《点集拓扑学》第8章 完备度量空间

第8章完备度量空间(简介)

§8.1度量空间的完备化

定义8.1.1 设(X,ρ)是一个度量空间．X中的一个序列,如果对于任意给定

的实数ε>0,存在整数N>0,使得当i,j>N时,有,则称序列是一个Cauchy序列．

如果X中的每一个Cauchy序列都收敛,则称度量空间(X,ρ)是一个完备的度量空间

易见度量空间中的每一个收敛序列都是Cauchy序列,但反之不然．

例8.1.1 实数空间R是一个完备的度量空间．(证略)

有理数集Q作为实数空间R的度量子空间却不是完备度量空间,因为任何一个在R中收敛于无理数的有理数序列在这个子空间中均不收敛．(完备性不可遗传)

完备性也不是一个拓扑不变性质．

例我们在R中引入一个新的度量d,其定义为:

容易验证d确实是R中的一个度量,并且与R的通常度量ρ等价．因此实数集合R在这两个不同的度量之下,恒同映射是一个同胚．(即(R,ρ)与(R,d)是同胚空间)．然而(R,ρ)

是一个完备度量空间,而(R,d)却不是．因为其中的序列是一个Cauchy序列,然而却不收敛．

验证如下:取,则当i,j>N时．(设i

所以, 是个Cauchy序列．但对于任意取定的x,取i=x+p,p>x时

是个确定的数．即不论你取定怎样的x,当i比2x大时,x、i的距离总是大于固定的数

，这说明是不收敛于x的．

定理8.1.1 完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备度量空间．(闭遗传)

引理8.1.2 设(X,ρ)是一个度量空间,．如果Y中的每一个Cauchy序列都

在X中收敛,则Y的闭包中的每一个Cauchy序列也都在X中收敛．

推论8.1.3 设(X,ρ)是一个度量空间．Y是X的一个稠密子集．如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛,则X是一个完备度量空间．

定理8.1.4 n维欧氏空间和Hilbert空间H都是完备度量空间．

定义8.1.2 设(X,ρ)和(Y,d)是两个度量空间,f: X→Y．如果对于任意x,y∈X有

d(f(x),f(y))=ρ(x,y),则称映射f是一个保距映射,如果存在一个从X到Y的满的保距映射,则称度量空间(X,ρ)与度量空间(Y,d)同距．

定义8.1.3 设X是一个度量空间, X*是一个完备度量空间．如果X与X*的一个稠密的度量子空间同距,则称完备度量空间X*是度量空间X的一个完备化．

定理8.1.5 每一个度量空间都有完备化．

定理8.1.6 每一个度量空间的任意两个完备化同距．

§8.2度量空间的完备性与紧致性

定义8.2.1 设(X,ρ)是一个度量空间,ε>0是一个实数．X的有限子集A称为一个ε网,如果对于任何x∈X有ρ(x,A)<ε．如果对于任何实数ε>0,X有一个ε网,则称度量空间(X,ρ)是完全有界的．

一个度量空间是完全有界明显蕴涵着它是有界的．反之不然,例如包含着无限多个点的离散度量空间是有界的但不是完全有界的

定理8.2.1 设(X,ρ)是一个度量空间,则(X,ρ)是紧致的当且仅当(X,ρ)是一个完全有界的完备度量空间．