2.4.1函数的单调性与函数的极值判别

sin x 2 证 令 f ( x) , x
且
x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 an x
因此
从而
例若 f ( x) 在区间[a, b]上连续，在(a,b)内可导，且
满足 f ( x) 0, 及 f (a ) f (b) 0, 证明方程 f ( x) 0
在 [a, b] 上单调增加；(2) 如果在 ( a, b) 内 f ( x) 0， 那么函数 y f ( x) 在 [a, b] 上单调减少.
证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
要证（ f x1 ) f ( x2 )
( x 已知 x (f a ,( b ),)( fx ) 0) f ( x2 ) f ( x1 ) x 2 1
( x1 x2 )
x2 x1 0,
若在(a , b)内， f ( x ) 0,
则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x) 在定义域内未必单调，但可用适当 一般讲，
的一些点把定义域分为若干个区间，便得 f ( x) 在每 一个区间上都是单调函数。
例
讨论函数y e x 1的单调性.
x
解 y e x 1. 令y＝0 x 0
又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
例
解
讨论函数 f (x) = x－sinx在[0, 2]上的单调性。
因为在(0, 2)内有
f ( x) 1 cos x 0
所以函数 f (x) = x－sinx 在[0, 2]上是单调增加的。
例
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
在(,0) (0, )单调增加.
在[0,)上单调增加； f ( 0 ) 0,
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
例
证明
时, 成立不等式
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
3 y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
当x 0时, 试证x ln(1 x )成立. 即 y 3x2 . x ( x ) f 0. . )在 (x ,0) ln( 1 (0, x ), ),则 证 设f ( x y 1 x
故 (1, 2 ) (a, b) ，使得 f ( ) 0, 与 f ( x) 0
矛盾.
例 证明sin x x 有唯一实根：
证: 设 f ( x) x sin x, 则 f (x)在[-1,1]上可导, 且
f (1) f (1) , 即 f (1) f (1) 0 ,根据零点定理， (a, b), 使 f ( ) 0, x 是方程 f (x)=0 的根；
在(a, b)内有唯一实根.
证 根据闭区间上连续函数的零点定理， (a, b)
使 f ( ) 0, x 是方程 f (x)=0 的根；
假设f (x)=0 在(a, b)内有两个根 1 , 2 (a, b) ，且
1 2 ，则在区间 [1, 2 ] 上f (x)满足 罗尔定理的条件，
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点(驻点)和不可导点，可能是单调 区间的分界点． 方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
例
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
例
确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2 12 x 3的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
2.4.1函数的单调性 与函数的极值判别
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x) 0
b
x
o a
f ( x) 0
b x
定理 设函数 y f ( x)在 [a, b] 上连续，在 (a, b)内可 导 . （）如果在 1 ( a, b)内f ( x) 0，那么函数 y f ( x)