优秀教案36-第三章函数应用复习课

复习课：第三章函数的应用

教学目标

重点：利用零点存在定理判断函数零点的个数，利用二分法求方程的近似解；掌握指数函数、对数函数、幂函数、一次函数这四种函数模型的增长差异.

难点：（ 1）利用函数性质讨论函数的零点，二分法的基本思想；（2）实际问题的函数刻画

能力点：能充分利用数形结合及等价转化的数学思想解决问题

教育点：培养学生解决问题中思维的严密性

自主探究点：通过函数图像研究指数函数、对数函数、幂函数、一次函数这四种函数模型的增长差异.易错点：（ 1）应用零点存在定理，不注意函数图像的连续性，对定理理解不透彻

（2）函数性质掌握不牢固，根据函数性质，数形结合解决问题能力弱，分类讨论的标准不

明确，不能做到补充不漏

学法与教具

1.学法：自主学习、合作探究；注重结合函数图像，利用数形结合和转化的思想解决问题

2.教具：多媒体，投影仪，三角尺

一、【知识结构】

零点的定义

方程的根与函数的零点

零点存在定理

函数与方程

函用二分法求方程的近似解

数

的

应

用

几类不同增长的函数模型

函数模型及其应用

函数模型的应用实例

二、【知识梳理】

1. 掌握方程的根与函数零点的关系.

2. 能够熟练利用零点存在定理判断函数的零点的个数.

3.掌握用二分法求函数的零点近似值( 方程近似解 ) 的步骤 .

4. 掌握指数函数、对数函数、幂函数、一次函数这四种函数模型的增长差异.

y a x (a1) 爆炸增长，

y x n ( n 0) 快速增长，

y kx b(k0) 匀速增长，

y log a x(a 1) 缓慢增长.

5. 掌握建立确定性函数模型和拟合函数模型解决实际问题的程序.

三、【范例导航】

例 1（提高题）已知 a 是实数，函数 f (x)2ax 22x 3 a .如果函数 y f（ x) 在区间 [1,1]上有零点，求 a 的取值范围.

【分析】函数 f ( x)2ax 22x3a 的二次项系数未知，因此要讨论二次项系数是否等于0. 当二次项系数 2a 0 ，即 a0 时，函数y f（ x) 是一次函数，直接求函数的零点；当二次项系数2a0 ，即a 0 时，函数y f（ x) 是二次函数，再利用数形结合讨论函数的零点.

【解答】解：当 a0 时，函数 f ( x)2x 3 ，零点为 x 3

，不符合题意 . 2

当 a0 时，函数 f ( x)2ax22x 3a在区间 [ 1,1]上有零点分为两种情况：（ 1）函数 y f（ x) 在 [ 1,1]上只有一个零点，此时

48a( 3a)

48a( 3a) 0 0

1

所以

( a5)(a 或

1

f ( 1) f (1)1) 01

2a

解得：

1 a5或a 37 2

（ 2）函数y f（ x) 在 [ 1,1]上有两个零点，

4 8a( 3 a) 0 4 8a( 3a) 0

a0a0

111或111

2a

2a

f (1)0 f (1)0

f (1)0 f (1)0

解得： a 5或 a 37

2

综上所述，若函数y f（ x) 在区间 [ 1,1]上有零点，则a的取值范围 a

37 1或 a.

2

【点评】解决二次函数零点问题要注意结合图像，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，考虑的方

面有：判别式、韦达定理、对称轴、函数值的大小、开口方向等.

从数上说，函数y f（ x) 的零点就是方程 f ( x）=0 的根；从形上说，函数y f（ x) 的零点就是函数图像与 x 轴交点的横坐标. 函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点三者间有着内在的本质联系，

高考中有许多问题涉及三者的转化，思考时要注意.

变式训练1：二次方程x22( k4) x2( k22)0 的两个根都是正数，求实数k 的取值范围.

答案： 2 k2或 2k10 （分析：x1x20 ），

x1x20

变式训练2：设集合A{( x, y) | x2mx y20} B {( x, y) | y x 1},0x 2 ，A B，求实数 m 的取值范围.

答案： m1

例2. 某单位计划用围墙围出一块矩形场地 .现有材料可筑墙的总长度为l .如果要使围墙围出的矩形场地的面

积最大，问矩形的长、宽各等于多少？

【分析】若设矩形的长为x ，则宽为l

(l2x) ，从而矩形的面积为 S x

l

(l 2x)x2

l

x ，222

是关于 x 的二次函数，建立二次函数模型，利用二次函数的方法解决实际问题.

【解答】 解：设矩形的长为

x ，则宽为 l

(l

2x) ，矩形的面积为

2

S x l (l 2x)

x 2

l x 2

2

l 2

2

l

x

l

（ 0

）

4

16 x

2

所以，当 x

l

l 2 时，函数取得最大值，即 S max

，

4

16

此时，矩形的宽为

l 2x

l .

2

4

所以，当这个矩形的边长为

l 时，所围成的面积最大为 l 2 ，此时矩形为正方形 . 4 16

【点评】 对于求实际问题的最值，应先建立函数模型，然后对函数求最值，最后要回扣实际问题，解决

实际问题应注意不要忽略定义域

.

变式训练：矩形 ABCD 中，已知 AB a, BC

b, b a ，在 AB, AD, CD ,CB 上分别截取 E, H , G, F ，

且AE AH CG CF x ，当 x 为何值时，四边形

EFGH 的面积最大？并求出最大面积？

答案：当 a

3b, x

a b ( a b) 2

时， S max ；

4

8

当 a

3b, x b 时， S max ab b 2 .

例 3. 旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为

15000 元，旅游团中的每人的飞机

票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若旅游

团的人数多于 30 人，则给与优惠，每多

1 人，机票费每张减少 10 元，但旅游团的人数最多有 75 人，

那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？

【分析】 根据不同的人数有不同的票价，需要分段列出函数关系式，然后根据列出的分段函数分析解决

问题 .其中，利润 = 收入（飞机票的总收费）—支出（包机费）

.

【解答】 设旅游团的人数为

x 人，飞机票为 y 元，由题意得：

当 1 x

30 时， y

900 ；