人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习数学思想方法在圆锥曲线中的体现

数学思想方法在圆锥曲线中的体现

山东 王光天 在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，在解答圆锥曲线综合题时应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数、三角等知识解答，解题时要特别注重对数学思想方法的运用。

一、函数与方程的思想：

解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就可以简化解题的过程，减少运算量。

例1、直线L ：1y kx =+和双曲线2

2

1x y -=的左支交于A 、B 两点，直线m 过点P ()

2,0-和AB 的中点M ，求m 在y 轴上的截距b 的取值范围。

分析：b 的变化是由于k 的变化而引起的，即对于k 的任一确定的值，b 有确定的值与之对应，因此，b 是k 的函数，即求这个函数的值域。 解：由()

22

11,1y kx x y x =+⎧⎪⎨

-=≤-⎪⎩消去y ，得()22

1220k x kx -++= 其中210k -≠ 依题意可知：()

22

122

1224810

201201k k k x x k x x k ⎧∆=+-⎪⎪⎪

+=

⎨-⎪

-⎪

=⎪-

⎩

解得 12k

设M (

)

00,x y ，则120200221111x x k x k y kx k +⎧

==⎪⎪-⎨

⎪=+=

⎪-⎩

由于P ()2,0-，M 221,11k

k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭

，Q ()0,b 三点共线 可得：2

222

b k k =-++，令()222f k k k =-++ 则()f k

在(上是减函数，

所以()()1f

f k f ，且()0f k ≠

即：(()21f k - ∴ (22b -+或2b

评注：本题根据函数的思想建立b 与k 的函数关系，根据方程的思想，运用二次方程的理论具体求出b 的表达式，是解决此题的两个关键问题，对于直线与圆锥曲线交点问题，经常要转化为方程的问题，用方程的理论去解决； 二、分类讨论的思想：

分类讨论问题是高考的重点、难点，解决此类问题关键是找出分类的动机，即分类 的标准，引起分类的根源。

例2、（06年上海）已知抛物线()2

20y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，

且位于上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 做AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M 。 ⑴求抛物线方程；

⑵以M 为圆心，MB 为半径做圆M ，当(),0K m 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系。

解析：⑴抛物线()220y px p =>的准线为2

p x =-

， 于是452

p

+

=，∴2p =，∴抛物线的方程为：24y x =。 ⑵由题意得，圆M 的圆心是点()0,2，半径为2

当4m =时，直线AK 的方程4x =，此时，直线AK

当4m ≠时，直线AK 的方程为()4

4y x m m

=

--，即()4440x m y m ---= 圆心()0,2M 到直线AK 的距离，d =

令2d >，解得1m >，

∴当1m >时，直线AK 与圆M 相离；当1m =时，直线AK 与圆M 相切； 当1m <时，直线AK 与圆M 相交。

点评：本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，运用解析几何的方法分析

问题和解决问题的能力，当条件不能确定图形的位置时，在求解或证明中，则需要根据可能出现的图形的位置进行分类讨论，此类问题在解析几何中是较为常见的。 三、参数思想：

参数思想是辨证思维在数学中的反映，引入参数，用参数来刻划运动变化的状态，起到 设而不求的效果。

例3、（2004年全国高考21）设双曲线C ：()22

21,0x y a

a

-=与直线1x y += 相交于两

个不同的点A ，B 。

⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围；

⑵设直线L 于y 轴的交点为P ，且5

12

PA PB =

，求a 的值； 解析：⑴由双曲线C 与直线L 相交于不同的两点，故方程组：

22

211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩

有两个不同的实数解， 消去y 并整理得(

)2

2

221220a

x

a x a -+-=

所以 ()2

422

104810

a a a a ⎧-≠⎪

⎨∆=+-⎪⎩

解得 0

2a

且1a ≠

双曲线的离心率为e a == ∵02a 且1a ≠

∴6

2

e

且 e ≠⑵ 设()()()1122,,,0,1A x y B x y P ∵ 512PA PB =

∴ ()()11225,1,112x y x y -=- 由此得：125

12

x x =， 由于12,x x 都是⑴方程的根，且2

10a -≠，

所以222222217252,121121a a x x a a =-=--- 消去2x 得：22

2289

160

a a -=- 由0a

，所以 17

13

a =

。 评注：研究直线与双曲线的问题，要注意联立方程，转化成关于x 的二次函数，通过方程有解，求出变量的范围，从而解决实际问题的范围问题，此外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，解题时应引起重视。