恒星讲义4

第四章 热核反应与恒星的能源

第一节 恒星的能量来源

恒星在持续不断的发光。对于太阳来说，

太阳质量 M ⊙＝1.989×1033 g 太阳半径 R ⊙＝6.955×1010 cm 太阳光度 L ⊙＝3.845×1033 erg/s 太阳年龄 τ⊙＝4.5×109 yr

那么它的能量是哪里来的？

化学能是地球上最常见的能源。我们以最高效的火箭发动机为例，其化学反应为：

2H 2 ＋ O 2 —→ 2H 2O

其热值为1.5×1012erg/g 。如果太阳全部是由氢和氧按最佳比例组成，那么以现在的太阳光度发光，上述反应可以持续2.5×104yr 。这个数字远远低于太阳的年龄。

恒星自身包含着巨大的引力势能，或者说热能。是否可以依靠引力能转换为热能来维持恒星发光呢？定义恒星的热时标为：

RL

GM L E G KH 2

==

τ

有时也称为Kelvin-Helmholtz 时标，它给出了恒星将其全部引力势能释放出来

所需的时间。于是可以得到，太阳的τKH ≈1.6×107

yr 。这个数字也远低于太阳的年龄。

在发现核反应以后，人们马上意识到，核能可以作为恒星的能量来源。根据爱因斯坦公式：

2

mc

E =

如果一个核反应将核子C 变为核子D ，那么释放的能量为：

()m

c c

m m E D C ∆=-=2

2

其中∆m 是两核的质量差。

以氢聚变为氦为例，4m H －m He ＝0.0304m H ，这相当于热值为1.5×1018erg/g 。

如果太阳完全由氢组成，以现在的太阳光度发光，上述反应可以维持2.5×1010

yr,比宇宙的年龄1.4×1010yr 还要长。

第二节 原子核的结合能

原子核反应时释放出的能量就是原子核的结合能。原子核是由质子和中子组成的。显然，核本身的质量，减去其所包含的质子和中子的质量，反映了其结合能的大小。用Z 表示质子的数目，N 表示中子的数目，A 表示原子量，定义原子核的质量亏损为：

u n

H Am Nm

Zm m -+=∆

其中m H 表示氢原子的质量，m n 表示中子的质量，m u 是原子质量单位。于是，原子核的结合能为：

()() MeV

494.9312

2

A NA ZA A NA ZA c

m mc

E n H n H u -+=-+=∆=∆

其中氢的原子量为A H ，中子的原子量为A n 。下图给出了每核子平均结合能∆E/A 随核子数A 变化的情况。

可以看出，当轻核聚变为重核，或者是重核裂变为轻核时，都会放出热量。而56Fe 是结合能最大的原子核，结合得最紧密，已经没有结合能可以释放出来了。

第三节 原子核结构与热核反应

原子核是由质子和中子组成的。质子带正电，相互间存在库仑排斥力。但是在距离非常近时（核半径r 0以内），核力将（强相互作用）起作用，将核子束缚

在核内。核力的作用范围非常小，典型的核半径r 0≈10-13

cm 。

对于由电荷数为Z 1和Z 2的两个原子核组成的系统，在核外(r>r 0)，静电势能为：

r

e Z Z V 2

21=

这个静电势能在r 0处形成一个库仑势垒V coul ，使得动能低于势垒的核子无法穿越势垒而发生核反应。而在靶核内部，存在一些稳定的能级（E<0），或者是准稳定的能级（0

插入原子核能级和库仑势垒图

如果发生核反应的原子核的动能是来自于热运动的话，我们称这类核反应为热核反应。对于两个质子来说，静电势垒约为1MeV ，而太阳中心温度所对应的热运动平均动能约为1KeV 。可以看到，这个能量远低于库仑势垒。按照经典理论，是无法发生核反应的。但是，根据量子力学的所谓隧道效应，能量低于库仑势垒的核子也存在一定几率穿越势垒而发生核反应。

第四节 热核反应速率

设有热核反应：

a ＋X —→ Y ＋b

设反应粒子各自在相空间的粒子数密度为dn a (v a )和dn X (v X )，则单位时间在单位体积内发生核反应的数目，或者称为反应速率为：

⎰⎰=

X

a

aX dn dn

r v )v (σ

其中v ＝|v a －v X |是反应粒子对的相对速度。

在热动平衡情况下，粒子的速度分布服从麦克斯韦分布公式：

i kT

m i i i d e

kT m n dn i i v 23

2/v 2

/32

-⎪

⎭

⎫

⎝⎛=π

于是得到：

(

)

⎰⎰

+-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=X a kT

m m X a

X a aX

d d e

kT m kT m n n r X X a a v v v 223

32/v v 2

/32

2σππ

引入两粒子质心的速度为：

()X

X a a X a m m U m m v v +=+

于是得到：

()2

2

2

2

v

v v X

a X a X a X X a a m m m m U

m m m m ++

+=+

带回上式得到：

(

)v

v )( v v 4222 v v v 220

3

2/v 2/32

/33

32/v 2

/3222σσπσπππσππX a X

a kT m m m m X a X a

X a X

a kT

m m m m U m m X a

X a aX

n n dE E f n n d e

m

m kT kT m kT m n n d d e

kT m kT m n n r X a X a X a X a X a ==⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎰

⎰⎰⎰

∞

∞

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++-

其中：

()

kT

E e

kT E

E f /2

/32

)(-=

π

如果入射粒子a 与靶粒子X 是同一种粒子，由于全同粒子是不可分辨的，发生反应的次数不是n a n X ，而应该修正为n a (n a -1)/2≈n a 2/2。因此，可以将反应速率写为一般形式：

v 1σδaX

X a aX n n r +=

可以看到，<σv>的物理意义是一对粒子发生反应的几率。

由量子力学的计算可以知道，一对粒子发生热核反应的几率为：