第二节留数的计算方法

i i
1 2π 1 i f i i d . 0 2π i re re
16
1 2π 2π i 0
1 i f i i 2 dre i re ( re )
1 2π i

1

1 1 f 2 d
5
证
C
如图
C1 C2 Cn
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
.zn
z1 . .z2
C

两边同时除以 2i 且
D
1 1 1 f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 2i C1 2i C2 2i Cn
k 1
n

C
Res[ f ( z ), zk ] f ( z )dz 2i k 1
2iRes[ f ( z ), ].
n
(留数定理)
计算积分
C
f ( z )dz
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计算无穷远点的留数.
优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)
14
3.在无穷远点处留数的计算 •规则4
1 1 d 5 6 z sin z . Res f ( z ),0 lim 5 z 6 5! (6 1)! z 0 dz z
21
ez 例4 计算积分 2 dz , C为正向圆周: z 2. z( z 1) C
解 z 0 为一级极点,
f ( z ) c n ( z z0 ) n c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
2
积分 f ( z )dz
C
c n ( z z0 ) dz c1 ( z z0 ) dz
20
说明: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求 c1 来计算留数 .
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m 取得比实际的级数高. 但有时把m取得比实际的
级数高反而使计算方便. 如上例取 m 6 :
c0 ( z z0 )m c1 ( z z0 )m 1
8
两边求 m 1 阶导数,
d m 1 m 得 m 1 [( z z0 ) f ( z )] dz
( m 1)! c1 +(含有 z z0 正幂的项)
d m 1 m lim m 1 [( z z0 ) f ( z )] ( m 1)!c1 , z z0 dz
Res[ f ( z ), z1 ] Res[ f ( z ), z2 ] Res[ f ( z ), zn ]
Res[ f ( z ), zk ] 即可得.
k 1 n
[证毕]
6
2.留数的计算方法 (1) 如果 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点, 则 Res[ f ( z ), z0 ] 0. (2) 如果 z 0 为 f ( z ) 的本性奇点, 则需将 f ( z ) 展开 成洛朗级数求 c1 . (3) 如果 z 0 为 f ( z ) 的极点, 则有如下计算规则 •规则1 如果 z 0 为 f ( z )的一级极点, 那末
1 1 Res[ f ( z ), ] Res f 2 ,0 z z
说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线 积分的又一种方法:
C

1 1 f ( z )dz 2iRes f 2 ,0 z z
1.定义 设函数 f ( z )在圆环域 R z 内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， 1 则称此定值 那末积分 f ( z )d z 的值与 C 无关， 1 2 i C
为 f ( z ) 在 点的留数， 1 1 记作 Res[ f ( z ), ] f ( z )dz f ( z )dz 2i C 2i C 注意积分路线取顺时针方向
1 z0 为 Q( z ) 的一级极点.
10
因此
1 1 ( z ), Q ( z ) z z0 1 f (z) P ( z ) ( z ) . z z0 在 z0 解析且 P ( z0 ) ( z0 ) 0.
其中 ( z ) 在 z0 解析且 ( z0 ) 0,
n 1 C C
0 n c0dz c1 ( z z0 )dz cn ( z z0 ) dz
C C C
(高阶导数公式)
2i
0 (柯西-古萨基本定理)
2ic1
洛朗级数中负幂项 c1 ( z z0 ) 的系数
1
3
1 即 c 1 f ( z )dz Res[ f ( z ), z0 ] 2i C f ( z ) 在 z0 的留数 定义 如果 z0 为函数 f ( z ) 的一个孤立奇点, 则沿
此法在很多情况下此法更为简单.
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证
现取正向简单闭曲线C为半径足够大的 1 z . 令z , 正向圆周 :

1 并设 z e , re , 那末 , , r 于是有 Res[ f ( z ), ] 1 f ( z )dz 2i C 1 2π i i f ( e ) ie d 2π i 0
说明 Res[ f ( z ), ] c 1
c1
12
2.定理二 如果函数 f ( z ) 在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点, 那末 f ( z ) 在所有各奇点 (包括点) 的留数的总和必等于零. 证

C
.
. z1 . zk .z2 .
n
. .
(绕原点的并将 zk包含在 内部的正向简单闭曲线) 由留数定理有:
4
二、利用留数求积分
1.留数定理
函数 f ( z ) 在区域 D内除有限个孤
立奇点 z1 , z2 ,, zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇
点的一条正向简单闭曲线, 那末
C
Res[ f ( z ), zk ]. f ( z )dz 2i k 1
n
说明: 1. f ( z )在C上及C内部处处解析； 2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数.
如果 P ( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , 那末 z0 为
P ( z0 ) f ( z ) 的一级极点, 且有 Res[ f ( z ), z0 ] . Q ( z 0 )
证
因为 Q( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 所以z0 为 Q( z ) 的一级零点,
z 1为二级极点,
z
e Res[ f ( z ),0] lim z 2 dz z 0 z ( z 1) ez lim 2, z 0 ( z 1)
z 1 d e 2 Res[ f ( z ),1] lim ( z 1) ( 2 1)! z 1 dz z( z 1)2
证
m 1
f ( z ) c m ( z z0 )
m
c 2 ( z z0 )
2
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 )
( z z0 )m f ( z ) cm cm 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1
在 z0 的某个去心邻域 0 z z0 R 内包含 z0 的
任意一条简单闭曲线 C 的积分
C
f ( z )dz 的值除
以 2i 后所得的数称为 f ( z ) 在 z0 的留数.
记作 Res[ f ( z ), z0 ]. (即 f ( z ) 在 z0 为中心的圆环
域内的洛朗级数中负幂项c1 ( z z0 )1 的系数.)
Res[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ).
z z0
7
•规则2 如果 z0 为 f ( z ) 的 m 级极点, 那末
1 d Res[ f ( z ), z0 ] lim m 1 [( z z0 )m f ( z )]. ( m 1)! z z0 dz
第二节
留 数
一、留数的引入
二、利用留数求积分
三、在无穷远点的留数
四、典型例题
五、小结与思考
一、留数的引入
设 z 0 为 f ( z ) 的一个孤立奇点;
.z
z0 的某去心邻域 0 z z0 R
0
C
C:邻域内包含z0 的任一条正向简单闭曲线
f ( z ) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数:
1 d n1 n e z ez lim n1 z n 所以 Res n ,0 z 0 dz ( n 1 )! z z
1 . ( n 1)!
18
P ( z ) z sin z 例2 求 f ( z ) 在 z 0 的留数. 6 Q( z ) z
(
1

为正向 ) .
在 内除 0
1

1 1 Res f 2 ,0 . z z
外无其他奇点 . [证毕]
17
四、典型例题
ez 例1 求 f ( z ) n 在 z 0 的留数. z
解
因为 z 0 是 f ( z )的 n阶极点，
分析
P (0) P (0) P (0) 0 , P (0) 0 .
z 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z 0 是 f ( z )的三级极点，由规则3得
1 d 3 z sin z Res[ f ( z ),0] lim 2 z . 6 ( 3 1)! z 0 dz z
所以 Res[ f ( z ), z0 ] c1
1 d lim m 1 [( z z0 )m f ( z )]. ( m 1)! z z0 dz
m 1
[证毕]
9
P(z) , P ( z ) 及 Q( z ) 在 z0 都解析， •规则3 设 f ( z ) Q( z )
22
z d ez e ( z 1) lim 0 , lim 2 z 1 dz z z z 1
ez 所以 2 dz z( z 1) C
2iRes[ f ( z ),0] Res[ f ( z ),1]
Res[ f ( z ), ] Res[ f ( z ), zk ]
1 1 f ( z )dz f ( z )dz 0. 2i C 1 2i C
k 1
[证毕]
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说明: 由定理得
Res[ f ( z ), zk ] Res[ f ( z ), ],
P(z) Res[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) z z0 P ( z0 ) . Q ( z 0 )
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所以 z0 为 f ( z ) 的一级极点,
三、在无穷远点的留数
2
计算较麻烦.
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解
如果利用洛朗展开式求 c1 较方便:
z sin z 1 z3 z5 6 z z 6 3! 5! z z
z3 z5 , 3! 5!
1 z sin z Res ,0 c1 . 6 5! z