组合计数问题的基本方法--对应

组合计数问题的基本方法——对应(学生版)
一、例题分析
1.在如图所示的68⨯的网格中,若一只小虫子每次只能向右或向上爬一格,求这只小虫子从A 点爬到B 点的不同的路线数.
2.(1)在如图所示的57⨯的方格纸中,一共有多少个长方形？
(2)在如图所示的57⨯的方格纸中,一共有多少个包含阴影部分的长方形？
3.设凸n )4(≥n 边形的任意三条对角线不相交于形内一点,求凸n 边形对角线在形内的交点数.
4.将三角形的各边n 等分,过各分点作其余两边的平行线,求在三角形内所形成的平行四边形的个数S .
5.在圆周上有n )6(≥n 个点,每两点间连一线段,假设其中任意三条线段在圆内不共点,于是任意三条线 段相交构成一个三角形.求这些线段构成的三角形的个数.
6.求以凸n )6(≥n 边形的顶点为顶点,对角线为边的凸k )2
13(n k ≤
≤边形的个数.
7.(1)已知数列}{n a 共有12+k 项,01=a ,012=+k a ,且1||1=-+i i a a )2,,2,1(k i =.求满足这种条件的不同数列的个数.
(2)已知数列}{n a 共有12+k 项,01=a ,012=+k a ,1||1=-+i i a a 且0≥i a )2,,2,1(k i =.求满足这种条件的不同数列的个数.
8.戏院票房前有n 2人排队买票,每张票5元,其中有n 个人各持一张5元的纸币,另n 个人各持一张10元 的纸币,售票处没零钱找补.求能顺利买票而不发生找补零钱的困难的排队方法数.
9.(1)将n 个相同的小球装进m 个不同的盒子,求装球方法数.
(2)将n 个相同的小球装进m )(n m ≤个不同的盒子,每个盒子至少1个小球,求装球方法数.
10.设集合}2,,3,2,1{n S =,其中n 为正整数.现规定}为偶数,|||{中各元素之和A n A S A A n =⊆=, },|||{中各元素之和为奇数B n B S B B n =⊆=,求||||n n B A -.
二、巩固练习
11.(2011,卓越自主)已知数列}{n a 共有11项,01=a ,411=a ,且1||1=-+k k a a )10,,2,1,0( =k .满足这种条件的不同数列的个数为【 】.
A.100
B.120
C.140
D.160
12.(2012,华约自招)有六个棋子,分别是红色和黑色的车、马、炮,将它们排成一列,使得任何一个棋子左边的红色棋子不少于黑色棋子,则不同的排列方式数为____________.
13.(1)若将12个志愿者名额分给5个班,则分配方法数为____________.
(2)若将12个志愿者名额分给5个班,每个班至少1个名额,则分配方法数为____________.
14.若设集合}1000,,2,1{ =M ,现对M 的任一非空子集X ,令X a 表示X 中最大数与最小数之和,则所有这样的X a 的算术平均值为____________.
15.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.
16.甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛.若双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,……,直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程,则所有可能出现的比赛过程的种数为____________.
17.在数列20132109
,,9,9,9 中,删去首位数字是9的项,这个数列余下的项数为____________.
18.甲、乙两人参加竞选,甲得m 张选票,乙得n 张选票,n m >.在n m +张选票逐一唱票的过程中,甲得的 票数一直领先的唱票记录有多少种可能的结果？
组合计数问题的基本方法——对应(教师版)
一、例题分析
1.在如图所示的68⨯的网格中,若一只小虫子每次只能向右或向上爬一格,求这只小虫子从A 点爬到B 点的不同的路线数. 7925
12=C
解析:由于小虫子从A 点爬到B 点共需要爬行12格,其中向右爬行7格,向上爬行5格,爬行的某一格是向 右还是向上,就决定了爬行路线的不同,因此,我们只需要确定小虫子爬行的12格中的哪几格是向右,哪几 格是向上就可以了,即不同的爬行路线数为792512=C .
2.(1)在如图所示的57⨯的方格纸中,一共有多少个长方形？ 4202628=⋅C C
(2)在如图所示的57⨯的方格纸中,一共有多少个包含阴影部分的长方形？ 12014121513=⋅⋅⋅C C C C 解析:(1)由于任意两条水平线和竖直线就确定了一个长方形,且任意一个长方形的两条水平边对应着两 条水平线,两条竖直边对应着两条竖直线,因此图中长方形的个数为4202628=⋅C C .
(2)要包含阴影部分的长方形,两条竖直线中一条是阴影部分左侧3条线中的一条,另一条则是其右 侧5条线中的一条,两条水平线中一条是阴影部分下方2条线中的一条,另一条则是其上方4条线中的一 条,因此符合题意的长方形的个数为1201
4121513=⋅⋅⋅C C C C .
3.设凸n )4(≥n 边形的任意三条对角线不相交于形内一点,求凸n 边形对角线在形内的交点数. 4n C 解析:由于一个交点是由两条对角线相交而得,反之,两条相交的对角线有唯一的交点,又由于两条相交的 对角线对应着凸n 边形中的四个点,且凸n 边形中的四个点能确定两条相交的对角线,因此,凸n 边形对角 线在形内的交点数等于凸n 边形中四点组的组数,即凸n 边形对角线在形内的交点数为4C .
4.将三角形的各边n 等分,过各分点作其余两边的平行线,求在三角形内所形成的平行四边形的个数S .
解析:如图,延长BA 到点M ,使AB n AM 1=
,延长BC 到点N ,使CB n
CN 1=.设线段MN 的1+n 等分的分点(包括N M ,共2+n 个点)依次记为1,,3,2,1,0+n ,于
是图中的平行四边形每边所在直线恰与线段MN 交于四
点l k j i ,,,)10(+≤<<<≤n l k j i ,反之,过j i ,作AB
的平行线,过l k ,作BC 的平行线,便可得图中的一个平
行四边形,这种对应是一一对应.因此边与AC 不平行的平行四边形共42+n C 个,从而图中平行四边形的总个数为423+=n C S .
注意：将题目中的三角形改为正三角形,平行四边形改为菱形,其结果又如何？
结论:当n 为偶数时,)12)(2(81-+=
n n n S ；当n 为奇数时,)32)(1)(1(81++-=n n n S .
5.在圆周上有n )6(≥n 个点,每两点间连一线段,假设其中任意三条线段在圆内不共点,于是任意三条线 段相交构成一个三角形.求这些线段构成的三角形的个数. 654354n n n n C C C C +++ 解析:由于符合题意的三角形按顶点所在的位置可分为以下四类:
(1)第一类:三个顶点均为圆上的点,其个数为3n C (图1)；
(2)第二类:三个顶点中有两个是圆上的点,一个是圆内的点,其个数为44n C (图2)；
(3)第三类:三个顶点中有一个是圆上的点,两个是圆内的点,其个数为5
5n C (图3)；
(4)第四类:三个顶点均为圆内的点,其个数为6n C (图4)；
综上可知,符合题意的三角形的个数为6
54354n n n n C C C C +++.
6.求以凸n )6(≥n 边形的顶点为顶点,对角线为边的凸k )2
13(n k ≤≤边形的个数. k k n k k n C C ----+11 解析:设凸n 边形为n A A A 21,符合条件的凸k 边形为k i i i A A A 21)1(21n i i i k ≤<<<≤ ,则有题意可知k i i i ,,,21 有且只有以下两种情况:
第一种情况:11=i ,1332-≤<<<≤n i i i k ,且21≥-+j j i i )1,,3,2(-=k j ；
第二种情况:n i i i k ≤<<<≤ 212,且21≥-+j j i i )1,,2,1(-=k j .
对于第一种情况,我们可以构造一个一一对应关系),,3,2(),,,(3232k i i i i i i k k ---→ ,这也就有
132132--≤-<<-<-≤k n k i i i k ,即相当于是从}1,,2,1{--k n 中取出1-k 个数,有11---k k n C 种
不同取法.这种情况下的凸k 边形有1
1---k k n C 个.
对于第二种情况,我们可以构造一个一一对应关系),,2,1(),,,(2121k i i i i i i k k ---→ ,这也就有k n k i i i k -≤-<<-<-≤ 21121,即相当于是从},,2,1{k n - 中取出k 个数,有k k n C -种不同取法.这种情况下的凸k 边形有k k n C -个.
综上可知,符合条件的凸k 边形有k k n k k n C C ----+11个.
7.(1)已知数列}{n a 共有12+k 项,01=a ,012=+k a ,且1||1=-+i i a a )2,,2,1(k i =.求满足这种条件的不同数列的个数. k k C 2
(2)已知数列}{n a 共有12+k 项,01=a ,012=+k a ,1||1=-+i i a a 且0≥i a )2,,2,1(k i =.求满足这种条件的不同数列的个数. 1
22--k k k k C C 解析:(1)由于1||1=-+i i a a ,因此1+i a 是在i a 的基础上1+或1-,而01=a ,012=+k a ,也就是说,12+k a 是在1a 的基础上进行了k 2次1+或1-的运算,其结果为0112=-+a a k ,所以在k 2次1+或1-的运算中共进行了k 次1+运算,k 次1-运算,故满足条件的不同数列的个数为k k C 2.
(2)由(1)知:应在k k C 2的基础上去掉不符合0≥i a 的情况.对于有0<i a 的情况,可对应于数列}{n a 满足:12a =-,012=+k a ,且1||1=-+i i a a .这时,在k 2次1+或1-的运算中进行了1-k 次1+运算,1+k 次1-运算,故这种情况的数列个数为12-k k C .综上可知,符合条件的不同数列的个数为122--k k k k C C .
8.戏院票房前有n 2人排队买票,每张票5元,其中有n 个人各持一张5元的纸币,另n 个人各持一张10元 的纸币,售票处没零钱找补.求能顺利买票而不发生找补零钱的困难的排队方法数. 122--n n n n C C 解析:我们构造一个一一对应关系:设持5元纸币买票相当于1+,设持10元纸币买票相当于1-,由于开始卖票时没有零钱找补,而卖完票时也应恰好没有零钱了,这也就相当于一个数列}{n a 共有12+n 项,且满足00=a ,02=n a ,1||1=-+i i a a )12,,2,1,0(-=n i ,又由于能顺利买票而不发生找补零钱的困难,因此这相当于0≥i a )12,,2,1,0(-=n i ,即是说原问题等价于:求数列}{n a 得个数,其中数列}{n a 满足:数列共有12+n 项,00=a ,02=n a ,1||1=-+i i a a ,且0≥i a )12,,2,1,0(-=n i .
由第7题第(2)小题的方法可得结果为122--n n n n C C .
9.(1)将n 个相同的小球装进m 个不同的盒子,求装球方法数. 11--+m m n C
(2)将n 个相同的小球装进m )(n m ≤个不同的盒子,每个盒子至少1个小球,求装球方法数. 11--m n C 解析:首先解决(2),我们设想将n 个相同的小球分成m 堆,每一堆至少1个小球,于是只需要在n 个小球形成的1-n 个间隙中选出1-m 个间隙,所选每个间隙处放上一块挡板,于是这n 个相同的小球就被分成m 堆,而且每一堆至少1个小球.然后,第一堆的小球放入第一个盒子,第二堆的小球放入第二个盒子,……,第m 堆的小球放入第m 个盒子,所以符合题意的装球方法数为11--m n C .
事实上,以上问题可抽象为:方程n x x x m =+++ 21)(n m ≤的正整数解),,,(21m x x x 的组数. 方程n x x x m =+++ 21的非负整数解),,,(21m x x x 的组数,与方程m n y y y m +=+++ 21的正整数解),,,(21m y y y 的组数相等,其中1+=i i x y ),,2,1(m i =,故方程n x x x m =+++ 21的非负整数解),,,(21m x x x 的组数为11--+m m n C .
于是,易知问题(1)的结果应为11--+m m n C .
10.设集合}2,,3,2,1{n S =,其中n 为正整数.现规定}为偶数,|||{中各元素之和A n A S A A n =⊆=, },|||{中各元素之和为奇数B n B S B B n =⊆=,求||||n n B A -.
解析:(1)当n 为奇数时,由于)12(2321+=++++n n n ,因此集合S 中各元素之和为奇数,此时对于任意的A A ∈,均有A B ∈(这里的A 表示A 相对于S 的补集),故0||||=-B A .
(2)当n 为偶数时,我们将n 2,,3,2,1 分组:)2,1(n ,)12,2(-n ,…,)1,(+n n .……………………(*) 对于集合S 任意的1-n 元子集C ,(*)式中必有一组数不属于集合C .例如,若C ∉1且C n ∉2,则此时有}1{ C ,}2{n C 分别属于n A ,n B .这表明:所有由这种方式构成的n A 与n B 的元素个数相等. 为了求||||n n B A -的值,我们只需考虑(*)式中的每一组数,它们要么同时属于集合A (或B ),要么同时不属于集合A (或B ),这里的A 是n A 的一个元素,B 是n B 的一个元素.对于此时的A (或B ),是由(*)式中的n 21组数构成的(若n 21为偶数,则得到一个A ；若n 2
1为奇数,则得到一个B ).所以,对于所有由这种方式构成的n A ,n B ,都有n n n n n C B A 2121)1(||||⋅-=-.
综上(1),(2)可知,当n 为奇数时,0||||=-n n B A ；当n 为偶数时,n n
n n n C B A 2121)
1(||||⋅-=-.
二、巩固练习 11.(2011,卓越自主)已知数列}{n a 共有11项,01=a ,411=a ,且1||1=-+k k a a )10,,2,1,0( =k .满足这种条件的不同数列的个数为【 】. 1207
10=C
A.100
B.120
C.140
D.160
12.(2012,华约自招)有六个棋子,分别是红色和黑色的车、马、炮,将它们排成一列,使得任何一个棋子左边的红色棋子不少于黑色棋子,则不同的排列方式数为____________. 180)(33332636=⋅⋅-A A C C
13.(1)若将12个志愿者名额分给5个班,则分配方法数为____________. 1820416=C
(2)若将12个志愿者名额分给5个班,每个班至少1个名额,则分配方法数为____________. 330411=C
14.若设集合}1000,,2,1{ =M ,现对M 的任一非空子集X ,令X a 表示X 中最大数与最小数之和,则所有这样的X a 的算术平均值为____________.
解析:由于对于集合M 的任意一个子集},,,{21k b b b X =,不妨设k b b b <<< 21,则必存在另一个子集}1001,,1001,1001{'21k b b b X ---= ,这时,k X b b a +=1,X k X a b b a -=-+-=2002100110011',即是有',X X a a 的算术平均值为1001.将M 中的非空子集进行配对,对每一个非空集合M X ⊆,都存在唯一的集合}|1001{'X x x X ∈-=,则M X ⊆'.于是,所有这样的X a 的算术平均值为1001.
15.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.
解一：将100个等分点按顺时针方向依次记为10021,,,P P P .
以1P 为一个顶点,沿顺时针方向在半圆周5032P P P 内再任取两个点,由此三点组成的三角形必为钝角三角形,共249C 个.同理,以i P )100,,2,1( =i 为一个顶点,沿顺时针方向在半圆周4921+++i i i P P P (规定:若100>k ,则100-=k k P P )内再任取两个点,由此三点组成的三角形必为钝角三角形,共249C 个.也就是说,对每一个点,对应的钝角三角形均有249C 个.所以,钝角三角形的个数为117600100249=C .
解二：任取三点均可构成三角形,即三角形共有3100C 个；任意一条直径的两个端点以及另外任意一点均可构成直角三角形,共9850⨯个；任意一个锐角三角形,以其中两个顶点以及另一顶点关于圆心的对称点为顶点的三角形必为钝角三角形；同时,对任意一个钝角三角形,只有当钝角所在的顶点关于圆心的对称点
与另两个顶点为顶点的三角形才是锐角三角形.即是说,钝角三角形的个数应当是锐角三角形个数的三倍. 综上可知,钝角三角形的个数为117600)9850(4
33100=⨯-C . 注意：将100改为n 2,结论如何？将100改为12+n ,结论又如何？用何方法求解？
16.甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛.若双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,……,直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程,则所有可能出现的比赛过程的种数为____________. 3432714=C
17.在数列20132109,,9,9,9 中,删去首位数字是9的项,这个数列余下的项数为____________. 1921 解析:若数列中某一项的首位数字为9,则其前一项的首位数字必为1,且这两项的位数相同.反之,若数列 中有两项位数相同,则这两个数的首位数字必定一个为1,另一个为9.删去首位为9的项,相当于在每对位 数相同的项中删去一项,因此余下的数列中每个数的位数恰好为k ,,3,2,1 ,共有k 项,其中k 为20139
的 位数,易知19211]4771.04026[1]3lg 4026[1]9
[lg 2013=+⨯=+⨯=+=k .
18.甲、乙两人参加竞选,甲得m 张选票,乙得n 张选票,n m >.在n m +张选票逐一唱票的过程中,甲得的 票数一直领先的唱票记录有多少种可能的结果？ m n m m n m C C 111-+--+-。