上海建桥学院2015经管类微积分(下)期末试卷

上海建桥学院2014-2015学年第二学期期终考试（2015年6月）

《高等数学（下）（经管类）》试卷 A 卷

（本卷考试时间：120分钟）

本科 2014 级 专业 班 学号 姓名

(本试卷满分100分，除填空题和单项选择题，要求写出解题过程，否则不予计分)

一．填空题：（每小题3分，共15分）

1．函数2y z x e =在点(1,0)处的全微分=dz ___________________________． 2．交换二次积分40

2

(,)x

I dx f x y dy =⎰⎰

的积分次序，则I =___________________________．

3．若幂级数1

()1n

n x a n ∞

=++∑的收敛区间为(0,2)，则常数a =___________________________．

4．微分方程430y y y '''-+=满足初始条件06x y ==，010x y ='=的特解为y =___________________． 5．设()22y t t =-，则二阶差分()()2y t ∆=___________________________． 二．单项选择题：（每小题3分，共15分）

6．设函数(,)z f x y =是由方程23z

x y z e ++=所确定的隐函数，则

z

x

∂∂=（ ）． A ．21z e --； B ．12z e --； C ．2

1

z e -； D ． 12z e -．

7．设级数1

(1)n

n ∞

=-∑ ） A ．绝对收敛； B ．条件收敛； C ．发散； D ．无法确定． 8．设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解，若0()0f x >，且0()0f x '=，则函数()f x 在点

0x ( )．

A ．取得极大值；

B ．取得极小值；

C ．某个领域内单调增加；

D ．某个领域内单调减少． 9．微分方程256x y y y xe '''-+=的特解具有（ ）形式．

A. *210()x y b x b e =+； B ．*210()x y x b x b e =+； C. *21x y b xe =； D. *20x y b e =．

10．某商品的需求量x 对价格p 的弹性为33,ηp =-当价格0p =时，需求量x 为2（单位：万件），

则需求函数()x p ϕ=是（ ）．

A ．3

2p x e =； B ．3

3p x e -=； C ．3

p x e -=； D ．3

2p x e -=． 三．解下列各题：（每题7分，共49分）

11．设函数(,2)x

z f e xy =,其中f 具有二阶连续偏导数,求z x ∂∂,z

y

∂∂和22z y ∂∂．

12. 求函数333z x y xy =+-的极值．

13．计算二重积分2D

xydxdy ⎰⎰，其中D 是由y x =，2x =及1y =所围成的闭区域．

14．计算二重积分D

σ⎰⎰，其中D 是由22224x y ππ≤+≤所围的闭区域．

15. 设幂级数1

n

n x n ∞

=∑，（1）求其收敛区间；（2）求其在收敛区间内的和函数()S x ．

16．将函数1

()f x x

=

展开为关于(2)x -的幂级数．

17．求方程

1sin dy x

y dx x x +=

的通解以及满足初始条件1x y π

==的特解．

四．应用题：（共16分）

18．（本题7分）求旋转抛物面22z x y =+和平面2z a =(0a >) 所围的空间立体的体积．

19．（本题9分）某工厂生产两种产品A 和B ，销售单价分别为1P 和2P ，生产x 单位的产品A 和生产y 单位的产品B 的总成本函数是 22(,)2C x y x xy y =++，且需求函数分别为126P x =-和

2404P y =-，试求两种产品的产量x 和y 为多少时，该厂取得最大利润？

五.证明题：（本题5分）

20．应用所学的级数方法，证明极限 232123

lim (1)n n n a a a a a a →∞⎡⎤+++⋅⋅⋅+=⎢⎥-⎣⎦

（1a >，*n N ∈）．