第2章 模糊聚类分析
模糊聚类分析PPT课件
A∪Ac U， A∩Ac .
模糊集不再具有“非此即彼”的特点，
这正是模糊性带来的本. 质特征.
12
例：设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)， 在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质量坏”，并设
A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).
言，需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确
定其隶属关系。截集就是将模糊集转化为普
通集的方法。模糊集A 是一个具有游移边界的
集合，它随值的变小而增大，即当1 <2时，
有A1∩A2。
.
14
模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属 度不小于的成员构成.
例：论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学 习成绩好的学生”的隶属度分别为 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则
并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；
交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；
余：Ac的隶属函数为
Ac (x) =. 1- A(x).
10
模糊集的并、交、余运算性质
幂等律：A∪A = A， A∩A = A；
交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；
结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，
射，而对于模糊子集的运算，实际上可以转换称为对隶属函数的运算：
AAx 0，AU Ax 1 ABAxB x，ABAx B x AA x 1Ax
ABCC x maxAx, B x ABDDx minAx, B x
.
推荐-模糊聚类分析算法研究 精品
摘要聚类就是按照事物间的相似性进行区分和分类的过程，在这一过程中没有教师指导，因此是一种无监督的分类。
聚类分析则是用数学方法研究和处理所给定对象的分类。
传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待辨识的对象严格地划分到某个类中，具有非此即彼的性质，因此这种分类的类别界限是分明的。
而实际上大多数对象并没有严格的属性，它们在性态和类属方面存在着中介性，适合进行软划分。
Zadeh提出的模糊集理论为这种软划分提供了有力的分析工具，人们开始用模糊的方法来处理聚类问题，并称之为模糊聚类分析。
模糊聚类分析算法的一般包括三个步骤:第一步:数据标准化;第二步:建立模糊相似矩阵;第三步:聚类。
本文对模糊聚类分析中的两种算法进行了重点研究。
最后利用matlab实现了一个模糊聚类算法，并用实例加以验证。
关键词：模糊集合，模糊聚类分析，模糊等价矩阵，传递闭包AbstractThis paper will illustrate “clustering analysis”thoroughly. Cluster is a process that assorts things by their similarity. There is no adviser in this process, so it is a non-supervised classification. “Clustering analysis” research and process assort things by mathematical means. Traditional Clustering analysis assorts things strictly: therefore the limit of the classification is very clearly. But in fact most of the things have no obvious attribute by each: their limit is vague, as a result soft classification is a better way to process them. Professor Zadeh introduced the theory of fuzzy sets, which offer a powerful means to solve the problem. People begin to use fuzzy way to deal with clustering problem, and call it “fuzzy clustering analysis”.“Fuzzy clustering analysis” contains three steps. The first is data standardization; the second is to establish fuzzy similar matrix; the third is clustering. This paper will research two arithmetic of the Fuzzy clustering analysis. Finally, the paper will acplish Fuzzy clustering analysis program by matlab. It is significant to use data to validate it.Key words: fuzzy set, fuzzy clustering analysis, fuzzy equivalent matrix, transitive closure目录第1章引言1.1研究背景聚类是人类最基本的一项认识活动，人类要认识世界就必须区别不同的事物并认识事物间的区别与联系，并且是伴随着人类的产生和发展而不断深化的一个问题。
模糊聚类分析ppt课件
k 1
1 2
m k 1
(
xik
x jk )
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
xik .x jk
k 1
5. 求模糊等价矩阵
用上述方法建立起来的模糊矩阵 R ，一般说来只 满足自反性和对称性，不一定满足传递性，即 R 不一 定是模糊等价关系，需要将 R改造成模糊等价矩阵R，
然后再在适当的阈值上进行截取，便可得所需分类。
根据需要可同时选择不同准则分别进行聚类分析，然后 通过综合取交的方法，以做到兼顾多目标，使分类结果更科学。
3、建立数据矩阵
设论域U { x1, x2 ,, xn }为被分类对象， 每个对象又由m 个指标表示其性状：
xi { xi1, xi2 ,, xim } (i 1,2,, n) 则得到原始数据矩阵为 X ( xij )nm .
1, 2,..., m
构造下列形式的F统计量，
r
i
2
ni x x /(r 1)
F i1 r ni
xij
i
x
2
/(n r)
i1 jn1
x x 其中， 为 i x x
m
i
(xk
xk )2
i
与
的距离， xij x i
i 为第
k 1
类中样本
xij 与
i
x 的距离。
F 统计量分子表征类与类之间的距离， 分母表示类内样本间距离，因此 F 值越大，说
改造的方法是将 R 自乘得 R R R2，再自 乘 R2 R2 R4 ，如此继续下去，得 R8 , R16 ……，至某 一步出现 R2k Rk 为止。则 Rk便是一个模糊等价关系。 这个方法是由所谓“传递闭包”理论而来，我们在此 拿来直接应用，不再作详细介绍。
模糊聚类分析
模糊聚类分析壹、何谓聚类分析聚类分析是研究事物分类的一种多元分析方法。
在日常生活中，我们时常要把所接触到的事物（样本），按其性质、用途等进行分类，这种分类过程我们称为聚类分析。
（阙颂廉，民83）贰、聚类分析的应用模糊聚类分析是当前在模糊数学中应用最多的几个方法之一，可以将研究的样本进行合理的分类，如产品的分类就常常用聚类分析来进行，另聚类分析也可用来进行判别分析和预测（林杰斌等。
民76）。
所以，也被广泛地应用于天气预报、地震预测、地质探勘、运动员心理素质分类、河川水质污染程度等方面。
参、普通的等价关系在谈聚类分析之前，应先介绍相似关系和等价关系：一.自反性对任意Uu∈，都有Ru,u(∈，即集合中任一个元素u都)与自身有某相同性质的关系，则称R是自反关系，相对应的矩阵称为自反矩阵。
另数学表示意义为：A中的元素关于R具有”自反性”，即。
例：若U 为同一种族的集合，而集合中每一个人u ，皆与自身有同一种族之关系，这种性质则称为自反性。
二. 对称性如果ji ,R )u ,u (,R )u ,u(i j j i≠∈∈必有。
即u i 与u j 有存在某种关系，若将两个元素之位置对调，则即u j 与u i 也必有符合这层关系，则称R 有对称关系，相对应的矩阵为对称矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”对称性”，即yRx xRy ,A y ,x 且若∈∀。
例：若甲和乙是同学关系，则乙和甲必也是同学关系，这种关系则称为对称性。
三. 传递性如果能由R)w u (R )w v (R )v u (∈∈∈，，推導出，及，。
即u与v 有存在某一关系，而v 与w 也有这同一种关系存在，则即u 与w 也必有符合这层关系存在，则称R 有传递关系，相对应的矩阵为传递矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”传递性”，即。
例：若甲和乙是同一种族关系，而乙和丙也是同一种族关系，则甲和丙必有同一种族关系，这种则称为具有传递性关系。
模糊聚类分析
1 2 m
x11 x21 xm1
x12 x22 xm 2
x1n x2 n xmn
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
实际问题中，不同的数据可能有不同的量 纲。为了使不同量纲的数据也能进行比较，需 要对数据进行适当的变换。根据模糊矩阵的要 求将数据压缩到区间 【0,1】。通常使用平移极差标准化： xik min{xik } 1im xik (k 1,2,, n) max{xik } min{xik }
取=0.8，得 ：
~ R0.8 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
X分为4类：｛X1,，X3｝，｛X2｝，｛X4 ｝， ｛ X5 ｝。
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
取=0.5，得 ：
~ R0.5 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
3 ．应用实例
通过聚类分析，该矿决定在房柱法的基础 上增加采矿费用的投入，采用无底柱上向干式 充填采矿法。
谢
谢！
模糊聚类分析步骤可以分为：数据标准化、建立 模糊相似矩阵、聚类
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
2.1 数据标准化 设论域 X {x , x ,, x } 为被分类的对象，每个对像 又由n个指标表示其性状，即：xi (xi1, xi2 ,, xin ) (i 1,2,, m) 于是，得到原始数据矩阵为：
rij
m in (x
k 1
n
ik
, x jk )
1 2
(x
k 1
n
ik
模糊聚类分析
模糊聚类分析定义：根据具体的标准和性质对事物进行分类的方法称为聚类分析 根据模糊标准对事物进行分类的方法称为模糊聚类分析基本思想：根据分类对象之间的模糊相似程度来衡量相互的异同程度，进而实现模糊分类。
传统聚类分析VS 模糊聚类分析1. 传统聚类分析： 设有n 个对象12,,...nx x x，每个对象有m 种特性12,,...my y y。
1>首先对每个对象的特性进行数量化：用ijz代表第i 个对象的第j 个性质的数值。
则对象ix 的性质形成的一个向量()12,,...i i im z zz2>考察对象之间相近的程度：引入“欧式距离”和“夹角余弦”。
1欧式距离：设对象()()1212,,...,,,....i i im j j jm ijy x z zz z zz ==则欧式距离为：ijyx -=这与我们所熟知的向量的欧式距离是一样的!2夹角余弦：设α是对象ix和jy之间的夹角，0180α≤≤，则夹角余弦为：(),cos ijijy x yx α=其中：()11,...i j im jm ijy x z zz z =++ix=iy=有了这些基础认识之后，下面我们通过一个例子来说明传统聚类分析 设有5个对象125,,...x x x，不妨设每个对象只有一个性质，数量化后分别为1，2，4.5，6，8．现使用传统聚类法进行聚类。
1 欧式距离：5个对象，共有25c个欧式距离。
计算可得121x x-=133.5x x-= 145x x-= 157x x-= 232.5x x-= 244x x -= 256x x-=341.5x x-=35 3.5x x-=452x x-=根据聚类的思想，差异最小的对象属于一类 从而1x 和2x为一类，并记为1G2 将1G 看成新的对象，其特征值为1x 和2x 的平均值1.5。
此时对象为1345,,,G x x x 。
再次计算欧式距离。
可知34,x x之间的距离最小。
聚类分析-模糊聚类分析解析
模糊方阵的幂
定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A ° A，A3 = A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A.
0.1 0.4
0.3
3
0.3
0.7 0.4
0.3 0.7
0.1 0.4
00..73
0.3 0.4
模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义 相等：A = B aij = bij； 包含：A≤B aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n.
模糊关系的矩阵表示
对于有限论域 X = {x1, x2, … , xm}和Y = { y1, y2, … , yn}，则X 到Y 模糊关系R可用m×n 阶模糊 矩阵表示，即
R = (rij)m×n， 其中rij = R (xi , yj )∈[0, 1]表示(xi , yj )关于模糊关 系R 的相关程度.
R2≤R ( ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} ≤ rij) .
当＜时, R的分类是R分类的加细.当由1变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ到0时, R的分类由细变粗,由模糊等价关系R确定 的分类所含元素由少变多,逐步归并,最后成一类, 这个过程形成一个动态聚类图,称之为模糊分类．
00..73
模糊矩阵的转置
定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转置 矩阵，其中aijT = aji.
转置运算的性质：
性质1：( AT )T = A； 性质2：( A∪B )T = AT∪BT，
评估模型研究_模糊聚类
2.2 模糊聚类2.2.1 模糊聚类分析方法简介及基本概念聚类分析是近代发展起来的一种数学分类方法，它的数学基础是数理统计的多元分析方法。
任何一门学科都要通过分类来建立若干概念，也要通过分类来发现和总结规律。
分类是建立和识别模型的重要基础和手段。
分类的方法有多种，这里介绍的聚类分析是根据事物间的不同特征、亲疏程度和相似性等关系、对它们进行分类的一种数学方法。
在现实世界中，一组事物根据某亲疏程度和相似性是否形成一个类群，或一个事物是否属于某一个类别，其界限往往是不分明的，具有很大程度的模糊性，模糊集合理论正是刻画和解决这类聚类问题的数学方法。
模糊聚类分析是依据客观事物的特征、亲疏程度和相似性，通过建立模糊关系对客观事物进行分类的数学方法。
用聚类分析方法处理带有模糊性的聚类问题更为客观、灵活、直观和计算更加简捷。
下面介绍模糊聚类分析方法中的一些基本概念。
（1）模糊矩阵如果对于任意=i 1,2,…,m ；=j 1,2,…,n ，都有∈ij r [0,1]，则称矩阵n m ij r R ⨯=)(为模糊矩阵。
例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3.07.05.01.001R 就是一个2⨯3模糊矩阵。
若∈ij r {0,1}，则模糊矩阵变成布尔矩阵。
为了方便，我们用n m ⨯μ表示n m ⨯模糊矩阵全体，若R 是一个n m ⨯模糊矩阵，则记为n m R ⨯∈μ。
（2）-λ截矩阵设n m ij a A ⨯∈=μ)(，对于任意的∈λ[0,1],称)(λλij a A =为模糊矩阵)(ij a A =的-λ截矩阵，其中⎪⎩⎪⎨⎧<≥=。
λλλij ij ija a a ,0,,1)( （5）显然，截矩阵为布尔矩阵。
（3）传递闭包设n n A S Q ⨯∈μ,,，满足： a ）)(2S S A S ≤≥，b ）)(2Q Q A Q ≤≥∀，总有S Q ≥，则称S 为A 的传递闭包，记为)(A t ，即)(A t S =。
模糊聚类分析 ppt课件
rij
xi • x j xi x j
1
xi
m
xi2k
2
,i
1,2,
,n
k1
• (3) 相关系数法
rij
m
xik xi
k1
m
(xik xi)2
k1
xjk xj
m
(xjk xj )2
k1
x i
1 m
m
x ik
k 1
x j
1 m
m
x jk
k 1
• (4) 贴近度法
• 当对象xi的特性指标向量xi=(xi1, xi2, , xim)为模 糊向量, 即xik[0, 1] (i=1,2, ,n ; k=1,2, ,m) 时, xi与xj的相似程度rij可看作模糊子集xi与xj的 贴近度。在应用中, 常见的确定方法有：最大最
X的一个分类的系列。这样, 在实际应用问题中 可以选择“某个水平”上的分类结果, 这就是模 糊聚类分析的理论基础。
• 实际问题中建立的模糊关系常常不是等价关系 而是相似关系, 这就需要将模糊相似关系改造为 模糊等价关系, 传递闭包正是这样一种工具。
• 定义 设RF(XX). 若R1F(XX)是传递的且满足： 1) RR1, 2) 若S是X上的模糊传递关系且RS, 必有R1S. 则称R1为R的传递闭包, 记为t(R). 模糊关系R的传递闭包是包含R的最小传递关系。
• 如上所述, 模糊相似矩阵R的传递闭包t(R)就是 一个模糊等价矩阵。以t(R)为基础而进行分类 的聚类方法称为模糊传递闭包法。
• 具体步骤如下: (1) 利用平方自合成方法求出模 糊相似矩阵R的传递闭包t(R); (2) 适当选取置信
水平值[0, 1], 求出t(R)的截矩阵t(R), 它是X
模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法
❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931源自0.380.80.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1
模糊聚类分析的理论(17页)
模糊聚类分析的理论模糊聚类分析是一种基于模糊数学理论的聚类方法，它允许数据点属于多个类别，并且每个类别都有一个模糊度。
这种方法在处理现实世界中的问题时非常有效，因为现实世界中的数据往往不是完全确定的，而是具有模糊性的。
模糊聚类分析的基本思想是将数据点分为若干个类别，使得每个数据点属于各个类别的程度不同。
这种程度可以用一个介于0和1之间的数来表示，0表示不属于该类别，1表示完全属于该类别。
这种模糊性使得模糊聚类分析能够更好地处理现实世界中的不确定性。
模糊聚类分析的理论基础是模糊集合论。
模糊集合论是一种扩展了传统集合论的数学理论，它允许集合的元素具有模糊性。
在模糊集合论中，一个元素属于一个集合的程度可以用一个隶属度函数来表示。
隶属度函数是一个介于0和1之间的数，它表示元素属于集合的程度。
模糊聚类分析的理论方法有很多种，其中最著名的是模糊C均值(FCM)算法。
FCM算法是一种基于目标函数的迭代算法，它通过最小化目标函数来得到最优的聚类结果。
目标函数通常是一个关于隶属度函数和聚类中心之间的距离的函数。
模糊聚类分析的理论应用非常广泛，它可以在很多领域中使用，例如图像处理、模式识别、数据挖掘等。
在图像处理中，模糊聚类分析可以用于图像分割、图像压缩等任务；在模式识别中，模糊聚类分析可以用于特征提取、分类等任务；在数据挖掘中，模糊聚类分析可以用于发现数据中的隐含规律、预测未来趋势等任务。
模糊聚类分析的理论还有很多需要进一步研究和发展的地方。
例如，如何提高模糊聚类分析的效率和准确性，如何处理大规模数据集，如何将模糊聚类分析与其他方法相结合等。
这些问题都需要进一步的研究和探索。
模糊聚类分析的理论是一种强大的聚类方法，它能够处理现实世界中的不确定性，并且具有广泛的应用前景。
通过不断的研究和发展，模糊聚类分析的理论将会更加完善，并且将会在更多的领域中得到应用。
模糊聚类分析的理论模糊聚类分析是一种基于模糊数学理论的聚类方法，它允许数据点属于多个类别，并且每个类别都有一个模糊度。
模糊聚类分析
模糊聚类分析----96845308-7160-11ec-a68e-7cb59b590d7d聚类分析就是将一个没有类别标记的样本集按照某种准则划分成若干个子集（类），使相似的样本尽可能归为一类，而不相似的样本尽可能划分到不同的类中。
由于在对样本集进行聚类的过程中，没有任何关于类别的先验知识，所以聚类分析属于无监督分类的范畴。
传统的聚类分析是一种硬划分，它严格地将每个待识别对象划分为一个类。
阶级划分的界限是明确的，具有非此即彼的性质。
在现实世界中，无论是一组对象根据其亲和力和相似性形成一个组，还是一个对象是否属于一个类别，其边界往往是不明确的，并且具有“这个和那个”的性质。
对于这种具有不确定性的聚类问题，模糊聚类分析提供了一种强有力的分析工具。
模糊聚类分析能够建立样本对于类别的不确定性描述，表达样本类属的中介性，已经成为聚类分析研究的主流。
粗略来讲，模糊聚类分析方法可分为两类：基于模糊等价关系的聚类方法和基于目标函数的聚类方法。
有时，这两类方法也结合起来使用。
一、数据预处理在模糊聚类分析中，我们称待分类的对象为样本。
要对样本进行合理的分类，首先应考虑样本的各种特性指标（观测数据）。
设有n个被分类对象，即样本集为x={x1，x2，…，xn}每一个xi有m个特性指标，即xi可表示为特性指标向量xi={xi1，xi2，…，xim}其中xij表示第i个样本的第j个特性指标。
于是，n个样本的特性指标矩阵为⎜⎜x21⎜M⎜⎜十、⎜n1x12lx1m⎜x22lx2m⎜xn2lxnm⎜⎜通常，我们也将样本集记为特性指标矩阵的形式，即x=(xij)n×m。
如果M个特征指标的维度和数量级不同，在运行过程中可能会突出一些大数量级特征指标的作用，而一些小数量级特征指标的作用可能会减少甚至被排除，导致每个特征指标的分类缺乏统一的尺度。
因此，为了消除不同特征指标单位和数量级的影响，当特征指标的维度和数量级不同时，通常会提前对各种指标值进行数据标准化（归一化），使每个指标值统一在一个共同的数值特征范围内。
模糊聚类分析法
4.聚类（求动态聚类图）
（1）基于模糊等价矩阵聚类方法 有① 传递闭包法② 布尔矩阵法 （2） 直接聚类法 对上述撤销观测站的问题用基于模 糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分 析
注：R是对称矩阵，故只写出它的下三角矩阵
1.000 0.861 0.697 0.861 0.861 R * 0.861 0.994 0.719 0.697 0.688 0.719 1 0.697 1 0.996 0.697 1 0.996 0.697 0.992 1 0.995 0.697 0.922 0.922 1 0.719 1 0.697 0.676 1 0.688 0.688 0.697 1 0.719 0.688 0.697 0.688 1
， 而且也消除了量纲的影响。 ③ 对数变换
显然有
，
取对数以缩小变量间的数量级。
3.建立模糊相似矩阵
建立模糊相似矩阵，主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其 他方法。相似系数表示两个对象之间的相似程度.
得到模糊相似矩阵R
1.000 0.839 0.528 0.844 0.828 0.702 0.995 0.671 0.431 0.573 0.712 0.839 1.000 0.542 0.996 0.989 0.899 0.855 0.510 0.475 0.617 0.572 0.528 0.542 1.000 0.562 0.585 0.697 0.571 0.551 0.962 0.642 0.568 0.844 0.996 0.562 1.000 0.992 0.908 0.861 0.542 0.499 0.639 0.607 0.828 0.989 0.585 0.992 1.000 0.922 0.843 0.526 0.512 0.686 0.584 0.702 0.899 0.697 0.908 0.922 1.000 0.726 0.455 0.667 0.596 0.511 0.995 0.855 0.571 0.861 0.843 0.726 1.000 0.676 0.489 0.587 0.719 0.671 0.510 0.551 0.542 0.526 0.455 0.676 1.000 0.467 0.678 0.994 0.431 0.475 0.962 0.499 0.512 0.667 0.489 0.467 1.000 0.487 0.485 0.573 0.617 0.642 0.639 0.686 0.596 0.587 0.678 0.487 1.000 0.688 0.712 0.572 0.568 0.607 0.584 0.511 0.719 0.994 0.485 0.688 1.000
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若关系矩阵R中的元素为区间[0,1]的数的矩阵称 为模糊矩阵，模糊关系与模糊矩阵是一一对应的。
0.20.810.80.2 2 345 6
向量法： A ( 0 ,0 .2 ,0 .8 ,1 ,0 .8 ,0 .2 )
序偶法： A { 2 , 0 . 2 ( ) 3 , 0 . ( 8 ) 4 , 1 ) ( 5 , 0 . ( 8 ) 6 , 0 . ( 2 )}
16
3. 模糊集合的运算 两个集合之间的运算是它们的隶属函数之间的运算
15
例3 设 U { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 } ， A : “ 4 ” ,A 靠 F ( U )近
U中各数 A的属 程 A(于 ui度 )可由下表给
ui
123456
A(ui )
0 0.2 0.8 1 0.8 0.2
Zadeh法：A 00 .20 .810 .80 .2 12 345 6
A (u) [1(u 5 05)0 2]1
0u50 5 0u100
B(u) [1(u 1 52)5 2]1
0u25 2 5u100
B(u) 1
A(u)
0 25 50
100 U
14
2. 模糊集合的表示方法
U为有限集或可数集
① Zadeh法：
A nA (u i)A (u 1 ) A (u 2) A (u n )
6
4、 模糊数学的应用 1976年英国学者Gains和Kohout搜集整理模糊
数学及应用方面的论文统计表
7
二、模糊数学基础
1、模糊集合的定义 普通集合只能表示清晰概念 u U ,A U u A 或 u A
子集A由映射CA : U 0,1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
模糊聚类分析
为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中
当aij≥ 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
对任意的∈[0, 1]，有
性质1：A≤B A ≤B； 性质2：(A∪B) = A∪B，(A∩B) = A∩B； 性质3：( A ° B ) = A ° B； 性质4：( AT ) = ( A )T.
模糊子集 R 的隶属函数为映射
R : X Y [0,1]. 并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的 相关程度.
特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之 间的模糊关系.
模糊关系的运算
由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集， 因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.
cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT ° AT= [∨(bikT∧akjT )]n×m
=[∨(bki∧ajk)]n×m =[∨(ajk∧bki)]n×m = (cji)n×m = (cijT )n×m= ( A ° B )T .
模糊矩阵的 - 截矩阵 定义7 设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称
k, aik() =0或bkj() =0 ∨(aik()∧bkj())=0
所以, cij() =∨(aik()∧bkj()). ( A ° B ) = A ° B .
§2.2 模糊关系
与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关 系是普通关系的推广.
设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称 为从 X 到 Y 的模糊关系.
§2.1 模糊矩阵
定义1 设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模 糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1 时，称R为模糊自反矩阵.
模糊聚类分析方法
第二节 模糊聚类分析方法在科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。
例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。
对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。
由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。
一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化[9]（1） 数据矩阵设论域12{,,,}n U x x x =为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,)i n =，于是，得到原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x x x x x x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭。
其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。
（2） 数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。
因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。
通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换i k kikkx x x s -'= (1,2,,;1,2,i n k m ==其中 11n k i k i x x n ==∑，k s = 经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。
但是，再用得到的ikx '还不一定在区间[0,1]上。
② 平移·极差变换111m i n {}m a x {}m i n {}i k i k i nikik iki ni nx x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =显然有01ikx ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。
模糊数学聚类分析ppt课件
27
模糊关系的合成
28
模糊关系的合成
设有三个论域X、Y、Z，R1是X到Y上的 模糊关系，R2是Y到Z上的模糊关系，则 R1与R2的合成R1。R2是X到Z的一个模糊 关系，其隶属函数为
(R1
oR 2 )( x,
z)
yY
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模糊矩阵的关系
设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)， i=1,2,…,m,j=1,2,…,n, 则
(1)相等：A=B <=>对任意i,j 有 aij=bij (2)包含：A≤B <=>对任意i,j 有 aij≤bij
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模糊矩阵的运算
设A、B为模糊矩阵，记A=(aij),B=(bij)， i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, 则
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模糊矩阵的运算性质
（6）0-1律：A∪O＝A, A∩O＝O; E∪A=E,E∩A=A;
（7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc,
(A∩B)c= Ac∪Bc.
注意
排中律不成立！！ Ac∪A≠ E, A∩Ac ≠ O
26
模糊矩阵的包含性质
性质9 A B A B B; A B A; Ac Bc.
( An )T ( AT )n
性质4： ( Ac )T ( AT )c 性质5： A B AT BT
36
模糊矩阵的λ截矩阵
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模糊矩阵的λ截矩阵
模糊集合---- λ截集
模糊矩阵---- λ截矩阵
定义：设给定模糊矩阵R=(rij)，对任意λ ∈[0,1]，称Rλ=(rij (λ))为R的λ截矩阵， 其中
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O
5 ●6 ●
8
选择满意分类
实际上,最佳分类的确定方法与选择聚类方 法无关,但是选择较好的聚类方法,可以较快地 找到比较满意的分类.
第2章 重要概念与公式方法 模糊矩阵 – 截矩阵 模糊关系 模糊等价关系 模糊等价矩阵 模糊等价矩阵的基本定理 数据标准化 模糊相似矩阵建立方法 聚类方法：传递闭包法 Boole矩阵法 最佳分类的确定 F – 统计量
0.5 0.9 B = 0.7 0.1 0.4 0.5
模糊方阵的幂
合成运算的性质
验证分配律不成立
合成运算性质1的证明
模糊矩阵的转置及其性质
转置运算性质的证明
模糊矩阵的-截矩阵
1 0.5 A= 0.2 0
1 1 A0.3= 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 A0.5= 0 0
m
(x
k 1
m
ik
x jk )
2
d (xi , xj ) = ∨ | xik- xjk |
k =1
Boole矩阵法 定理 设 R 是论域 X ={x1, x2, …, xn}上的一个 相似的 Boole 矩阵,则 R 具有传递性 (当R是等价 Boole矩阵时) 矩阵 R 在任一排列下的矩阵都 没有形如
140
150
1
0.8
0.8
1
0.2
0.8
0.1
0.2
0
0.1
160
170
0.2
0.1
0.8
0.2
1
0.8
0.8
1
0.2
0.8
180
0
0.1
0.2
0.8
1
模糊关系的运算
模糊关系的矩阵表示
2.2.2 模糊关系的合成
模糊关系合成运算的性质
2.3 模糊等价矩阵
2.3.1 模糊等价关系
模糊等价矩阵的基本定理
证明如下：
分类的关系
2.3.2 模糊相似关系
模糊相似矩阵的性质
2.4 模糊聚类分析
数据标准化
平移 • 标准差变换
模糊相似矩阵建立方法
相似系数法 – – 夹角余弦法
相似系数法适用于种群分类.
相似系数法 相关系数法
rij
|x
k 1
m
ik
xi | | x jk x j |
2
(x
k 1
m
ik
xi )
(x
k 1
m
jk
xj)
2
距离法 rij = 1 – c d (xi , xj ) 其中c为适当选取的参数. 海明距离 d ( xi , x j ) | xik x jk |
k 1 m
欧氏距离 d ( xi , x j ) 切比雪夫距离
°
F
|| x
j 1 k 1
j 1 r nj
° ° ° ° ° ° r ° ( j) ° 2 n || x x || /( r 1) j
°
( j) k
°
1 ●2
● ●
● ●
3
●
4
°
( j) 2 x || /( n r )
7 ~ F (r 1, n r )
F- 统计量
F
|| x
j 1 k 1
j 1 r nj
( j) 2 n j || x x || /( r 1)
( j) k
r
( j) 2 x || /( n r )
~ F (r 1, n r )
F- 统计量的几何解释 ° ° °° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °°
蠓的分类与模糊识别
几何识 别方法
模糊分类 首先将已知类型蠓重新进行分类.
模糊聚类判别方法 然后将未知和已知类型蠓混合一起分类.
研究生招生中的模糊聚类分析方法
DNA序列分类与模糊识别 2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题： 生物学家发现DNA序列是由四种碱基A,T,C,G 按一定顺序排列而成,其中既没有“断句”,也 没有标点符号,同时也发现DNA序列的某些片段 具有一定的规律性和结构. 由此人工制造两类 序列(A类编号为1～10；B类编号为11～20). 网址：. 现在的问题是,如何找出比较满意的方法来 识别未知的序列(编号为21～40), 并判断它们 那些属于A类,那些属于B类, 那些既不属于A类 又不属于B类.(P74-80)
0.5 0.2 0 1 0.1 0.3 , 0.1 1 0.8 0.3 0.8 1
1 0 0 1 0 ຫໍສະໝຸດ 0 1 1 0 1 1-截矩阵的性质
下面证明性质1和性质3.
性质3的证明
2.2 模糊关系
2.2.1 模糊关系的定义
模糊关系例子 例 设身高论域 X ={140, 150, 160, 170, 180} (单位：cm), 体重论域Y ={40, 50, 60, 70, 80}(单 位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系. 40 50 60 70 80
第2章 模糊聚类分析
重点：理解模糊聚类分析的原理 掌握建立模糊相似矩阵的方法 难点：选择最佳分类
2.1 模糊矩阵
2.1.1 模糊矩阵的概念
2.1.2 模糊矩阵的运算及其性质
模糊矩阵的并、交、余运算规律
模糊矩阵的合成
0.8 0.2 0.6 A= 0.5 0.6 0.3
1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1
的特殊子矩阵.
Boole矩阵法的步骤 (1)求模糊相似矩阵的 -截矩阵R ； (2) 若R在某一排列下的矩阵有形如
1 1 1 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1 1
的特殊子矩阵,则将R 中上述特殊形式子矩阵 的0改为1,直到在任一排列下R 中不再产生上 述特殊形式子矩阵为止.
最佳分类的确定 在模糊聚类分析中,对于各个不同的∈[0,1], 可得到不同的分类,从而形成一种动态聚类图,这 对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的. 但在许多实际问题中,需要给出样本的一个具 体分类,这就提出了如何确定最佳分类的问题.