第11讲几种重要的矢量场1

偏导数，则可以得到
R Q 2u 2u 0 y z zy yz
同理，可得： P R 0 Q P 0
z x
x y
于是在矢量场内部处处有，
rotA 0
1.有势场
证明：（2）充分性，设场内有
rotA
0，即对于
任何闭合曲线 l，有
A dl 0
l
等价于 A dl 与路径无关，即存在 u
B
A
dl
M0
A dl
B A dl
A
A
M0
AB
B A
A dl A dl
M0
M0
因为有，
M
u(M ) Pdx Qdy Rdz M0
1.有势场
例3:若
A
Pi
Qj
Rk
为保守场，则存在函数
u(M
)
使
A dl
u(M )
B
u(B) u( A)
A
AB
证：因 M0 为场中任一点，因此有
S1
S2
2.管形场
形象的讲，这种矢量场如同自来水管一样，流
进等于流出，管形场因此而得名。
定理：在面单连域内矢量场 A为管形场的充要条
件是：它为另外一个矢量场
B
的旋度场。即
A rotB
证：（充分性）设
A rotB
，则有
div(rotB) 0
div( A) 0
故矢量场 A 为管形场。
2.管形场
为
有势场，并求其势函数。
证：由
A
的雅可比矩阵
2 yz2 2xz2 4xy DA 2xz2 sin y 2x2z
4xyz
2x2z
2x
2
y
rotA (2x2z 2x2z)i (4xyz 4xyz) j (2xz2 2xz2 )k 0
故
A
为有势场。
1.有势场
例1：证明矢量场
复连通区域
1.有势场
设空间区域G，如果G内任一闭曲面所围成的 区域全属于G，则称G是空间二维单连通域。 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G 的曲面，则称G为空间一维单连通区域。
G
G
G
一维单连通 二维单连通
一维单连通 二维不连通
一维不连通 二维单连通
1.有势场 如果在空间区域G内任一简单闭曲线 l ，都可以 做出一个以 l 为边界且全部位于区域G内的曲 面 S ，则称此区域为线单连域；否则称为线复连 域。
M
u(M ) A dl M0
则上式成为
A dl
u(M )
B
u(B) u( A)
A
AB
函数
u(M
)
满足
A
gradu(M
)，是
A
dl
Pdx
Qdy
Rdz
的原函数，利用求势函数的方法计算。
1.有势场
例
4：证
明A
2xyz3i
x
2
z
3
j
3x
2
yz
2
k
为保守场，并计
算曲线积分l
A
dl，其中
场的势函数的全体为， v sin y x2 yz2 C
自学P84页例2利用不定积分求该例的势函数。
1.有势场
例3:若
A
Pi
Qj
Rk
为保守场，则存在函数
u(M
)
使
A dl
u(M )
B
u(B) u( A)
A
证：因
AB
A
为保守场，则曲线积分
A dl
与路径无
关，于是
AB
A dl
如果在空间区域G内任一简单闭曲面 S 所包围的 全部点，都在区域G内（即 S 内没有洞），则称 区域G是面单连域，否则称为面复连域。
1.有势场
斯托克斯（Stokes）定理：光滑空间曲面
S
和边
界
l
成右手法则。函数
P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)
在 S,l 上均有一阶连续偏导数，则有
divA
0，还
会存在矢线么？
答案是肯定的，有这种性质的矢量场不仅存在
矢线，而且每条矢线都是闭合的。
典型的例子是磁力线
B
,磁力线是无头无尾的闭
合曲线，B
上任何一点散度为零，即
divB
0
。
以下将讨论散度为0的矢量场。
2.管形场
定义：设有矢量场
A
，若其散度
divA
0，则称
此矢量场为管形场。管形场就是无源场。
A
为有势场的充要条
件是
A
为无旋场。即
rotA 0。
证明：（1）必要性，设
A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k
1.有势场
证明：（1）必要性，若
A
是有势场，则必有
A
gradu
u
i
u
j
u
k
x y z
假定 P,Q, R 有一阶连续偏导数，则 u 有二阶连续
证：（必要性）设矢量场
A
Pi
Qj
Rk
为管形场，
则有
divA
0，需要证明存在矢量场
B Ui Vj Wk
满足
A
rotB
，也就是满足，
i jj
W
y
V z
P
rotB
x
y
z
等价于
U
z
W x
Q
UVW
V
x
U y
R
2.管形场
证：（必要性）
满足上式的矢量
B
，称为矢量
O y
M1( x, y0, z0 )
x
M2( x, y, z0 )
x
y
z
u(x, y, z)
x0 P(x, y0 , z0 )dx
y0 Q(x, y, z0 )dy
R(x, y, z)dz.
z0
1.有势场
例1：证明矢量场
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
场的势函数。
矢量场
A
与势函数
v
的关系是
A gradv
。
有势场是一个梯度场；
有势场的势函数有无穷多个，相互之间差一个 常数。
1.有势场
若已知有势场
A(M
)
的一个
势函数
v(M
)
，
则场中
所有的势函数全体可以表示为，
v(M ) C （ C 为任意常数）
是否任何矢量场都是有势场呢？
定理：在线连域内矢量场
为保守场，取
(x0 , y0 , z0 ) (0,0,0)
，则有
u
x
0dx
y
0dy
z 3x2 yz2dz x2 yz3
0
0
0
于是有,
A dl
x2 yz3
B(2,3,1)
12 4 8
l
A(1,4,1)
2.管形场
散度是对源的精细描述，散度为0必定无源。
如果一个矢量场散度处处为零，即
1.有势场
A
dl
Pdx
Qdy
Rdz
( u
dx
u
dy
u
dz)
du
x y z
上式表明
A
dl
Pdx Qdy Rdz为函数
u
的全微分；
也称函数 u 为该表达式的原函数。
一般称具有曲线积分 A dl 与路径无关性质
的矢量场为保守场。 M0M
物理学上把有势场也称为保守场或无旋场。
rot(gradu) 0 的物理意义是：对应有梯度的矢量 场必无旋。简言之：有势必无旋。
1.有势场
势函数的计算方法 当 M0(x0, y0, z0) M (x, y, z) 可以 采用折线过程，即：
M0 (x0, y0, z0 ) M1(x, y0, z0 ) M2(x, y, z0) M(x, y, z)
用公式表示为
z
M(x, y,z)
M0( x0 , y0 , z0 )
在 G 内恒成立。
1.有势场 定理2：设区域 G 是空间一维单连通区域，且函 数 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 在 G 内有一阶连续偏导 数，则表达式 PdxQdy Rdz 在 G 内成为某函数 u 的 全微分的充要条件是等式
P Q , Q R , R P y x z y x z
z
l
(Pdx
Qdy
Rdz)
S
((
R y
Q z
)dydz
S
( P R )dzdx ( Q P )dxdy)
z x
x y
l
联系空间第II型曲面积分
o
y
Dxy
和该边界第II型曲线积分。 x
C
空间曲线积分与路径无关的条件
1.有势场
斯托克斯公式的应用之一：空间曲线积分与路 径无关的条件。
空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲 线的曲线积分为零。 空间曲线积分在什么条件下与路径无关？
很容易证得， u P(x, y, z)
x
同理可得， u Q(x, y, z) u R(x, y, z)
y
z
于是有，A
dl
Pdx
Qdy
Rdz
(
u
dx
u
dy
u
dz)
x
y
z
(
u
i
u
j
u
k)
(dxi
dyj
dzk )
x y z
可以写出
A
( u
i
u
j
u
k)
gradu
x y z
定理：若矢量场A
A( x,
y,
z)为管形场，则任何一
矢量管中穿过两个横截面 S1,S2 的通量都相等，即
A dS A dS
或
1 2
证：
S1
S2
设
S
为由
S1 与
S
及这两断面
2
之间的一段矢量管面 S3 所组成
S3
S1
A
n1
S2
A n2
的一个封闭曲面。
2.管形场
证： 管形场的散度为零，由奥
M
u u(M ) u(M 0 ) M0 A dl
上面取法的最大优点是 dy 0,dz 0 ，于是有
( xx, y.z )
u
P(x, y, z)dx
( x, y.z )
根据积分中值定理，有
u P(x x, y, z)x 0 1
1.有势场
证明：（2）充分性 u P(x x, y, z)x
在 G 内恒成立。且
( x, y,z )
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 , z0 )
1.有势场
用定积分表示：
u( x, y, z)
x
x0 P( x, y0 , z0 )dx
y
y0 Q( x, y, z0 )dy
z
R( x, y, z)dz. z0
z
场 A 的矢势量。
这种性质的矢量场
B
是肯定存在的。只需设
z
y
U Q(x, y, z)dz R(x, y, z)dy
z0
y0
z
V P(x, y, z)dz z0
W C ( C 为任何常数)
采用含参量积分公式微分即可以得到结果。
2.管形场
例5：验证矢量场
A
(2z
3y)i
(3x
y)
M0M
( x, y,z )
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
即需要证明上式中的函数 u(x, y, z) 满足，
u P u Q
x
y
u R z
1.有势场
证明：（2）充分性，证明第一式 u P
x
设 M0 (x, y, z) 和 M0(x x, y, z)两点仅 x 坐标不同，有
j
(
z
2x)k为
管形场，并求场
A
的一个矢势量。
解：因为divA
0 11
0
，故
A
为管形场。
为求矢势量，取 (x0 , y0 , z0 ) (0,0,0) ，则有
z
y
U 0 (3x y)dz 0 2xdy 3xz yz 2xy
V z (2z 3y)dz 3yz z 2 W 1
氏公式可得，
A dS divAdV 0
S3
A
S1
A
n1
S2
n2
S
或 AndS AndS An dS 0
其中
S1
An
表示
A
S2
在闭曲面
S3
S 上的外向法矢
n
的方
向上的投影。
AndS AndS 0 AndS AndS A dS A dS
S1
S2
S1
S2
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为
有势场，并求其势函数。
证：势函数取 O(0,0,0) 来进行计算，求出的势函数
与此相差一个常数。
u
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
0dx
y
cos ydy
z 2x2 yzdz
0
0
0
sin y x2 yz2
势函数为， v u sin y x2 yz2
M(x, y,z)
M0( x0 , y0 , z0 )
O y
M1( x, y0, z0 )
x
M2( x, y, z0 )
其中 M0(x0, y0, z0) 为 G 某一定点，点 M(x, y, z)G 。
1.有势场
设有矢量场
A(M
)，若存在单值函数
u(M )
满足
A gradu
则称此矢量场为有势场；令 v u ，并称 v 为这个
令
0
B (3xz yz 2xy)i (3yz z2 ) j k
则有
rotB (2z 3y)i (3x y) j (z 2x)k A
l 是从
A(1,4,1)
到 B(2,3,1)的
任一路径。
证：
2 yz3 DA 2xz3
2xz3 6xy2 0 3x2z2
6
x
yz2
3x 2 z 2
6
x
2
yz
rotA (3x2z2 3x2z2 )i (6xyz2 6xyz2 ) j (2xz3 2xz3)k 0
故
A
《矢量分析与场论》
第11讲 几种重要的矢量场（1）
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 有势场 2. 管形场
教材：第2章，第5节
1.有势场 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区 域；否则称为复连通区域。
D D
单连通区域
1.有势场
定理1：设空间区域 G 是一维单连通区域，且函 数 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 在 G 内有一阶连续偏导
数，则空间曲线积分 Pdx Qdy Rdz 在 G 内与路径
l
无关（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的 充要条件是等式
P Q , Q R , R P y x z y x z