【初中数学精品资料】第十四章 第2节 一次函数,一次函数

年 级 初二 学 科 数学

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人教新课标版

课程标题 第十四章第2节一次函数——一次函数

编稿老师 陈孟伟 一校 林卉

二校

黄楠

审核

王百玲

一、学习目标：

1. 理解一次函数的概念和性质，知道其图象的形状、位置及其与解析式系数的关系，会用待定系数法确定函数解析式，能运用函数知识解决一些实际问题；

2. 通过学习，进一步体会数形结合的思想和分类讨论、化归、待定系数法等数学思想。

二、重点、难点：

重点：一次函数的性质和解析式的确定。 难点：运用一次函数解决实际问题。

三、考点分析：

一次函数是中考重点考查的内容之一，从近几年各地的中考试卷来看，试题类型比较全面，有填空题、选择题及解答题。考查内容以图象为主，主要体现在以生活实际为背景，与生活实际相联系，具有浓厚的生活气息。我们要把一次函数的图象、性质与列方程解应用题结合起来，才能把握好本节内容，以至于在中考中不丢分。

知识点一：一次函数的定义

例1. 已知2

3

(2)3m y m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？

解析式

图象

性质

一次函数

形式为(0)y kx b k =+≠

利用待定系数法确定解析式

需要两对对应值

一条直线 取两点

增减性：

0k >时，y 随着x 的增大而增大； 0k <时，y 随着x 的增大而减小。

图象位置：直线y kx b =+过两个象限或三个象限，由,k b 的符号共同决定。

思路分析：根据一次函数的定义知，形如(0)y kx b k =+≠的函数叫一次函数。这里有几点需要注意：x 的次数为1，系数不为0，常数项可以为0。

解答过程：由题意，得231

20m m ⎧-=⎨-≠⎩

解得2m =-

所以，当2m =-时，2

3(2)3m y m x -=-+可化为43y x =-+，y 是x 的一次函数。

解题后的思考：判断某函数是否是一次函数时，易忽略y kx b =+中0k ≠这个重要条件。

小结：

学习一次函数的定义，应注意以下几个问题：

（1）由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式可化为y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）的形式。

（2）一次函数解析式y kx b =+的结构特征：0k ≠；自变量x 的次数为1；常数项b 可以为任意实数。

（3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数。 （4）因为若0k =，则y b =（b 为常数），这样的函数叫做常函数，它不是一次函数。

知识点二：正比例函数与一次函数的关系

例2. 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）3

x y =-； （2）8

y x -=；

（3）28(18)y x x x =+-； （4）18y x =+。

思路分析：首先看每个函数解析式能否通过恒等变形，转化为(0)y kx b k =+≠的形式，若x 的次数是1，则是一次函数，否则就不是一次函数；在一次函数中，如果常数项0b =，那么它就是正比例函数。

解答过程：（1）1

3

y x =-

1

3k =-，0b =

∴3x

y =-是一次函数，而且是正比例函数。

（2）8

y x

-=

8

x

-不是整式 ∴不能化为(0)y kx b k =+≠的形式

∴8

y -=不是一次函数，也不可能是正比例函数。 （3）28(18)y x x x =+-经过恒等变形，转化为y x =，其中1k =，0b =

∴28(18)y x x x =+-是一次函数，而且是正比例函数。 （4）18y x =+即为81y x =+，其中8k =，1b = ∴18y x =+是一次函数，但不是正比例函数。

解题后的思考：如本例中的3

x

y =-既是正比例函数，又是一次函数，但有些同学易错

误地认为它只是正比例函数。

小结：

正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数，用图形表示它们之间的关系

一次函数(0)y kx b k =+≠，当0b =时是特殊的一次函数（即正比例函数），当0b ≠时是一般的一次函数。

知识点三：一次函数的图象及画法

例3. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：21y x =+、1

12

y x =

+。 思路分析：可先求出直线上的两点，即分别令0x =和0y =，求出对应的y 值与x 值，

然后描点、连线即可画出图象。

解答过程：在21y x =+中，令0x =，得1y =；令0y =，得1

2

x =-。即直线21

y x =+过点(0,1)、1

(,0)2-。

在112y x =+中，令0x =，得1y =；令0y =，得2x =-。即直线1

12

y x =+过点(0,1)、

(2,0)-。

描点、连线，图象如下：

解题后的思考：一次函数的图象是一条直线，所以只要描出两个点就可以画出其图象。解此题同学们不是必须取这两个点，如直线21y x =+还可以取(0,1)和(1,3)两点。

例4. 若一次函数1y kx k =+-的图象经过第一、三、四象限，则k 的取值范围是（ ）

A.0k >

B.0k <

C.01k <<

D.1k >

思路分析：一次函数y kx b =+中，参数k 影响直线的倾斜方向和倾斜程度，b 影响直线与y 轴的交点。

解答过程：

由题意画出一次函数的图象，如图所示。

一次函数 正比例函数

x y 1

-2 21y x =+

1

12

y x =+

1 -1

O