函数项级数一致收敛性

函数项级数一致收敛性有关问题的讨论

函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用．

1 函数项级数一致收敛的相关定义

定义1.1

[]1(31)

P 设函数列{})(x S n 是函数项级数

∑∞

=1

)(n n

x u

的部分和函数列，若,0>∀ε 存在正

整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式

∑=-n

k k

x S x u

1

)()(=)()(x S x S n -<ε

对I 上一切x 都成立，则称

∑∞

=1

)(n n

x u

在I 上一致收敛于()S x ．

一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 定义1.1[]2(67)

'

P 函数列{})(x S n (或

∑∞

=1

)(n n

x u

)在I 上一致收敛于()S x

⇔∞

→n lim I

x ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n I

x n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数

∑∞

=1

)(n n

x u

的余项．

定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x

⇔00>∃ε，0>∀N ，N n >∃0，I x ∈∃0，使得)()(000x S x S n -≥0ε．

定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛．

2 一致收敛函数项级数的性质[]

3(417430)

P -

定理2.1（逐项取极限） 设级数

∑∞

=1)(n n

x u

在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内

一致收敛，0

lim x x →()n n u x c =．则

∑∞

=1

n n

c

收敛，且

lim

x x →∑∞

=1

)(n n

x u

=∑∞=→1

)(lim 0

n n x x x u =∑∞

=1

n n c ． （1）

定理2.2（连续性） 若)(x u n 在区间I 上连续(1,2,n =⋅⋅⋅)，

∑∞

=1

)(n n

x u

在I 上一致收敛，则()S x

≡∑∞

=1

)(n n x u 在I 上连续．

定理2.2' 若)(x u n 在(,)a b 内连续(1,2,n =⋅⋅⋅)，

∑∞

=1

)(n n

x u

在(,)a b 内闭一致收敛，则()S x ≡

∑∞

=1

)(n n

x u

在(,)a b 内连续．

定理2.3（逐项求导） 若级数

∑∞

=1

)(n n

x u

区间I 上满足以下三条：

（1）级数

∑∞

=1

)(n n

x u

在I 上收敛(或验证在I 上至少有一个收敛点)；

（2）)(x u n 在I 上有连续导数(1,2,n =⋅⋅⋅)； （3）

1

()n n u x ∞='∑在I 上一致收敛(或在I 的任一内闭区间上一致收敛)，则∑∞

=1

)(n n

x u

区间I 上可微，

且可逐项求导，即在I 上有

d dx

∑∞=1

)(n n x u =1()n n d u x dx ∞

=⎛⎫

⎪⎝⎭∑ （2） 定理2.4（逐项求积分） 若级数

∑∞

=1)(n n

x u

的各项连续，并且此级数在[,]a b 上一致收敛，则有

1

1

()()b b

n n a

a

n n u x dx u x dx ∞

∞

===∑∑⎰⎰

（3）

一般地，若当∞→n 时，

()0b

n a

R x dx →⎰

，则上式为真．

3 一致收敛性的判断

判别一致收敛的方法有多种，下面将分别进行介绍和讨论．

3.1 利用一致收敛的定义

通常称定义1.1为“N -ε法”，定义1.2为“确界法”，从中还可以得到一种更简便的方法“放大法”：

若,0n n N α+

∀∈∃>，使得)(,)()(I x x S x S n n ∈∀≤-α，且n →∞时，0n α→，则n →∞

时，()n S x 在I 上一致收敛于()S x ．

例1 讨论级数

2

321

()()()n n u x x x

x x x ∞

==+-+-+⋅⋅⋅∑在下列区间的一致收敛性．

(1)2

1

0≤

≤x ， (2)10≤≤x ． 解 令n

n

k k n x x u S ==

∑=1)(，则001;()lim ()1 1.

n

n x S x S x x →∞

≤<⎧==⎨=⎩ （1）当2

1

0≤

≤x 时，()0S x =． ,0>∀ε若)()(x S x S n -=ε<⎪⎭

⎫

⎝⎛≤n

n x 21，只要2ln 1

ln

ε>n ，取1

ln

[]ln 2N ε=，则当N n >时，

∀]2

1

,0[∈x 均有

)()(x S x S n -=0)(-x S n <ε． 因此

∑∞

=1

)(n n

x u 在]21,0[上一致收敛于零． （2）方法1 取0ε，使21

00<

<ε，不论n 多大，只要取n

x 2

1=，就有

)21()21(n n n S S -=02

1

ε>．

因此，

∑∞

=1

)(n n

x u

在[0,1]上收敛而非一致收敛．

方法2 01;()()()1

1.

n

n n x x R x S x S x x ⎧≤<=-=⎨

=⎩

故01

sup ()1n x R x ≤≤≡．因此，

∑∞

=1

)(n n

x u

在[0,1]上非一致收敛．

注意在(1)中找N 的方法与技巧，对()()n S x S x -适当放大时，应使N 与x 无关，只与ε有关． 例2 设1

01()()n n i i

f x f x n

n -==

+∑，1,2,n =⋅⋅⋅，其中()f x 为连续函数，证明序列{}()n f x 在任