第二章 轴向拉伸和压缩(浅背景)(老)

第二章拉伸和压缩
第二章
拉伸和压缩主讲教师：余茜
§2 —1 拉伸与压缩的概念
§2 —2 拉压杆的内力——轴力与轴力图§2 —3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
§2 —6 拉压杆的变形
胡克定律
§2 —4 应力分布的实验验证及应力集中的概念§2 —5 拉压杆的强度计算§2 —7 材料在拉伸压缩时的力学性质
§2 —8 拉压杆的超静定问题
§2 —9 连接件的剪切与挤压强度计算
目
录
重点、难点
轴向拉（压）杆的内力、应力与强度计算 轴向拉（压）杆的变形
材料的力学性质
拉压超静定问题
连接件的剪切、挤压的实用计算
拉伸
变细变长
压缩变短变粗
外力特征：外力的合力作用线与直杆轴线重合；
P P
P
P
P P
P P 变形特征：长度沿轴向发生改变，拉长或压短，同时横截面变细或变粗。

§2-1 拉伸与压缩的概念
§2-1 拉伸与压缩的概念
——轴向拉伸和压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。

一、轴向拉伸和压缩变形
二、工程实例
桁架结极
二、工程实例
曲柄连杆机极：连杆
ω
P
P
G + Q
P BC
P BA
A
B
C
悬臂吊车
BC 杆受拉，AB 杆受压。

连杆的变形为轴向变形（缩短）
一、截面法求轴力
如图，设一等直杆在两端轴向拉力F 的作用下处于平衡，欲求杆件横截面mm 上的内力
§2-2 拉压杆的内力——轴力与轴力图 内力：极件在外力的作用下将产生变形，使得极件各质点间的相对位置发生变化而产生的附加内力。

截面法：截面法是求内力的一般方法，步骤：截断、代替、平衡。

轴力：轴向拉压变形中横截面上的内力的合力称乊为轴力，记做N ；其中，方向背离截面的称乊为拉力，指向截面的称乊为压力。

m
m P
P
m
m
P
P
在求内力的截面mm 处，
假想地将杆截为两部分截断
代替
取左部分（包括原来作用在这部分上的外力
）
作为研究对象。

m m
P
N
右部分对左部分的作用力以截开面上的内力代替，由实验结果，轴向拉压横截面上的内力是均匀分布的。

合力为N ，它的作用线与杆的轴线重合，称为轴力平衡
对研究对象列平衡方程
N = P
∑=0
x
F
m
m
P P 若取右部分为研究对象
代替
取右部分（包括原来作
用在这部分上的外力）
作为研究对象。

左部分
对右部分的作用力以截
开面上的内力代替。

合
力为N'，称为轴力
m
m
P N
平衡
对研究对象列平衡方程
N'= P
∑=0
x
F
m
m
P
N'
N和N'大小相等、方向相反、
作用线重合，是一对作用力与
反作用力。

二、轴力的符号约定
轴力的方向以使杆件受拉为正，反乊，使杆件受压为负，即拉为正，压为负。

1、轴力图的意义：形象地表示整个杆件上轴力的变化情况，确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。

三、轴力图
x
N
2、轴力图的作法：用平行于杆轴线的坐标(横坐标，称乊为基线）表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标（纵坐标，向上为正）表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的轴力图。

N >0
N
N N <0
N
N
三、轴力图
3、轴力图的作图步骤：
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
②画纵坐标，“正在上，负在下”；
③标注正负号、值的大小及图形名称。

4、作轴力图的注意事项：
①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐；
②“正在上，负在下”，封闭图形；
③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力值的大小，不带正负号；
④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画；
⑤整个轴力图比例一致。

N 图
|N|max =100kN
+
-150kN
100kN
50kN
N II =-100kN
（压力）100kN
II
II
N II
I
I II
II
50kN
N I =50kN （拉力）I
I
50kN
N I
多力作用下的轴向拉压杆件，应分段用截面法求轴力。

150kN
50kN
II
II N II =-100kN （压力）
N II
0ΣF x =0ΣF x =0
ΣF x =注：内力的大小与杆截面的
N 图
|N|max =100kN
+
-150kN
100kN
50kN
N II =-100kN
100kN II II
N II
I
I II
II 50kN
N I =50kN I
I
50kN
N I
注：求解轴力时，一律先假定为正方向，则结果是正值则为拉力，是负值则为压力，且与轴力的符号约定相一致。

150kN
50kN
II
II N II =-100kN
N II
0ΣF x =0ΣF x =0
ΣF x =（拉力）（压力）
（压力）
N 图
|N|max =100kN
+
-150kN
100kN
50kN
N II =100kN
100kN II II
N II
I
I II
II 50kN
I
I
50kN
N I
注：求解轴力时，一律先假定为正方向，则结果是正值则为拉力，是负值则为压力，且与轴力的符号约定相一致。

150kN
50kN
II
II N II =-100kN N II
0ΣF x =0ΣF x =0ΣF x =（拉力）
（压力）
（压力）N I =-50kN
轴力图的特点：突变值= 集中载荷
+
–5kN
8kN
5kN 8kN
3kN
五、直接法作轴力图
四、轴力方程
——通常杆件上各截面处的轴力是不相同的，它是截面位置x 的函数，即N ＝N （x ），称为轴力方程
直接法：某截面的轴力等于该截面以左或以右的所有外力的代数和，其中，与该截面正方向一致的外力取负号，反乊取正号。

N 图
[例] 杆受力如图所示。

试画出杆的轴力图。

BD 段：10kN
30F 10kN
2030N RA 2=-==-=解：用直接法
DE 段：20kN N 1-=AB 段：RA
F 40kN 20
30303N ==-+=注：内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。

30KN
20KN 30KN RA F A
D E
B
C
20
10
–+
+
N 图
轴力图的作图步骤：
1、先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
2、画纵坐标，“正在上，负在下”；
3、标注正负号、值的大小及图形名称。

作轴力图的注意事项：
1、多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法；
2、基线‖轴线，“正在上，负在下”，比例一致，封闭图形
3、正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力值的大小，不带正负号；
内力是由外力引起的，随着外力的增加而增加，对一定尺寸的极件而言，内力越大越危险，但内力的大小还不能确切地反映极件的危险程度，特别是对不同尺寸的极件，例如两根材料相同粗细不同的等直杆，受相同的拉力时的危险程度就不同，因此引入应力
的概念。

P
P
P
P
一、应力的概念
——应力是截面上一点处每单位面积内的分布内力，即内力的集度。

§2—3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
取一等直圆杆，在其外表面上刻两条横截面平面的轮廓线A 、B 和许多与轴线平行的纵线
在两端施加一对轴向拉力P
（一）实验：
内力、应力均发生在杆件内部，通过实验找出内力、应力的分布觃律。

A
B
P
P
A
B
二、轴向拉压杆横截面上的应力
所有的纵向线都伸长，伸长量都相等，仍与轴线平行，
而横截面轮廓线A 、B 平移到A'、B'，仍为一与轴线垂直的平面圆周线
在两端施加一对轴向拉力P
A B A'
B'
结论：表面各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同平面假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。

结论：由平面假设知，正应力在横截面上是均匀分布的
P
P
P
P
N
P
σ
结论：由平面假设知，正应力在横截面上是均匀分布的
N
P P
N
（二）、轴向拉压的正应力计算：
——N 为轴力，A 为杆的横截面面积
A
N ζ=
拉力引起的应力称为拉应力，压力引起的应力称为压应力； 应力的符号与轴力的符号一致，即拉应力为正，压应力为负。

注意：轴向拉压变形横截面上只有正应力没有剪应力
例题：一横截面为正方形的砖柱分上，下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示，图中长度的单位为mm ，已知F = 50KN ，试求荷载引起
的最大工作应力。

F A
B
C
F F
3000
2
1
240
50KN
150KN
解：
F
A B C
F F
240
21
先求轴力、作轴力图，再代入公式求应力
A
N ζ=
50KN F N 1-=-=150KN
3F N 2-=-=σmax 在柱的下段，其值为1.1MPa ，
是压应力。

0.87MPa 240mm
240N 1050A N ζ2
3
11-=⨯⨯-== 1.1MPa 370mm
370N 10150A N ζ2
322-=⨯⨯-==
沿杆长的分布觃律。

的横截面上的应力试分析该杆由自重引起为A，材料密度为ρ。

，长为l，截面面积，上端固定，下端自由例题：图示一钻杆简图()
a x
N(x)
l
解：运用截面法，在距离自由端为x 的截面处将杆截断，取下段为脱离体，设G （x ）为该段杆的重量，则
x
G(x)
Ax
ρg G(x)⋅=
()
a x
N(x)
l
⊕
ρgAl
()
b x
G(x)
ΣF x =Ax
ρg N(x)⋅=G(x)N(x)=Ax
ρg G(x)⋅=x 的方程（轴力方程）
X ＝0时，X ＝l 时，
0N(x)=Al
ρg N(x)⋅=图
()
a x
N(x)
l
⊕
ρgAl ()b x
G(x)
Ax ρg N(x)⋅=X ＝0时，X ＝l 时，ρgx
A
N(x)ζ(x)==ρgl
ζ(x)=0ζ(x)=——即应力沿杆长的分布是x 的线性函数
ρgl
ζmax =N 图
⊕
ρgl
()
b σ分布图
P k
k
α
P
以图示轴向拉杆为例，求与横截面成α角的
任一斜截面k —k 上的应力
三、拉压杆斜截面的应力不仅横截面上有应力，在其它方位的截面上也有应力，因此对全方位的截面上的应力迚行研究，找出最大应力及其所在截面，作为强度计算的依据。

（一）、研究意义
（二）、斜截面上的应力
P
k
k
α
P
α
p 假想地用一平面沿斜截面k —k 将杆一分为二，取左段为研究对象
P
k
k
x
n α
p α：斜截面上的全应力α：自轴线转向斜截面的外法线n 的夹角
轴力N = P ，均布于斜截面上
N
α
ααA P A N p =
=A α：斜截面的面积
α
P
k
k
α
P
cos α
A A α=
cos α
A
N A N p αα==ζA
N
=α
p P
k
k
x
n α
设横截面的面积为A ，则有
为横截面上的正应力α
ααA P A N p =
=ζcosα
p α=
沿截面法线方向的正应力σα沿截面切线方向的剪应力ταP
k
k
αP
α
p P
k
k
x n
α
α
p σα
τα 正应力：拉伸为正、压缩为负
剪应力：对研究对象内任一点取
矩，顺时针为正，逆时针为负。

1、应力的大小
正应力剪应力α
ζcos cos αp ζ2
αα==ζsin2α
2
1
ζsinαcosα
sin αp ηαα===2、符号约定
P
k
k
x
n
α
（或）剪应力：外法线方向顺时针旋转90o 为正
将p α=σcos α分解为两个分量：
P
k
k
αP
α
p P
k
k
x n
α
α
p σα
τα
斜截面上既有正应力，又有剪应力，且都是α的函数。

3、分析
正应力剪应力α
ζcos cos αp ζ2
αα==ζsin2α
21
ζsinαcosα
sin αp ηαα===P
k
k
x
n
α
——拉压杆最大正应力发生在横截面上，且在此截面上剪应力为零。

(1) 求σmax
当α= 0 时，σmax =σ，0ηα=
P
k
k
αP
α
p P
k
k
x n
α
α
p σα
τα
3、分析
正应力剪应力αζcos cos αp ζ2
αα==ζsin2α
2
1
ζsinαcosα
sin αp ηαα===P
k
k
x
n
α
——拉压杆最大剪应力发生在与横截面成45o 的斜面上，数值上等于最大正应力的一半。

max
η(2) 求当α= 45o 时，ζ2
1ηmax
=2
σ)45(αo σ
=
=
——如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是进处所受的影响可以不计。

一、圣维南原理
P
P
A
P A N ζ=
=§2—4 应力分布的实验验证及应力集中的概念
二、应力集中的概念
——由于极件形状或截面尺寸的急剧改变，
使得极件内局部区域（截面突变处）应力突
然增大的现象称为应力集中
由于结极的需要，极件的截面尺寸往往会突然变化，例如开孔、沟槽、螺纹等，局部的应力不再均匀分布而急剧增大
应力集中对结极和极件起不良作用
一、基本概念
3、破坏条件：σ≥σu
考虑到杆件在设计、计算及使用时的一些近似因素，为了安全起见，引入许用应力，作为应力的上限。

4、许用应力：把枀限应力除以一个大于一的系数n ，称为安全系数，所得结果称为许用应力，记做[σ]
2、枀限应力：材料所能承受的最大应力，又称为危险应力，记做σu （一般由实验测得）[]n
σσu
=n>1——安全系数1、危险截面：杆件上内力最大的截面。

对于轴向拉压杆，危险截面在最大轴力的横截面上。

§2-5 拉压杆的强度计算
# 实际与理想不相符
✓荷载值的确定是近似的；
✓力学模型经过简化；
✓生产过程、工艺不可能完全符合要求；
✓对外部条件估计不足；
✓结极在使用过程中偶尔会超载；
✓其它某些不可预测的因素等。

# 极件必须适应工作条件的变化，要有强度储备
[]n
u
σσ=
[][]⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=
=n σσn σσb s 脆性材料：塑性材料：4、许用应力：把危险应力除以一个大于一的系数n ，称为安全系数，所得结果称为许用应力，记做[σ]
n>1——安全系数
强度极限
—屈服极限—b s σσ
——即杆件的最大工作应力不超过材料的许用应力，保证极件不发生强度破坏并有一定安全裕量
二、强度条件
[]
ζζmax ≤2、轴向拉压等直杆内最大正应力发生在最大轴
力所在的横截面上。

[]ζ)A
N (ζmax max ≤=注：要运用强度公式，首先要判断危险截面的位
置及最大工作应力的位置。

1、对于轴向拉压杆：[]
ζA
N ζmax
max ≤=
三、强度条件的三类应用（1）强度校核
（2）设计截面
（3）确定许用荷载
[]ζ)A
N
(ζmax max
≤=注：当
[][]5%ζζζmax ≤-满足强度条件
[]
ζN A max
≥
[]
ζA N max ≤求许用荷载的方法：先求许用轴力，再根据轴力和荷载的关系确定许用荷载。

[]
时最经济
当ζF A Nmax
=
A
B C
F
30
求：
1、校核该结极的强度
2、求容许荷载[F]
3、当F ＝[F]时，重新选择
截面面积
2m
l 1=2
l 例：如图所示结极，已知：AB 杆为钢杆，长度面积，BC 杆为木杆，长度
，面积，力F=10KN
2m l 1=[]160MPa ζ,600mm A 121==[]7MPa ζ,mm 10A 22
42==o
12cos30l l =
例：如图所示结极，已知：AB 杆为钢杆，长度面积，BC 杆为木杆，长度
，面积，力F=10KN
A
B
C
F 30
2m l 1=[]160MPa ζ,600mm A 121==[]7MPa ζ,mm 10A 22
42==o
12cos30l l =解：1、校核该结极的强度2m
l 1=2
l 取铰B 为研究对象，画受力图
B
F
30
N 1N 2
ΣF y =0F sin30N o
1=-20KN
2F N 1==0
ΣF x =0
N cos30N 2o
1=+17.32KN
F 3cos30N N o
12-=-=-=
例：如图所示结极，已知：AB 杆为钢杆，长度面积，BC 杆为木杆，长度
，面积，力F=10KN
A
B
C
F 30
2m l 1=[]160MPa ζ,600mm A 121==[]7MPa ζ,mm 10A 22
42==o
12cos30l l =解：1、校核该结极的强度
2m
l 1=2
l B
F
30
N 1N 2
20KN
N 1=17.32KN
N 2-=33.3MPa
60010
20A N ζ3
111=⨯== 1.73MPa 101017.3-A N ζ4
3
222-=⨯==[]160MPa
ζζ11=<[]7MPa
ζζ22=<所以满足强度条件
例：如图所示结极，已知：AB 杆为钢杆，长度面积，BC 杆为木杆，长度
，面积，力F=10KN
2m l 1=[]160MPa ζ,600mm A 121==[]7MPa ζ,mm 10A 22
42==o
12cos30l l =解：2、求容许荷载[F]
B
F
30
N 1N 2
[][]96KN
N 109.6160600ζA N 4
121=⨯=⨯==分析：要求容许荷载，先求容许轴力
由2F N 1=得[][]48KN
N 2
1
F 11==[][]70KN
N 107710
ζA N 4
4222=⨯=⨯==由得[][]40.4KN N 3
1
F 22==F 3N 2=[][][]}{40.4KN
F ,F min F 21==
例：如图所示结极，已知：AB 杆为钢杆，长度面积，BC 杆为木杆，长度
，面积，力F=10KN
A
B
C
F 30
2m l 1=[]160MPa ζ,600mm A 121==[]7MPa ζ,mm 10A 22
42==o
12cos30l l =解：3、当F ＝[F]＝40.4KN
时，重新选择截面面积
2m
l 1=2
l B
F
30
N 1N 2
由
得
[]
ζN A max
≥
[][][]2
31111505mm
160
1040.42ζF 2ζN A =⨯⨯==≥[][][]2
43
2222mm
1071040.43ζF 3ζN A =⨯⨯==≥所以，可以选择AB 杆的面积为505mm 2，BC 杆的面积为10000mm 2
四、应用强度条件的步骤及注意事项
1、步骤：
①内力分析——找出危险截面的位置
②应力分析——找出危险截面上最大应力的位置
③强度条件及其应用
2、注意事项：
①轴向拉压杆横截面上只有正应力，没有剪应力；
②不论是强度校核、设计截面还是求许用荷载，最后一定要有结论。

例题：三角屋架的主要尺寸如图所示，它所承受的竖向均布荷载沿水平方向的集度为q= 10kN/m。

屋架中钢拉杆AB直径d=22mm，许用应力[ ] =170MPa 。

试校核AB的强度。

C
q
A B
8.4m 1 . 4 m
解：
（1）求支反力
C
q
A
B
8.4m 1.4m
因为此屋架结极及其荷载左右对称，所以
F RA
F RB
42KN
q 28.4
F F RB RA ===0
ΣM C = 4.2
F 4.2q 2
11.4N RA 2
AB ⨯=⨯+⨯（2）求AB 杆的轴力
取半个屋架为脱离体，画受力图C
A
4.2m
F RA
N AB
F HC
F VC
1.4m
63KN
N AB =q
（3）求杆AB 的应力
C
q
A
B
8.4m 1.4m
F RA
F RB
165.7MPa
224
π1063A N ζ23
AB =⨯⨯==165.7MPa ζζmax ==（4）强度校核
C
A
4.2m
F RA
N AB
F HC
F VC
1.4m
[]170MPa ζ165.7MPa ζmax =<=q
（5）结论：满足强度条件
（或者“安全”）
§2-6 拉压杆的变形胡克定律
P
P
一、轴向拉压的变形分析
P
P
l 0 l l Δl ＞-'=l '
l
l 'd
d 'd
d '轴向拉伸：
纵向伸长、横向缩短
纵向伸长量：横向缩短量：0 d d Δd ＜-'=0 l l Δl ＜-'=轴向压缩：
纵向缩短、横向伸长
纵向缩短量：横向伸长量：0
d d Δd ＞-'=注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不一的杆件，因此引入应变的概念。

§2-6 拉压杆的变形胡克定律。