线性代数课件特征值和特征向量
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第六章 矩阵的特征值和特值向量
矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的概念 及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法.
§1 矩阵的特征值和特征向量
一. 定义和计算
定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数0和n维非零列向量满 足关系式
A=0 则称0为A的特征值, 为A的属于0的一个特征向量.
对3=3, 解方程(A-3E)x=0, 由于
1 1
3E
A
1
1
1 1
0
0
2
~
1 0 0
0 1 0
1 1 0
得同解方程:
x1 x2
x3 ,
x3
基础解系为3=(1, -1, 1)T.
所以k3(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.
例设3 方阵A可逆,且λ是A的特征值,证明1/λ是A-1的特征 值.
所以向量组1, 2,…,s线性无关. 定理6.3 设1, 2是A 的两个互异特征值, 1,2,…,s和 1,2,…,t分别是属于1,2的线性无关的特征向量, 则 1,2,…,s, 1, 2,…,t线性无关. 证明 设k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0 若=k11+k22+…+kss 0, =l11+l22+…+ltt0 则由+=0, 而,分别是属于1,2的特征向量, 矛盾. 所以==0, 即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0, 线性无关.
如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax=0有非 零解, 若记为Ax=0的非零解, 则有
A=0=0 可见, 0=0为奇异矩阵A的特征值, 方程组Ax=0的非零解 都是A的属于特征值0=0的特征向量. 一般地, 由A=0 可得
(0E A)=0 可见, 是n元齐次线性方程组
(0E A)x=0 的非零解. 所以有|0E A|=0.
例设4 3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是
A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A)
(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9
类似地有1k:x11+2kx22+…+skxss=0
(k=0,1,…,s-1),
即
(x1ξ1,x2ξ2,...,xsξs)11MM 12 O L L 12M ss11(0,0,L,0)
1 s L ss1
所以有 (x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)
1+2+…+n=a11+a22+…+ann 12…n=detA
定理6.2 设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1, 2,…, s是 分别属于它们的特征向量, 那么1,2,…,s线性无关.
证明 设 x11+x22+…+xss=0, 则
A(x11+x22+…+xss)=0,
即
1x11+2x22+…+sxss=0
证 首先证明λ≠0. 用反证法: 假设λ=0是A的特征值, 则
0E - A=-A=0 , 这与A可逆矛盾, 故λ≠0.
再设是A对应特征值λ的特征向量 , 则
A=λ
A-1=λ-1
所以1/λ是A-1的特征值, 而且与A有相同的特征向量.
类似地, 若λ是A的特征值, 则λk是Ak的特征值.
一般地, 若λ是A的特征值,则(λ)=a0+a1+…+amm是 (A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.
1 1
0
0
1 ~ 0
0 1
0 0
1 3 0 0 0 0
得同解方程:
x1 x2
0 0
, 基础解系为1=(0,0,1)T.
所以k1(k≠0)是属于1=2=1的全部特征向量.
对3=3, 解方程(3E-A)x=0, 由于
1
3E
A
1 1
1 1 3
0
0 2
1 ~ 0
0
0 1 0
1 1 0
二. 特征值和特征向量的性质
由于
a11 a12 L
det(E-A) a21 a22 L
M MO
a1n a2n
M
an1 an2 LBaidu Nhomakorabeaann
=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A| 利用多项式方程根与系数的关系可得: 定理6.1 设1,2,…,n是n阶方阵A 的全部特征值, 则
所以A的特征值为1=2=1, 3=3.
对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于
1
E
A
1
1
1 1 1
0
0
0
~
1 0 0
1 0 0
0 0 0
得同解方程: x1 x2,基础解系1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.
所以属于1=2=1的全部特征向量为
K11+k22 (k1,k2 不同时为0)
的所有非零解.
例1 求矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 3 1
的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为
2 1 0 1 2 0 =(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3) 1 3 1
所以A的特征值为1=2=1,3=3. 对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于
1
E
A
1
得同解方程:
x1 x2
x3,
x3
基础解系为2=(-1,
1,
1)T.
所以k2(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.
例2 求矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 1 1
的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
2 1 0 1 2 0 =(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3) 1 1 1
§2 相 似 矩 阵
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B.
定义6.2 设A是n阶方阵, 是参数, 则行列式
a11 a12 L det(E-A) a21 a22 L
M MO
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
称为方阵A的特征多项式. 称det(E A)=0为方阵A的特征
方程.
A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值.
A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组 (E A)x=0
矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的概念 及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法.
§1 矩阵的特征值和特征向量
一. 定义和计算
定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数0和n维非零列向量满 足关系式
A=0 则称0为A的特征值, 为A的属于0的一个特征向量.
对3=3, 解方程(A-3E)x=0, 由于
1 1
3E
A
1
1
1 1
0
0
2
~
1 0 0
0 1 0
1 1 0
得同解方程:
x1 x2
x3 ,
x3
基础解系为3=(1, -1, 1)T.
所以k3(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.
例设3 方阵A可逆,且λ是A的特征值,证明1/λ是A-1的特征 值.
所以向量组1, 2,…,s线性无关. 定理6.3 设1, 2是A 的两个互异特征值, 1,2,…,s和 1,2,…,t分别是属于1,2的线性无关的特征向量, 则 1,2,…,s, 1, 2,…,t线性无关. 证明 设k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0 若=k11+k22+…+kss 0, =l11+l22+…+ltt0 则由+=0, 而,分别是属于1,2的特征向量, 矛盾. 所以==0, 即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0, 线性无关.
如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax=0有非 零解, 若记为Ax=0的非零解, 则有
A=0=0 可见, 0=0为奇异矩阵A的特征值, 方程组Ax=0的非零解 都是A的属于特征值0=0的特征向量. 一般地, 由A=0 可得
(0E A)=0 可见, 是n元齐次线性方程组
(0E A)x=0 的非零解. 所以有|0E A|=0.
例设4 3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是
A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A)
(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9
类似地有1k:x11+2kx22+…+skxss=0
(k=0,1,…,s-1),
即
(x1ξ1,x2ξ2,...,xsξs)11MM 12 O L L 12M ss11(0,0,L,0)
1 s L ss1
所以有 (x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)
1+2+…+n=a11+a22+…+ann 12…n=detA
定理6.2 设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1, 2,…, s是 分别属于它们的特征向量, 那么1,2,…,s线性无关.
证明 设 x11+x22+…+xss=0, 则
A(x11+x22+…+xss)=0,
即
1x11+2x22+…+sxss=0
证 首先证明λ≠0. 用反证法: 假设λ=0是A的特征值, 则
0E - A=-A=0 , 这与A可逆矛盾, 故λ≠0.
再设是A对应特征值λ的特征向量 , 则
A=λ
A-1=λ-1
所以1/λ是A-1的特征值, 而且与A有相同的特征向量.
类似地, 若λ是A的特征值, 则λk是Ak的特征值.
一般地, 若λ是A的特征值,则(λ)=a0+a1+…+amm是 (A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.
1 1
0
0
1 ~ 0
0 1
0 0
1 3 0 0 0 0
得同解方程:
x1 x2
0 0
, 基础解系为1=(0,0,1)T.
所以k1(k≠0)是属于1=2=1的全部特征向量.
对3=3, 解方程(3E-A)x=0, 由于
1
3E
A
1 1
1 1 3
0
0 2
1 ~ 0
0
0 1 0
1 1 0
二. 特征值和特征向量的性质
由于
a11 a12 L
det(E-A) a21 a22 L
M MO
a1n a2n
M
an1 an2 LBaidu Nhomakorabeaann
=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A| 利用多项式方程根与系数的关系可得: 定理6.1 设1,2,…,n是n阶方阵A 的全部特征值, 则
所以A的特征值为1=2=1, 3=3.
对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于
1
E
A
1
1
1 1 1
0
0
0
~
1 0 0
1 0 0
0 0 0
得同解方程: x1 x2,基础解系1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.
所以属于1=2=1的全部特征向量为
K11+k22 (k1,k2 不同时为0)
的所有非零解.
例1 求矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 3 1
的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为
2 1 0 1 2 0 =(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3) 1 3 1
所以A的特征值为1=2=1,3=3. 对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于
1
E
A
1
得同解方程:
x1 x2
x3,
x3
基础解系为2=(-1,
1,
1)T.
所以k2(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.
例2 求矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 1 1
的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
2 1 0 1 2 0 =(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3) 1 1 1
§2 相 似 矩 阵
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B.
定义6.2 设A是n阶方阵, 是参数, 则行列式
a11 a12 L det(E-A) a21 a22 L
M MO
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
称为方阵A的特征多项式. 称det(E A)=0为方阵A的特征
方程.
A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值.
A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组 (E A)x=0