组合计数问题的基本方法--对应

组合计数问题的基本方法——对应(学生版)

一、例题分析

1.在如图所示的68⨯的网格中,若一只小虫子每次只能向右或向上爬一格,求这只小虫子从A 点爬到B 点的不同的路线数.

2.(1)在如图所示的57⨯的方格纸中,一共有多少个长方形？

(2)在如图所示的57⨯的方格纸中,一共有多少个包含阴影部分的长方形？

3.设凸n )4(≥n 边形的任意三条对角线不相交于形内一点,求凸n 边形对角线在形内的交点数.

4.将三角形的各边n 等分,过各分点作其余两边的平行线,求在三角形内所形成的平行四边形的个数S .

5.在圆周上有n )6(≥n 个点,每两点间连一线段,假设其中任意三条线段在圆内不共点,于是任意三条线 段相交构成一个三角形.求这些线段构成的三角形的个数.

6.求以凸n )6(≥n 边形的顶点为顶点,对角线为边的凸k )2

13(n k ≤

≤边形的个数.

7.(1)已知数列}{n a 共有12+k 项,01=a ,012=+k a ,且1||1=-+i i a a )2,,2,1(k i =.求满足这种条件的不同数列的个数.

(2)已知数列}{n a 共有12+k 项,01=a ,012=+k a ,1||1=-+i i a a 且0≥i a )2,,2,1(k i =.求满足这种条件的不同数列的个数.

8.戏院票房前有n 2人排队买票,每张票5元,其中有n 个人各持一张5元的纸币,另n 个人各持一张10元 的纸币,售票处没零钱找补.求能顺利买票而不发生找补零钱的困难的排队方法数.

9.(1)将n 个相同的小球装进m 个不同的盒子,求装球方法数.

(2)将n 个相同的小球装进m )(n m ≤个不同的盒子,每个盒子至少1个小球,求装球方法数.

10.设集合}2,,3,2,1{n S =,其中n 为正整数.现规定}为偶数,|||{中各元素之和A n A S A A n =⊆=, },|||{中各元素之和为奇数B n B S B B n =⊆=,求||||n n B A -.

二、巩固练习

11.(2011,卓越自主)已知数列}{n a 共有11项,01=a ,411=a ,且1||1=-+k k a a )10,,2,1,0( =k .满足这种条件的不同数列的个数为【 】.

A.100

B.120

C.140

D.160

12.(2012,华约自招)有六个棋子,分别是红色和黑色的车、马、炮,将它们排成一列,使得任何一个棋子左边的红色棋子不少于黑色棋子,则不同的排列方式数为____________.

13.(1)若将12个志愿者名额分给5个班,则分配方法数为____________.

(2)若将12个志愿者名额分给5个班,每个班至少1个名额,则分配方法数为____________.

14.若设集合}1000,,2,1{ =M ,现对M 的任一非空子集X ,令X a 表示X 中最大数与最小数之和,则所有这样的X a 的算术平均值为____________.

15.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.

16.甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛.若双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,……,直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程,则所有可能出现的比赛过程的种数为____________.

17.在数列20132109

,,9,9,9 中,删去首位数字是9的项,这个数列余下的项数为____________.

18.甲、乙两人参加竞选,甲得m 张选票,乙得n 张选票,n m >.在n m +张选票逐一唱票的过程中,甲得的 票数一直领先的唱票记录有多少种可能的结果？

组合计数问题的基本方法——对应(教师版)

一、例题分析

1.在如图所示的68⨯的网格中,若一只小虫子每次只能向右或向上爬一格,求这只小虫子从A 点爬到B 点的不同的路线数. 7925

12=C

解析:由于小虫子从A 点爬到B 点共需要爬行12格,其中向右爬行7格,向上爬行5格,爬行的某一格是向 右还是向上,就决定了爬行路线的不同,因此,我们只需要确定小虫子爬行的12格中的哪几格是向右,哪几 格是向上就可以了,即不同的爬行路线数为792512=C .

2.(1)在如图所示的57⨯的方格纸中,一共有多少个长方形？ 4202628=⋅C C

(2)在如图所示的57⨯的方格纸中,一共有多少个包含阴影部分的长方形？ 12014121513=⋅⋅⋅C C C C 解析:(1)由于任意两条水平线和竖直线就确定了一个长方形,且任意一个长方形的两条水平边对应着两 条水平线,两条竖直边对应着两条竖直线,因此图中长方形的个数为4202628=⋅C C .

(2)要包含阴影部分的长方形,两条竖直线中一条是阴影部分左侧3条线中的一条,另一条则是其右 侧5条线中的一条,两条水平线中一条是阴影部分下方2条线中的一条,另一条则是其上方4条线中的一 条,因此符合题意的长方形的个数为1201

4121513=⋅⋅⋅C C C C .

3.设凸n )4(≥n 边形的任意三条对角线不相交于形内一点,求凸n 边形对角线在形内的交点数. 4n C 解析:由于一个交点是由两条对角线相交而得,反之,两条相交的对角线有唯一的交点,又由于两条相交的 对角线对应着凸n 边形中的四个点,且凸n 边形中的四个点能确定两条相交的对角线,因此,凸n 边形对角 线在形内的交点数等于凸n 边形中四点组的组数,即凸n 边形对角线在形内的交点数为4C .

4.将三角形的各边n 等分,过各分点作其余两边的平行线,求在三角形内所形成的平行四边形的个数S .

解析:如图,延长BA 到点M ,使AB n AM 1=

,延长BC 到点N ,使CB n

CN 1=.设线段MN 的1+n 等分的分点(包括N M ,共2+n 个点)依次记为1,,3,2,1,0+n ,于

是图中的平行四边形每边所在直线恰与线段MN 交于四

点l k j i ,,,)10(+≤<<<≤n l k j i ,反之,过j i ,作AB

的平行线,过l k ,作BC 的平行线,便可得图中的一个平

行四边形,这种对应是一一对应.因此边与AC 不平行的平行四边形共42+n C 个,从而图中平行四边形的总个数为423+=n C S .

注意：将题目中的三角形改为正三角形,平行四边形改为菱形,其结果又如何？

结论:当n 为偶数时,)12)(2(81-+=

n n n S ；当n 为奇数时,)32)(1)(1(81++-=n n n S .

5.在圆周上有n )6(≥n 个点,每两点间连一线段,假设其中任意三条线段在圆内不共点,于是任意三条线 段相交构成一个三角形.求这些线段构成的三角形的个数. 654354n n n n C C C C +++ 解析:由于符合题意的三角形按顶点所在的位置可分为以下四类:

(1)第一类:三个顶点均为圆上的点,其个数为3n C (图1)；

(2)第二类:三个顶点中有两个是圆上的点,一个是圆内的点,其个数为44n C (图2)；

(3)第三类:三个顶点中有一个是圆上的点,两个是圆内的点,其个数为5

5n C (图3)；

(4)第四类:三个顶点均为圆内的点,其个数为6n C (图4)；

综上可知,符合题意的三角形的个数为6

54354n n n n C C C C +++.