小学奥数几何难题

小学奥数几何难题

类型一：旋转、对称类

（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）

在ABC △中，9cm AB AC ==，120BAC ∠=︒．点P 在边BC 上使得6cm CP =，点Q 在边AC 上使得CPQ APB ∠=∠．请求出三角形BPQ 的面积．

【考点】 图形对称

【答案】 13.52cm 【分析】 方法一：过A 点作AO BC ⊥交BC 于点O ，作P 、Q 关于AO 的对称点'P 、'Q ，

连接''P Q 、'AP 、'P Q ，如下图所示：

∵CPQ APB ∠=∠，又'APB AP C ∠=∠，∴'CPQ CP A ∠=∠，∴'PQ P A ∥，∴'APQ P PQ S S =，∴'APC P QC S S =，又∵'P O PO =，∴'CP BP =，∴'CP BP =，∴'BPQ P QC APC S S S ==△△△．∵30C ∠=︒，∴ 4.5AO =，又∵6CP =，∴

APC S △6 4.5213.5=⨯÷=，∴13.5BPQ S =△．

方法二：（供参考）作AD BC ⊥交BC 于点D ，作QE BC ⊥交BC 于点E ．

∵APB QPC ∠=∠，ABP QCP ∠=∠，∴CQP BAP △∽△，又AD 、QE 分别是ABP △、QCP △的高，于是有：

BP AD

CP QE

=

，即BP QE CP AD ⨯=⨯．而又226 4.5213.5BPQ S BP QE CP AD =⨯÷=⨯÷=⨯÷=△．

【总结】 本题没有边之间的比例，只有角度相等，因此尝试做对称来构造出平行线，

解决问题．

如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC △的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．

【考点】 图形旋转 【答案】 27.22cm

【分析】 如下图所示，连接PR ，根据题意有：7963

1311143

APR ABC ABC S S S =⨯

⨯=△△△，61313213BPQ ABC ABC S S S =⨯

⨯=△△△，211

11211

CQR ABC ABC S S S =⨯⨯=△△△． 那

么

有

：

PQR ABC APR BPQ CQR S S S S S =---△△△△△633111431311ABC S ⎛

⎫=--- ⎪⎝⎭

△34143ABC S =△，

因此

68

2143

PQRS PQR ABC S S S ==

△△正方形，

APSR BPQ CQR S S S ++△△681143ABC S ⎛

⎫=- ⎪⎝⎭

△75143ABC S =

△． 如下图所示，将BPQ △以P 点为中心，逆时针旋转90︒，至OPS △位置，同样的将CQR △以R 点为中心，顺时针旋转90︒，至OSR △位置．因为BQ CQ =，90PSO RSO PQB RQC ∠+∠=∠+∠=︒，所以两个阴影三角形恰好构成完整的

四边形SPOR ．连接AO ，因为90OPS APS BPQ APS ∠+∠=∠+∠=︒，所以APO △为直角三角形，同理ARO △也是直角三角形．有APSR BPQ CQR

S S S ++△△APSR OPS ORS APOR APO ARO

S S S S S S ++==+△△△△11

76923022=⨯⨯+⨯⨯=，因此

752143

301435

ABC S ⨯=÷

=△，

214368136

51435

PQRS S ⨯=

⨯=

正方形27.2=2cm ．

【总结】 正方形中的旋转问题．

类型二：勾股、弦图类

（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）

ABC △是直角三角形．在边AB 、BC 、CA 上分别取点D 、E 、F ，使得

AD AF =FC =EC =．当DEF △成为等腰直角三角形、3cm BE =、1cm DB =时，求

ABC △的面积．

【考点】 勾股定理

【答案】 24 【分析】 作FG BC ⊥交BC 于点G ，易知DBE △和EGF △完全相同（∵

DEB ∠FEG +∠90=︒，∴DEB EFG ∠=∠，又∵DE FE =，∴

DEB EFG △≌△．）

∴有1EG DB ==cm ，3FG EB ==cm ，又∵FG AB ∥，F 是AC 的中点，∴G 也是BC 中点，即4CG BG ==cm ，∴5CE CF AF AD ====cm ．因此有ABC S △2BC AB =⨯÷86224=⨯÷=2cm ．

【总结】 本题其实是弦图的应用：

图中即构成了一个标准的弦图．其实很多时候出现等腰直角三角形就可以考虑构造弦图来解决问题．

如图，P 是正方形ABCD 外面的一点，12PB =厘米，APB △的面积是90平方厘米，CPB △的面积是48平方厘米．请问：正方形ABCD 的面积是多少平方厘米？

【考点】 勾股与弦图 【答案】 289平方厘米

【分析】 将BP 反向延长如下图所示构造弦图，

以BP 为底，PAB △的高是AF ，于是有：

PAB S △2PB AF =⨯÷12290AF =⨯÷=，即15AF =厘米，同理有8CG =厘

米．因此22158ABCD S =+正方形=289平方厘米．

【总结】 本题构造弦图是关键点！

（2011年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛武汉卷）

如图，点P 在直角ABC △内，且BA BC =，10PB =厘米，ABC △的面积是60平方厘米，BPC △的面积是30平方厘米，求ABC △的面积．

【考点】 勾股与弦图 【答案】 90平方厘米

【分析】 如下图所示构造弦图：

以BP 为底，ABP △的高为AF ，有：2ABP S BP AF =⨯÷△10260AF =⨯÷=，即12AF =厘米，同理有6CG =厘米，因此22126180ABCD S =+=正方形平方厘米，所以180290ABC S =÷=△平方厘米．

【总结】 本题和上一题本质相同，不过是点P 的位置发生了改变．

（2011年日本算术奥林匹克大赛高小决赛）

下图是一个面积为182cm 、7CD =cm 的四边形ABCD ．其两条对角线BD 和AC 在四边形ABCD 的内部相交，当10BD =cm ，AC BC =，90BCA ∠=︒时，求ACD △的面积．

【考点】 勾股定理 【答案】 7.5平方厘米

【分析】 作DE BC ⊥，交BC 延长线于点E ，设AC BC a ==，CE b =，DE c =．

根据勾股定理：22249b c CD +==，()2

22100c a b BD +==+，两式想减，结