线性代数 第二章 第2节

,
y1
y
y2 ym
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Ex.3 计算x
y
2 3
43
x y
.
解
原式 2x 3 y
3
x
4
y
x y
2x2 6xy 4 y2 .
Ex.5
计算
1 0
22 2 3 4 8
0 1
解
原
式
1 0
8 9
8 32
0 4
9 32
8 13
.
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矩阵的转置及其运算规律
或简写成
EA = AE = A
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矩阵的 n 阶方阵的乘幂
定义 A1 A, A2 A1 A1 , , Ak1 Ak A1
其中 k 是整数。 注意：只有方阵才有乘幂的概念。
乘幂满足下列运算规律：
Ak Al Akl , ( Ak )l Akl
其中 k ,l 为正整数。 由于矩阵乘法不满足交换律，所以一般来说
s列
a11 a12
a21 a22
am1
am2
a1s a2s
b11 b21
ams
bs1
b12 b22 bs2
b1n b2n bsn
s行
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例4 求矩阵
的乘积 AB 。
4 1 0
A
1 2
0 1
3 0
21与B
1 2 1
定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个
新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。
例如矩阵
A
1 3
2 1
10 ,
1 3
转置矩阵是
AT 2 1.
0 1
矩阵转置满足以下运算规律：
(1) . AT T A;
(3). AT AT ;
(2). A BT AT BT ;
(4). ABT BT AT .
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上节例3中的线性变换
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn ,
y2
a21 x1 a22 x2 a2n xn
,
(2)
y1 am1 x1 am2 x2 amn xn ,
利用矩阵乘法，可记作 Y AX.
其中
A aij ,
x1
X
x2 xn
ai1, ai2 ,
b1 j
ais
b2 j
ai1b1 j
ai2b2 j
aisbsj
s
aikbkj
k 1
cij
bsj
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矩阵乘积 AB C的(i,j)元cij就是A的第i行与 B的第j列的乘积.
a11 a12
ai1
ai 2
am
1
am2
a1s
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加法运算满足下列运算规律（设A、B、C 都是
m n 矩阵）： (1). A B B A; (2). (A B) C A (B C). 设矩阵 A (aij ), 记 A (aij ), A称为 A 的负矩阵。 显然，A ( A) 0.
规定矩阵的减法为
A B A (B).
§2 矩阵的运算
★矩阵的加法及其运算规律 ★数与矩阵相乘及其运算规律 ★矩阵与矩阵相乘及其运算规律 ★矩阵的转置及其运算规律 ★方阵的行列式及其运算规律 ★共轭矩阵
元素的运算及运算规律是代数研究的一个 主要问题，矩阵作为一个新的元素，本节定义 了相关的各种运算，以方便用矩阵解决问题。
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矩阵的加法及其运算规律
性变换（3）与线性变换（4）的乘积。相应地，把
线性变换（5）所对应的矩阵定义为（3）、（4）所
对应的矩阵的乘积，即：
a11 a21
a12 a22
a13 a23
b11 b21 b31
b12 b22 b32
a11b11 a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 a23b31
a11b12 a21b12
则称A为对称阵。 对称阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴
对应相等。 另外，只有方阵才有“对称”的意义。
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例6
已知
A
2 1
0 3
21,
B
1 4 2
7 2 0
1 3 , 1
求( AB)T .
解法1 因为
AB
2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3 1
107
14 13
103 ,
,
1
b11 b1n E B
(i 1,2, , m; j 1,2, , n),
(6)
并把此乘积记作 C AB.
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注：
a1i
a2i
asi
bi
1
,
bi2 ,
a1ibi1 a1ibi 2
bit
a2 i bi 1
asibi1
a2ibi 2
asibi1
a1ibit
a2ibit
asibit
航线条数。
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例如
2 1 1 0
A2
0 1 0
1 0 2
1 0 1
1
0 1
b23 1, 显示从②市经一次中转到③市的单向
航线有1条。（②→①→③）
b42 2, 显示从④市经一次中转到②市的单向
航线有2条。（ ④ →①→ ② ， ④ → ③ → ② ）
b33 0, 显示③市没有双向航线。
定义2 设有两个 m n 矩阵 A (aij ), B (bij ), 那么矩阵A 与 B 的和记作 A B, 规定为：
a11 b11AB Nhomakorabeaa21
am1
b21 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
amn
b2n bmn
.
注意：只有两个同类型的矩阵才能相加。
a12b22 a22b22
a13b32 a23b32
.
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定义4 设 a (aij )是一个 m s 矩阵，B (bij ) 是一个 s n矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积
是一个 m n 的矩阵C (cij ), 其中
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
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y1 y2
(a11b11 (a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 )t1 a23b31 )t1
(a11b12 (a21b12
a12b22 a22b22
a13b32 )t2 , (5) a23b32 )t2 .
线性变换（5）可以看着是先作线性变换（4）
再作线性变换（3）的结果。称线性变换（5）为线
所以
0 17 ( AB)T 14 13.
3 10
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解法2
因为
A
2 1
0 3
21,
B
1 4 2
7 2 0
1 3 , 1
所以
1 4 2 2 1 0 17
( AB)T BT AT 7 2 0 0 3 14 13.
1 3 1 1 2 3 10
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所以H是对称阵。
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HH T H 2 (E 2XX T )2 E 4XX T 4( XX T )( XX T ) E 4XX T 4X ( X T X )X T E 4XX T 4XX T E.
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方阵的行列式及其运算规律
定义6 由 n 阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），叫做方阵A的行列式，记作 |A|或 det A。
例7 设列矩阵X ( x1 , x2 , , xn )T 满足X T X 1, E
为n阶单位矩阵, H E 2 XX T , 证明H是对称阵 且HH T E.
注意 : X T X x12 x22 xn2是一阶方阵, 也就是一个数, 而XX T是n阶方阵.
证 H T (E 2XX T )T ET 2( XX T )T E 2XX T H ,
由 A 确定的 |A| 这个运算满足下列运算法 则（设A、B为 n 阶方阵，λ为数）：
(1) . AT A ; (2) . A n A;
(3) . AB A B .
只证 ( 3 )。
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设A=（aij），B=（bij），记 2n 阶行列式
a11 a1n
0
D an1 ann
A0
42 与B
2 3
4 6
的乘积AB与BA.
解
AB
2 1
42
2 3
4 6
16 8
32 16
;
BA
2 3
46
2 1
4 2
0 0
00 .
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由例4和例5知，一般情况下， AB有意义，BA不 一定有意义，即使BA有意义，也不一定有AB=BA ， 即矩阵的乘法不满足交换律。
例5还表明，由AB =AC不能推出B =C，并且AB =0也不能说明A=0或B=0，即矩阵的乘法不满足消去 律。
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 , a23 x3 ,
(3)
x1 x2
b11t1 b21t1
b12t2 , b22t2 ,
(4)
x3 b31t1 b32t2 .
若想求出从 t1, t2 到 y1, y2的线性变换，可将(4)式
代入(3)式，便得：
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矩阵乘法的运算规律
矩阵的乘法满足下列运算规律（假设运算都是 可行的）：
(1). (AB)C A(BC);
(2). (AB) (A)B A(B);
(3). A(B C) AB AC,
(B C)A BA CA.
对于单位阵E，容易验证
Em Amn Amn En Amn .
1 0 0 3
3 2 (1) 1 2 4 1 (1)
3 0 (1) 3 21 11
3 1 (1) 4 2013
02 21
00 23
01
2
4
9 9
2 9
111.
注意：由于 B 的列数是3，而 A 的行数是2，
因此 BA 没有意义。
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例5
求矩阵
A
2 1
1 0 3
3
1 4
解 因为 A 是 2×4 矩阵，B是 4×3 矩阵，
A 的列数与 B 的行数相等，所以 A 与B 可以相乘。 其乘积 AB = C 是一个 2×3 的矩阵。
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4 1 0
C
AB
1 2
0 1
3 0
21
1 2 1
1 0 3
3
1 4
1 4 0 (1) 11 0 1
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数与矩阵相乘及其运算规律
定义3 数与矩阵A的乘积记作A 或 A ,
规定为：
a11 a12 a1n
A
A
a21
am1
a22
am 2
a2n
amn
.
数与矩阵的乘积满足下列运算规律（设 A、B 为
m n 矩阵 , 是数) :
(1). ()A (A);
(2). ( )A A A;
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我们只证明(4)。
设A
aij
,B
ms
bij
,记AB C
sn
cij
,
mn
BT AT (dij )nm . 于是按公式（6），有
s
cij a jkbki , k 1
而BT的第i行为 b1i , , bsi , AT的第j列为 a j1 , a js T ,
(3). ( A B) A B.
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矩阵的相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵 的线性运算。
注意： a11 a12
λ ai1 ai2
an1 an2
a1n
a11
ain λa i1
ann
an1
a12 λai 2 an2
a1n λain ann
a11 a12
ais
amn
b11
b21
bs1
b1 j b2 j bsj
b1n
b2n
bsn
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj , k 1
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必须注意：只有当第 1 个矩阵（左矩阵）的列 数与第 2 个矩阵（右矩阵）的行数相等时才能相乘。
例如
( AB)k Ak Bk .
( AB)2 ( AB)( AB) A2B2 .
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第1 节例2中有一个四城市间单向航线矩阵A，
0 1 1 1
2 1 1 0
由
A
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
,
有A2
0 1 0
1 0 2
1 0 1
1
0 1
记A2 (bij ), 则bij 为从 i 市经一次中转到 j 市的单向
a21 am1
a22 am2
a1n a11
a2n amn
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
amn
.
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例
设A
6 0
39
则A
3
2 0
1 3
而 6 3 54 32 2 1
0 -9
0 3
3
2 0
1 3
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矩阵与矩阵相乘
设有两个线性变换
因此
所以
s
s
dij bkia jk a jkbki ,
k 1
k 1
dij c ji (i 1,2, , n; j 1,2, , m),
即D CT ,亦即BT AT ( AB)T .
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设A为n 阶方阵，如果满足 AT A, 即
aij a ji (i, j 1,2, , n)