可知，最开始距离学校最大，随着匀速行 驶，与学校间的距离慢慢减小，呈直线递减；中途交通堵塞， 与学校间的距离不变；最后为了赶时间加快速度行驶，与学 校间的距离减小至 0，且距离减小的速率大于之前距离减小 的速率，观察选项可知 C 项正确．
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)
＝20×3x4＋0 5＋6x ＝38x＋005＋6x(0≤x≤10)．
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(2)f(x)＝6x＋10＋38x＋005－10 ≥2 6x＋10·38x＋005－10 ＝70(万元)． 当且仅当 6x＋10＝38x＋005，即 x＝5 时等号成立． 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．
(2)该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产 品中．问怎样分配这 10 万元投资，才能使公司获得最大利 润？其最大利润为多少万元？
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解析：(1)设投资 x 万元，A 产品的利润为 f(x)万元，B 产 品的利润为 g(x)万元，
依题意可设 f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x. 由图 1，得 f(1)＝0.2，即 k1＝0.2＝15， 由图 2，得 g(4)＝1.6，即 k2× 4＝1.6，所以 k2＝45. 故 f(x)＝51x(x≥0)，g(x)＝54 x(x≥0)．
(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司
对奖励函数模型的基本要求； (2)现有两个奖励函数模型：①y＝15x0＋2；②y＝4lg x－3，
试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
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解析：(1)设奖励函数模型为 y＝f(x)，则公司对函数模型
的基本要求是：
当 x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9 恒成立； ③f(x)≤5x恒成立．
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第14讲 函数模型及其应用
1
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文数
1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，
对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是( B )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
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(2)P(x)＝－20x2＋2500x－4000 ＝－20(x－1225)2＋74125， 当x＝62或x＝63时，P(x)的最大值为74120元． 因为MP(x)＝2480－40x是减函数， 所以当x＝1时，MP(x)的最大值为2440元． 因此，利润函数P(x)的最大值与边际利润函数MP(x)的最 大值之差为71680元．
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14
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一 已知函数模型问题
【例 1】在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为： Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元，成本为 C(x)元，
且 R(x)＝3000x－20x2，C(x)＝500x＋4000(x∈N*)．现已知 该公司每月生产该产品不超过 100 台．
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三. 选择拟合函数问题
【例 3】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计
能获得 10 万元～1000 万元的投资收益，现准备制定一个对科研 课题组的奖励方案，资金 y(单位：万元)随投资收益 x(单位：万
元)的增加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过投资 收益的 20%.
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(A)
文数
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解析：由题意，得 y＝1x0(2≤x≤10)，故选 A.
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4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，
据市场分析，每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x
∈N*)的关系为 y＝－x2＋12x－25，则为使其营运年平均利润
最大，每辆客车营运年数为( C )
当 x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，
则[f(x)]max＝f(1000)＝1105000＋2＝230＋2<9，所以 f(x)ห้องสมุดไป่ตู้9 恒成立．
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因为函数fxx＝1150＋2x在[10,1000]上是减函数， 所以[fxx]max＝1150＋51>51. 从而 f(x)≤5x不恒成立． 故该函数模型不符合公司要求． ②对于函数模型 f(x)＝4lg x－3： 当 x∈[10,1000]时，f(x)是增函数， 则[f(x)]max＝f(1000)＝4lg 1000－3＝9. 所以 f(x)≤9 恒成立．
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给出以下 3 个论断：①0 点到 3 点只进水不出水； ②3 点到 4 点不进水只出水；③4 点到 6 点不进水不出 水．则一定能确定正确的是 .
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解析：由丙图(题图)知 0 点到 3 点蓄水量为 6，故应两 个进水口进水，不出水，故①正确；由丙图(题图)知 3 点到 4 点间 1 小时蓄水量少 1 个单位，故 1 个进水 1 个出水， 故②错误；由丙图(题图)知 4 点到 6 点蓄水量不变，故两个 进水一个出水，故③错误．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小
值．
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解析：(1)设隔热层厚度为 x cm. 由题设，每年能源消耗费用为 C(x)＝3x＋k 5，
再由 C(0)＝8，得 k＝40，
因此 C(x)＝3x4＋0 5. 而建造费用为 C1(x)＝6x.
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解析：(1)根据题意，得 S＝－2t＋20012t＋30 1≤t≤30，t∈N
45－2t＋200 31≤t≤50，t∈N －t2＋40t＋6000 1≤t≤30，t∈N ＝－90t＋9000 31≤t≤50，t∈N .
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(2)①当 1≤t≤30，t∈N 时， S＝－(t－20)2＋6400， 所以当 t＝20 时，S 的最大值为 6400； ②当 31≤t≤50，t∈N 时， S＝－90t＋9000 为减函数， 所以当 t＝31 时，S 的最大值为 6210. 因为 6210<6400，所以当 t＝20 时，日销售额 S 有最大值 6400.
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(2)设 B 产品投入 x 万元，则 A 产品投入 10－x 万元，设 企业利润为 y 万元，
由(1)得 y＝f(10－x)＋g(x)＝－15x＋54 x＋2(0≤x≤10)． 因为 y＝－15x＋54 x＋2＝－15( x－2)2＋154，0≤ x≤ 10， 所以当 x＝2，即 x＝4 时，ymax＝154＝2.8. 因此当 A 产品投入 6 万元，B 产品投入 4 万元时，该企业 获得最大利润为 2.8 万元．
(1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x)； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．
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解析：由题意知，x∈[1,100]，且x∈N*. (1)P(x)＝R(x)－C(x) ＝(3000x－20x2)－(500x＋4000) ＝－20x2＋2500x－4000， MP(x)＝P(x＋1)－P(x) ＝[－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000]－(－20x2＋2500x－ 4000) ＝2480－40x.
C．y＝log2x
D．y＝(21)x
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解析：将各组数据代入验证，选 B.
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3．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个 “E”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为 x、y，剪去 部分的面积为 20.若 2≤x≤10，记 y＝f(x)，则 y＝f(x)的图象 是( )
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设 g(x)＝4lg x－3－5x，则 g′(x)＝4lxg e－15. 当 x≥10 时，g′(x)＝4lxg e－15≤41lg0e－15＝2lg 5e－1＝ lg e52－1<0， 所以 g(x)在[10,1000]上是减函数，
从而 g(x)≤g(10)＝－1<0，所以 4lg x－3－5x<0，即 4lg x －3<15x，
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【拓展演练 1】 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为 销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前 30 天价格为
g(t)＝12t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系； (2)求日销售额 S 的最大值．
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(2)设年获得总利润为 S 万元，
则 S＝16x－y＝16x－110x2＋30x－4000 ＝－110(x－230)2＋1290， 当 x＝230∈(150,250)时，Smax＝1290(万元)， 故年产量为 230 吨时，可获得最大的利润为 1290 万元．
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解析：(1)由题意可知，每吨平均成本为yx万元． 即yx＝1x0＋40x00－30≥2· 1x0·40x00－30＝10， 当且仅当1x0＝40x00，即 x＝200 时，取“＝”号．
又因为 200∈(150,250)，所以年产量为 200 吨时，每 吨的平均成本最低，最低成本为 10 万元．
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【拓展演练 2】 某公司计划投资 A、B 两种金融产品，根据市场调查与预 测，A 产品的利润与投资金额成正比，其关系如图 1；B 产品 的利润与投资金额的算术平方根成正比，其关系如图 2(注： 利润与投资金额单位：万元)．
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(1)分别将 A、B 两产品的利润表示为投资金额的函数关 系式
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2.(2011·湖北卷)里氏震级 M 的计算公式为：M＝lg A－lg A0， 其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0 是相应的 标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大
振幅是 1000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的
震级为 级；9 级地震的最大的振幅是 5 级地震最大振
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二 构造函数模型问题
【例 2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房 屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建 筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年 能源消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的 能源消耗费用之和．
D．f(x)>h(x)>g(x)
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2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组 数据：
x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的
规律，其中最接近的一个是( B )
A．y＝2x－2
B．y＝21(x2－1)
A．2
B．4
C．5
D．6
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解析：平均利润yx＝－x2＋1x2x－25＝12－(x＋2x5) ≤12－10＝2， 当且仅当 x＝2x5，即 x＝5 时，等号成立，故选 C.
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5．一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速 度如图甲、乙所示．某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图 丙所示(至少打开一个水口)．
所以 f(x)<5x恒成立， 故该函数模型符合公司要求．
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【拓展演练 3】 某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在 150 吨至 250 吨之间，其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关 系式可近似地表示为 y＝110x2－30x＋4000.问： (1)年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低 成本； (2)若每吨平均出厂价为 16 万元，则年产量为多少吨时， 可获得最大利润？并求出最大利润．
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1.(2013·湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因
交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与
以上事件吻合得最好的图象是( C )
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解析：由题意可知，最开始距离学校最大，随着匀速行 驶，与学校间的距离慢慢减小，呈直线递减；中途交通堵塞， 与学校间的距离不变；最后为了赶时间加快速度行驶，与学 校间的距离减小至 0，且距离减小的速率大于之前距离减小 的速率，观察选项可知 C 项正确．
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)
＝20×3x4＋0 5＋6x ＝38x＋005＋6x(0≤x≤10)．
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(2)f(x)＝6x＋10＋38x＋005－10 ≥2 6x＋10·38x＋005－10 ＝70(万元)． 当且仅当 6x＋10＝38x＋005，即 x＝5 时等号成立． 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．
(2)该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产 品中．问怎样分配这 10 万元投资，才能使公司获得最大利 润？其最大利润为多少万元？
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解析：(1)设投资 x 万元，A 产品的利润为 f(x)万元，B 产 品的利润为 g(x)万元，
依题意可设 f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x. 由图 1，得 f(1)＝0.2，即 k1＝0.2＝15， 由图 2，得 g(4)＝1.6，即 k2× 4＝1.6，所以 k2＝45. 故 f(x)＝51x(x≥0)，g(x)＝54 x(x≥0)．
(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司
对奖励函数模型的基本要求； (2)现有两个奖励函数模型：①y＝15x0＋2；②y＝4lg x－3，
试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
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解析：(1)设奖励函数模型为 y＝f(x)，则公司对函数模型
的基本要求是：
当 x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9 恒成立； ③f(x)≤5x恒成立．
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第14讲 函数模型及其应用
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1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，
对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是( B )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
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(2)P(x)＝－20x2＋2500x－4000 ＝－20(x－1225)2＋74125， 当x＝62或x＝63时，P(x)的最大值为74120元． 因为MP(x)＝2480－40x是减函数， 所以当x＝1时，MP(x)的最大值为2440元． 因此，利润函数P(x)的最大值与边际利润函数MP(x)的最 大值之差为71680元．
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一 已知函数模型问题
【例 1】在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为： Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元，成本为 C(x)元，
且 R(x)＝3000x－20x2，C(x)＝500x＋4000(x∈N*)．现已知 该公司每月生产该产品不超过 100 台．
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三. 选择拟合函数问题
【例 3】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计
能获得 10 万元～1000 万元的投资收益，现准备制定一个对科研 课题组的奖励方案，资金 y(单位：万元)随投资收益 x(单位：万
元)的增加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过投资 收益的 20%.
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(A)
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解析：由题意，得 y＝1x0(2≤x≤10)，故选 A.
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4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，
据市场分析，每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x
∈N*)的关系为 y＝－x2＋12x－25，则为使其营运年平均利润
最大，每辆客车营运年数为( C )