正交矩阵和正交化方法课件
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正交化方法
I 4wwT 4w( wT w) wT I .
2
设向量 v 0 , 则显然
H I 2 vvT v
2 2
是一个初等反射阵. 初等反射阵的几何意义. 设 S是过原点 O且以 w为法向量的超平面 ：wT x 0 . 设任意向量 v R n ， 则 v x y , 其中 x S , y S . 于是
正交化方法
1
豪斯霍尔德变换——初等反射阵
设向量 w R n 且 wT w 1 ， 称矩阵
H ( w) I 2wwT
为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德（Householder）变换). (1) H 是对称矩阵，即 H T H . (2) H 是正交矩阵，即 H 1 H . 证明 H T H H 2 ( I 2wwT )( I 2wwT )
11
a1 q1 || a1 || a2 (a2 , q1 ) q2 q1 || q2 || || q2 || a3 (a3 , q1 ) (a3 , q2 ) q3 q1 q2 || q3 || || q3 || || q3 || an (an , q1 ) ( an , q2 ) (an , qn1 ) qn q1 q2 qn1 || qn || || qn || || qn || || qn ||
( x1 ,, xn ,1) (v1,n1 ,, v n中变换： y Px
其中 x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 ,, yn )T , 而
i 1 1 cos P P(i, j , ) sin j 1 1
7
2
设向量 v 0 , 则显然
H I 2 vvT v
2 2
是一个初等反射阵. 初等反射阵的几何意义. 设 S是过原点 O且以 w为法向量的超平面 ：wT x 0 . 设任意向量 v R n ， 则 v x y , 其中 x S , y S . 于是
正交化方法
1
豪斯霍尔德变换——初等反射阵
设向量 w R n 且 wT w 1 ， 称矩阵
H ( w) I 2wwT
为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德（Householder）变换). (1) H 是对称矩阵，即 H T H . (2) H 是正交矩阵，即 H 1 H . 证明 H T H H 2 ( I 2wwT )( I 2wwT )
11
a1 q1 || a1 || a2 (a2 , q1 ) q2 q1 || q2 || || q2 || a3 (a3 , q1 ) (a3 , q2 ) q3 q1 q2 || q3 || || q3 || || q3 || an (an , q1 ) ( an , q2 ) (an , qn1 ) qn q1 q2 qn1 || qn || || qn || || qn || || qn ||
( x1 ,, xn ,1) (v1,n1 ,, v n中变换： y Px
其中 x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 ,, yn )T , 而
i 1 1 cos P P(i, j , ) sin j 1 1
7
正交矩阵及其性质.ppt
a是正交矩阵方阵a的列向量构成标准正交组方阵a的行向量构成标准正交组是正交矩阵ta?1taa??201810176例例现有标准正交组1122333a?211022a?求三维向量a使得矩阵12aaa为正交矩阵解解txyza?12aaa是标准正交组10aa?20aa?1a?222122031021xyzyzxyz????????????????418x?118yz???411181818ta??201810177yax?1111111nnmmmnnyaxaxyaxax???????????或1niijjjyax???1
台湾 架设第一条电报线，成为中国自
出行 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ， 方式 转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。 (3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活
多姿多彩 。
[合作探究· 提认知]
电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
3．发展
(1)原因：
①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 ②修路成为中国人 (2)成果：1909年 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 修筑权 。
4.3 正交矩阵及其性质
1 2019/4/18
定义6 就
设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I,
称A为正交矩阵.(A-1=AT ) 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设
台湾 架设第一条电报线，成为中国自
出行 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ， 方式 转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。 (3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活
多姿多彩 。
[合作探究· 提认知]
电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
3．发展
(1)原因：
①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 ②修路成为中国人 (2)成果：1909年 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 修筑权 。
4.3 正交矩阵及其性质
1 2019/4/18
定义6 就
设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I,
称A为正交矩阵.(A-1=AT ) 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设
第四章2正交矩阵
1 1 n n
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
向量空间的正交化_图文_图文
在空间 中，若一组基
满足标准正交
向量组的条件，即
则称
为标准正交基。
例如 是 中的一组标准正交基，而 中的自然基
也是标准正交基。 设
三、Schmidt正交化方法
空间中的线性无关 向量组。 （当r=n时，就是Rn空间里的一组基）
但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组； （当r=n时，这组向量组不定是（标准）正交基） 下述方法称为Schmidt正交化方法，它是把线性无关向量组， 转变为正交向量组的方法。
长度不为1，则可取
称 为与
同向的单位向量， 从
的过程也称为
向量的单位化。
定义3
，则称向量 正交。 零向量与任何向量都正交。
例1 求与 解：设
都正交的单位向量。
与
都正交
则
对系数矩阵A作初等行变换
所以 再单位化得
为所求向量。
二 向量的正交性
设一个向量组
，若它们两两正交，
称这个向量组为正交向量组。 又若每一个向量
所得向量组是正交向量Fra bibliotek。当时，Schmidt 正交化方法就可以将一组基
化为正交基
然后单位化：
则
书例2
即为标准正交基。
四、 正交矩阵
定义 设A是n阶的实矩阵，若 A是正交矩阵。 正交矩阵的性质：若A为正交阵，则
，则称
（1） （2）
（3） 也为正交阵 （4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵
向量空间的正交化_图文_图文.ppt
一 向量的内积 定义1 对n 维向量空间 中的向量
定义 中内积
为
注：
当
到实数集R的函数，
上述定义中给出的内积满足： （1）交换性： （2）线性性：
线性代数课件-正交矩阵
，b2，b3
且b 1
，b2，b3与a1
,
a2，a3等价.
令 3 3 k11 k22 , 为使
1, 3 2, 3 0 , 则 可推出
k1
3 , 1,
1 1
,
k2
3 , 2 ,
2 2
,
于是
3
3
3 , 1,
1 1
1
3 , 2 ,
2 2
2
,
1, 2 , 3 是与1, 2 , 3 等价的正交向量组 .
１ 正交的概念 当 ( x, y) 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 为正交矩阵 .
2. 性质 1 A1 AT,
2 A 1 ,
3 AT , A1, AB也是正交方阵
4 A 为正交矩阵 A的行列向量组
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0,
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
如：a1 1，0，0，a2 0，1，0，a3 0，0，1
b1 1，0，0，b2 1，1，0，b3 1，1，1
线性代数课件7-3正交变换
05
正交变换在信号处理中的 应用
信号分解与合成原理介绍
信号分解
将复杂信号分解为一系列简单信 号的过程，这些简单信号通常是 正交基函数的线性组合。
信号合成
将分解得到的简单信号按照一定 规则重新组合，以恢复或逼近原 始信号的过程。
正交基函数
一组满足正交性条件的函数，用 于表示信号空间中的任意信号。 常见的正交基函数包括正弦函数、 余弦函数、小波基函数等。
曲线和曲面形状描述及性质分析
曲线形状描述
通过正交变换可以对曲线进行形 状描述，如曲线的弯曲程度、拐 点等性质可以通过正交变换进行
分析。
曲面形状描述
正交变换也可以用于曲面的形状描 述，如曲面的弯曲程度、法线方向 等性质可以通过正交变换进行分析。
性质分析
通过正交变换可以分析曲线和曲面 的性质，如曲线的长度、曲面的面 积等性质可以通过正交变换进行计 算和分析。
小波变换原理及实现方法
小波变换原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和 平移小波基函数来匹配信号的局部特性。与 傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频 分辨率和局部化特性，适用于非平稳信号的 分析和处理。
实现方法
小波变换的实现包括连续小波变换（CWT） 和离散小波变换（DWT）两种方法。CWT 通过连续变化的小波基函数对信号进行匹配， 可以得到信号的时频分布；DWT则通过离 散化的小波基函数对信号进行分解和重构， 可以实现信号的压缩和去噪等应用。
通过正交变换得到的标准型具有唯一性，即不依赖于正交矩阵的选择。
02
正交变换的求解方法
施密特正交化过程
01 选择一组线性无关的向量作为起始向量组。
02
对起始向量组进行施密特正交化，得到一组 正交向量组。
线性代数-正交矩阵
如果e1,e2, ,er两两正交，且都是单位向量，则称e1,e2, ,er是V
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
正交矩阵及其性质培训课件
y1
a11x1 L LLL
a1n xn
ym am1x1 L amn xn
n
或 yi aij xj i 1,L , m. j 1
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
7 2020/3/17
也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩 阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积 与长度及向量间的夹角都保持不变, 即
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
(iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵.
4 2020/3/17
定理 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。
推论1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2020/3/17
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此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
3 2020/3/17
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵.
证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也
A是正交矩阵 AT A-1
AT 是正交矩阵
c
c
方阵A的列向量构成 标准正交组
lec18-正交矩阵和正交变换
• 向量空间· 基和维数 一. 内积和正交性 n , = aibi = T i =1 共线共面 维数 仿射坐标系
Rn
线性相关 维数 基
直角坐标系 标准正交基
二. 标准正交基和Schmidt正交化方法 i , j ij 将l.i.向量化为正交向量组
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
(2) 5维泛对角方的向量空间B: R=C=H=N (3) 要求所有数都相等: 一维向量空间G = {rI,r∈R}， 其中I是一个全1的矩阵. (4) 特别的，当r =0: 0维向量空间 {O}
和为 46.
Dürer魔方空间的子空间
能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和
一般的可逆变换y = Ax (A可逆)可以改变图形 的大小和形状。
Dürer魔方空间的子空间
能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和
(1) 7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S
令H为主对角线和，N为付对角线和 (类似于行列式的对角线法则)
17 2 11 16 16 11 22 3 PB 12 7 6 21 1 26 7 12
1 a 1. 若 A 是正交矩阵, 则a,b,c满足条件 b c a = b = 0, c = 1.
1 b 1 2 2 a c 1 a bc 0
2
•若A是正交矩阵, 则|A3AT| = 1;
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
四. Rn上的可逆线性变换和正交变换
章第四章n维向量44向量的内积a2a0520005a6cos??sinsincosq可逆变换可以改变图形的大小和形状可逆变换可以改变图形的大小和形状正交变换不改变图形的大小和形状正交变换不改变图形的大小和形状换对应的正交变换yqx对应的可逆变换对应的可逆变换yaxqq12205xaxx??????????44向量的内积r3rn线性相关共线共面基系直角坐标系标准正交基维数标准正交基维数仿射坐标系三三
Rn
线性相关 维数 基
直角坐标系 标准正交基
二. 标准正交基和Schmidt正交化方法 i , j ij 将l.i.向量化为正交向量组
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
(2) 5维泛对角方的向量空间B: R=C=H=N (3) 要求所有数都相等: 一维向量空间G = {rI,r∈R}， 其中I是一个全1的矩阵. (4) 特别的，当r =0: 0维向量空间 {O}
和为 46.
Dürer魔方空间的子空间
能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和
一般的可逆变换y = Ax (A可逆)可以改变图形 的大小和形状。
Dürer魔方空间的子空间
能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和
(1) 7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S
令H为主对角线和，N为付对角线和 (类似于行列式的对角线法则)
17 2 11 16 16 11 22 3 PB 12 7 6 21 1 26 7 12
1 a 1. 若 A 是正交矩阵, 则a,b,c满足条件 b c a = b = 0, c = 1.
1 b 1 2 2 a c 1 a bc 0
2
•若A是正交矩阵, 则|A3AT| = 1;
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
四. Rn上的可逆线性变换和正交变换
章第四章n维向量44向量的内积a2a0520005a6cos??sinsincosq可逆变换可以改变图形的大小和形状可逆变换可以改变图形的大小和形状正交变换不改变图形的大小和形状正交变换不改变图形的大小和形状换对应的正交变换yqx对应的可逆变换对应的可逆变换yaxqq12205xaxx??????????44向量的内积r3rn线性相关共线共面基系直角坐标系标准正交基维数标准正交基维数仿射坐标系三三
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。