结构力学(虚功原理和结构位移计算)

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结构力学 虚功原理与结构位移计算

结构力学 虚功原理与结构位移计算
FP
B
C
c
cu
cv
B
C
M
FP 1
M
FN
A
FR 2
FN
A
FR1
FQ ds FQ
给定位移、变形
虚设平衡力系
18
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W 1 CV FRK CK
K
内虚功
Wi ( M FQ 0 FN )ds
K
所求位移 1 CV ( M FQ 0 FN )ds FRK CK


l

( 1 2 )
25
三、广义位移的计算
ΔAH
求图a)结构A、B截面相对水平位移 AB AH BH。
A κ,γ0 , ε q
a) 给定位移
B
ΔBH
1 A
M , FQ , FN
b)
B 1
1 A
B
A
1 B
=
M 1 , FQ1 , FN 1
+
M 2 , FQ 2 , FN 2
1. 截面位移
FP
FP
B
Bu
B
C
c
cu
BV
cv
A
C
桁架受荷载作用
2
A
刚架受荷载作用
A
C
cv
cu
C'
t1 c t 2
B
A
C
t2 t1
C' c
cv
B

温度变化
支座B下沉
2. 广义位移 通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向 位移以及相对转角叫做广义位移。

结构力学教学 虚功原理与结构位移计算

结构力学教学 虚功原理与结构位移计算

解:虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l)
实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)
MP
FPb l
x
(0 x a)
MP
FP a(1
x) l
(a x l)
MM P ds FPab(
EI
2EI
)
§5-5 图乘法
图乘法应用条件:杆件为直杆,有一个弯矩图是直线图, 截面抗弯刚度EI为一常数。
§5-5 图乘法
例5-7 试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。
解:荷载作用下的MP图如图(a) 虚设单位力偶作用下的 M 如图(b)
虚功方程为 1 M 0
解得
M
§5-2 结构位移计算的一般公式
例5-2 在图中,截面B有相对剪切位移η,试求A点与杆轴成α
角的斜向位移分量△。
解:图(a)的实际位移状态可改用 图(b)来表示。
虚设力系如图(c) FQ sin
虚功方程为 1 FQ 0
解得 FQ
§5-2 结构位移计算的一般公式
AB的圆心角为α,半径为R。试求B点的竖向位移△。
解:虚设荷载如图(b)
图(a)中
MP
1 2
qx2
FNP qx sin
FQP qx cos
图(b)中
M x
FN sin FQ cos
M
AMPM B EI
ds qR4 ( 2 cos 1 cos3 )
2EI 3
3
N
A FNPFN ds qR2 ( 2 cos 1 cos3 )
M
MM P ds ql4
EI
8EI
Q k
FQ FQP ds 0.6 ql 2

第八章 -结构力学

第八章 -结构力学

二、结构位移计算的一般公式
由叠加原理:
i
总位移⊿=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小
i
位移d⊿
d (M N Q )ds
l
如果结构由多个杆件组成,则整个结构变形引起某点
的位移为: (M N Q )ds
l
若结构的支座还有给定位移,则总的位移为:
( M N Q )ds Rkck (9-6)
虚功方程:
1 m M d 0
m M d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对
剪位移d,试求A点在i-i方向的位移 Q。
B
d
B
解:①、在B截面处加
i
机构如图(将实际位移状态
A
Q
明确地表示为刚体体系的位 移状态)。
i
②、A点加单位荷载 FP=1,在铰B处虚设一对剪
A
Q
力Q(为保持平衡)
Q 1sin
➢ ① NP, QP , MP是荷载作用下,结构各截面上
的轴力,剪力,弯矩。注意这是在实际状态下的
内力。
➢ ②E,G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
➢ ③A,I杆件截面的面积和惯性矩。
➢ ④EA,GA , EI杆件截面的抗拉,抗剪,抗弯
1、广义力与广义位移
作功的两方面因素:力、位移。
与力有关的因素,称为广义力S。
与位移有关的因素,称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是:它们的乘积是虚功。
即:W=PΔ
1)广义力是单个力,则广义位移是沿此力作用线 方向的线位移。 2)广义力是一个力偶,则广义位移是它所作用的 截面的转角β,即角位移。
mA
Δ A
B
P
Bm B
2、虚功

结构力学(虚功原理和结构位移计算)

结构力学(虚功原理和结构位移计算)
几何法
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work):
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或:T P • ds
2、实功:力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时,即:
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为:
T 1P 2
A
11
3、虚功:当位移与作功的力无关时,这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结,不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时, 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系,故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析,见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法, 但计算工作麻烦。

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)

温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素:荷载、温度改变或支座移动引起的位移;
温度改变的位移计算公式
应用背景
Page 10
14:26
LOGO
温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5,求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解:⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1,
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N;
⑵ 由于各杆 α,t0,Δt,h 相同,
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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14:26
LOGO
结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正;
作业点评

虚功原理与结构位移计算

虚功原理与结构位移计算

考虑材料非线性时结构位移计算
01
材料非线性本构关系
建立考虑材料非线性的本构关系模型,如弹塑性模型、粘弹性模型等。
02
结构非线性分析方法
采用适当的非线性分析方法,如增量法、迭代法等,对结构进行非线性
分析。
03
材料非线性对结构位移的影响
分析材料非线性对结构变形和位移的影响,包括塑性变形、蠕变等。
06
性。
刚架式结构位移计算
计算模型建立
针对刚架式结构的特点,建立适当的计算模型,如平面刚架、空间刚架等。
荷载作用分析
分析刚架式结构在荷载作用下的内力分布,包括轴力、弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理,推导刚架式结构在荷载作用下的位移计算公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例,进行计算并分析结果,验证计算方法的准确性。
有限差分法在结构位移计算中应用
01
差分方程建立
有限差分法通过差分近似微分的 方式,将偏微分方程转化为差分 方程,简化计算过程。
计算效率
02
03
适用范围
有限差分法在处理规则网格时具 有较高的计算效率,适用于大规 模并行计算。
有限差分法在建筑、水利、交通 等工程领域的结构位移计算中发 挥重要作用。
无网格法在结构位移计算中应用
梁式结构位移计算
计算模型建立
根据梁式结构的特点,建立适 当的计算模型,如简支梁、悬
臂梁等。
荷载作用分析
分析荷载作用下的结构内力, 包括弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理,推导梁式 结构在荷载作用下的位移计算 公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例,进行计算并分 析结果,验证计算方法的正确

结构力学 第十三讲虚功原理和结构的位移计算

结构力学 第十三讲虚功原理和结构的位移计算

位移过程中,作用在质点或质点系上的各力的大小及 方向保持不变。
dr F
Ff ds φ G
N
F’
F A’
A
GN
一、质点的可能位移原理(虚位移原理)
质点在力系作用下平衡的必要及充分条件:
质点对于任意微小的可能位移,作用在质点上的所
有力所做功之和等于零。
可能功方程:T F dr 0
T G cos dr N dr 0
最大层变间形位体移系<的1虚/8功00原层理高,。然后讨论静 铁路工程技术定规结范构规的定位: 移计算。
桥梁在竖向活载下,钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3) 施工要求
施工要求:建筑起拱
将各下弦杆做得比实 际长度短些,拼装后 下弦向上起拱。
所做的功之和为零}
或:
C F5
质点系对于任意微小的可能 位移,作用在质点系上的外 力及内力所做功之和为零。
F1 A F2
B
F3
F4
质点系的可能功方程: T F r T外 T内 0
质点系的可能位移原理对于刚体及变形体都是适用的
三、刚体的可能位移原理
{刚体在力系作用下平衡} {力系(外力)在虚位 移上所做的功之和为零}
目录
第六章 虚功原理与结构的位移计算
§6-1 概述 §6-2 实功与虚功 §6-3 广义力与广义位移 §6-4 变形体的虚功原理 §6-5 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-6 图乘法 §6-7 静定结构由于温度改变引起的位移计算 §6-8 静定结构由于支座移动引起的位移计算 §6-10 互等定理
还有什么原 因会使结构产
生位移?

结构力学 9虚功原理和结构的位移计算

结构力学 9虚功原理和结构的位移计算
Ax
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 生位移? 支座移动 制造误差 等
t
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上,吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度; 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下,钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
例3:求AB两点的相对水平位移。
A 3m
EI常数
MP
P=1 6kN B 3m P=1
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
18
6
3
36 9
6m 9 9
1 2 × × ×3 6 1 1 ×6 ×6 ×18 ×6 ×3 ×0 6 9 2 3 2 EI 2 1 1 × × × 3 × 18×3 2 × -756 × 3 36 6 6 EI 3 4 2 3 EI
h
(a+l)/3
(b+l)/3
2 A lh 3
二次抛物线
l
1 A lh 2
(2) 复杂图形(分段+叠加) a、梯形相乘(分段+叠加)
a
b
a
b
c
d
c
d b a
l AyC (2ac 2bd ad bc) 6
c
b、一般形式的二次抛物线相乘(分段+叠加)
=
+
C、曲线图形与折线图形相乘(分段+叠加)
§9-4 荷载作用下的位移计算
kp N N P ds M M P ds K QQP ds EA EI GA

结构力学课件(虚功原理与结构位移计算)_图文

结构力学课件(虚功原理与结构位移计算)_图文

k--为截面形状系数
1.2
(3) 荷载作用下的位移计算公式
二、各类结构的位移计算公式 (1)梁与刚架 (2)桁架
(3)拱
例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移

q
P=1
A
C
BA
C
B
1)列出两种状态 的内力方程:
(a) 实际状态
AC段
(b) 虚设状态
CB段
AC段
CB段
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算
C
B
A
a
b
已知 求 设虚力状态
P=1
虚功方程
A
C
B
a
b
小结:(1)形式是虚功方程,实质是几何方程; (2)在拟求位移方向虚设一单位力,利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系;
(3)特点是用静力平衡条件解决几何问题。
单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
四、支座位移时静定结构的位移计算
G
B
0.25l 0.25l
0 1.5
0 1.5
0.5
0.5
2P
2P
1
1
1
C
1
D A
F B
00
4.5 E 3.0
1.5
G 1.5
1.5 0.5
1.5
0.5
钢筋砼
材料 杆件
AD
DC DE CE 钢 AE EG
lA
例3:求图示曲杆(1/4圆弧)顶点的竖向位移Δ。钢筋混凝土结构G≈0.4E P 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12
推导位移计算公式的两种途径 由刚体虚功原理来推导-局部到整体。
一、局部变形时的位移计算公式

结构力学(虚功基本知识和结构位移计算)

结构力学(虚功基本知识和结构位移计算)

解:在载荷作用下,
刚架的 M P 图如图所示,
状态I
BC梁
MP
1 qx2 2
AB柱
MP
1 qa2 2
<1>求C点的水平位移,可在C点加一单位力
得状态II,M K 图 状态II
BC梁 M K 0
AB柱 M K x
代入位移公式,得:
c
MPMK EI
ds
0
a
0
x( 1 qa2 ) 2 EI
三、几种类型的虚拟状态 求线位移: 沿拟求位移方向上施加相应的单位力。
求转角、相对转角: 沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。
1) 若求结构上C点的竖向位移,可在该点沿所求位移方 向加一单位力,如图示
2) 若求结构上截面A的角位移,可在截面处加一单位力偶。
若求桁架中AB杆的角位移,应加 一单位力偶,构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
二、变形体位移计算的步骤: 1、沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载 2、确定单位荷载下的结构内力 M、 N、 Q 和支反力R 3、利用公式计算拟求位移Δ
注:1、Δ是广义位移
2、应用单位荷载法每次只能求得一个位移 3、虚拟单位力的指向可任意假定,求出结果为正表明
实际位移方向与虚拟单位力的方向一致,否则相反
3、位移产生的原因
(1)、结构 荷载作用 内力
应变
变形
结构上各点位置发生变化
(2)、结构
非荷载作用
温度改变、支座移动、 材料涨缩、制造误差
位移
虽不一定产生应力和应变,但却使结构产生位移。
4、结构位移
变形(deformation) --结构在外部因素作用下,产生尺寸形状的改变; 由于变形将导致结构各结点位置的移动,于是产生位移。

结构力学第5章虚功原理与结构位移计算3ppt课件

结构力学第5章虚功原理与结构位移计算3ppt课件

=(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds
MP’
D
⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
D
C2
b MP’’ B
⊿=
l (2ac+2bd+ab+bc) 6EI
Ca C1 A来自cyC1l a C1
• (2)、左图也可分为两个
C2
B MP
b
标准三角形,进行图乘运 算。
D
⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
+FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
1
l/2
例:
图示刚架,用 图乘法求B端转角 θB ; CB杆中点D的
竖向线位移⊿DV。
各杆EI=常数。
60kN 12kN
12kN 72kN
EI=常数
72kN
解: • 1、作荷载作用下结构的弯矩图。
C2
252 C1
45
C3
C4
90
错在哪里?
3、正确的作法
FP
⊿CV
l/2
l/2
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4
y1=l/3
AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y2=l/6 FP
AP
FP l
AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y3= 0
⊿CV=∑AP·yC/EI =(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6
§5-5 图乘法
一、图乘法的适用条件
计算弯曲变形引起的位移时,要求下列积分:
MM EI
P
ds

结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算

结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算

N N Pl EA
杆件 NP
A 1.50 1/2
E
N
-1.58
l 0.263l
N N P l EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb 0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
AD
-4.74P
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
钢筋 混凝土
CD DE CE
-4.42P
-1.58
2
§4· 位移计算概述 1
a)验算结构的刚度; 1、计算位移目的: b)为超静定结构的内力分析 打基础; a)荷载作用; 2、产生位移的主要原因: b)温度改变和材料胀缩; c)支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
d w dx
2 2
l β Δ
/l
M ,Q, N
, ,
A
Δ
B
6
4、刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是, 对于任意微小的虚位移,外力所作的虚功之和等于零。 W=0 二、虚功原理的应用 1)虚设位移求未知力(虚位移原理) 2)虚设力系求位移(虚力原理) P 1、需设位移求静定结构的未知力(虚位移原理)
X X P P 0
19
l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
一、变形体虚功原理 状态 1 是满足平衡条件的力状 ≠ T12 = 0 态,状态2是满足变形连续条件 的位移状态,状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和 即:T12= V 12

10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds

结构力学_虚功原理与结构位移计算

结构力学_虚功原理与结构位移计算

? ? ? ? RKcK
支座移动时的 位移计算公式
计算出的位移为正值,表明与假设方向一致。
结构力学 14

( )
支座移动时的位移计算
确定B支座的水平位移和B截面的转角
? B B
h
A
a
l
河南理工大学
结构力学 15
支座移动时的位移计算
确定B支座的水平位移
1
A
h
l
B P?1
h l
? B B
h
A
a
l
确定B截面的转角
--------刚体体系的位移计算 (2)讨论静定结构由于局部变形(局部拉伸、剪切、弯曲 变形,结构其他部分没有变形仍为刚体)引起的位移。
--------变形体体系位移计算 (3)讨论静定结构由于整体变形(结构中各个杆件的各个 微段都产生变形)而引起的位移。
--------叠加原理:由局部变形位移计算公式推导整体变形位 移计算公式
θ
Δ 局部弯曲变形,结构其他部
C
B
A
分没有变形仍为刚体。
a
a
位移状态
θ
Δ
M ? 1?a
C
B
虚设力系
M
C
B
A
1?? ? M ?? ? 0
1
? ? M ??
A
结构力学 18
§5-2 结构位移计算的一般公式
例2、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对剪切位移η ,求
A点竖向位移。
局部剪切变形,结构其他部
C
ηB
结构力学 12
支座移动时位移的计算
B点发生支座移动,求由此引起的 C点竖向位移
1 在待求位移点沿位移方向施加单位力 A

结构力学虚功原理和结构的位移计算

结构力学虚功原理和结构的位移计算

FP1 (先)
M2(后)
1
1’DD1121 1’’
21
2
22
FP1在Δ12上做旳功:
W12 FP1 Δ12
FP1 1
D11
1
D12
2
M2 2
W12是力FP1在另外旳原因(M2)引起旳位移上所做旳功, 故为虚功。所谓“虚”,就是表达位移与做功旳力无关。
在作虚功时,力不随位移而变化是常力,故式中没有系数
实功
能量法:
虚功
外力作虚功 内力作虚功
虚位移原理
虚功原理
(虚功方程) 虚力原理
单位位移法 单位荷载法
计算力(3.8节) 计算位移(本章)
6.2 变形体系旳虚功原理
一、功、实功与虚功 1、功
功包括了力和位移两个原因 2、实 功 所谓实功,是指力在其本身引起旳位移上所做旳功。
分为常力实功和变力实功 。
FP M q
EF
ds
FR1
EF
FR2
q
ds
FR3
M B C M+dM
E’ F’
BC
FN
FN+dFN
FQ A ds D FQ+dFQ
将微段ds上旳作用力区别为
O A
D B1
C1 C2
ds
O’
A1
D1 D2
外力与内力,微段总旳虚功:

dW总= dW外+dW内
整个构造旳总虚功为:
g0 dv
g0
du
dW总 dW外 dW内 ds
形截面μ =10/9,薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ =A/A1
(A1为腹板面积)。
二、构造位移产生旳原因

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算

结构位移计算的一般公式
叠加法:总位移Δ是微元段变形引起的微小位移dΔ之叠加; Δ = ∫dΔ = ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
多个杆件:每根杆件产生的位移效应的叠加 Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds 变形+支座位移:叠加法 支座位移产生的位移Δ=- ∑FRK· cK
另一种形式: 1 ·Δ+ ∑FRK· cK = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds =
=
外力虚功
W
=
Wi
内力虚功
变形体的虚力方程
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14:33
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结构体位移计算的单位荷载法
l
Page 19
d θ
M M
ds
14:33
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结构体位移计算的单位荷载法
局部变形时的位移计算公式
微元段的局部变形
1 相对轴向位移 dλ = εds
ds变形
相对轴向位移 dη = γ0ds
相对转角 dθ = ds/R = κds
⑴ 这些相对位移dλ、 dη和dθ 分别对应的广义力是B点的轴力FN, 剪力FQ ,及弯矩M; 这些微小变形在A端产生的位移dΔ如何求? 单位荷载法! ⑵ 设单位位移在B点产生的的轴力,剪力及弯矩分别为 FN , FQ 和M,利用虚力原理,有
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2
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应用虚力原理求刚体体系的位移
结构位移计算概述
位移:结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置 移动到另一位置,这个移动的量就称为该截面的位移; 思考:变形和位移的差别? 变形:结构在外部因素作用下发生的形状变化;

《结构力学》第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述

《结构力学》第6章  结构位移计算与虚功-能量法简述


1 2

ql 2 2

l


2 3
l


1 3

ql 2 2

l


3 4
l

7ql4 24EI
6-2 变形体虚功原理的应用
MP图按叠加法分解
ql2 ql2
MP图
+ ql2/8
l M图
1
BV

1 EI
l



FPl 2 2EI
MP、M图均为直线,纵坐标可从任意图形中选。
6-2 变形体虚功原理的应用
已知:EI=常数。求B点的转角。
a
4EI
EI EI
A
B FP
a
FPa MP图
1
1
M图

B


1 4EI
FPa a
1 2

1 EI

1 2

FPa

a

AB :
MP

qa2 2
M1 x1
M 2 1
BC :
MP

qx22 2
M1 0
M 2 1
6-2 变形体虚功原理的应用
AB :
MP

qa2 2
BC :
MP

qx22 2
M1 x1 M 2 1 M1 0 M 2 1
CH

1 EI
AB
M P M1
d
x1
将含有“dx”的项合并,得
B
A [ud FN (w1 w2 )d FQ d M ] [ pu q(w1 w2 ) FQ ]d x 0 (c)

结构力学-虚功原理和结构的位移计算

结构力学-虚功原理和结构的位移计算

30 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第四节 图乘法及其应用
受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式:
∑ ∫ ΔiP =
MMP ds EI
称莫尔积分
在杆件数量多或荷载较复杂的情况下,不方 便。下面寻求一种简单的计算位移的法。
利用图形的静矩原理将图形积分变为图形相乘
31 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
6 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第一节 位移计算概述
3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载



温度改变或 ×


材料胀缩
支座移动或 ×
×

制造误差
产生位移的主要原因主要三种:①荷载作用、②温度改变和材料胀
缩、③支座移动和制造误差。
7 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第一节 位移计算概述 4 体系特征假定
虚功:力在非自身所产生的位移上所作的功。
(力与位移相互独立)
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12 = FP1Δ12
(此过程力保持为常量)
虚功具体有两种情况:
1 作功双方其一是虚设的; 2 作功双方均是实际存在的,但彼此无关。11 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第二节 变形体虚功原理
注意:
外力虚功
∑ We = 1 ⋅ Δk + FRi ⋅ ci
内力虚功
Wi = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη
由虚功方程 We = Wi
Δk = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη − ∑ FRici
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A
4
4、结构位移
变形(deformation) --结构在外部因素作用下,产生尺寸形状的改变; 由于变形将导致结构各结点位置的移动,于是产生位移。
1)、线位移
水平线位移: H
铅直线位移: V
2)、角位移:
3)、位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。
上述各种位移统称为“广义位移”。 与广义位移相对应的力称为“广义力”。
R1
图ห้องสมุดไป่ตู้b)
Δ1c1ab0

A
Δ
c1

b a
B
B' P=1 B
14
应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单 位荷载,并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力 R1 这种解法称为单位荷载法。
特点:利用静力平衡,通过虚功方程来解几何问题。 适用范围: 刚体体系的位移计算,
变形体体系的位移计算问题。
△CD= △C+ △D
A
7
一般而言,位移有其产生的原因和所在结构部位和方向。
位移用Δ表示.
第一角标:位移的地点和方向 双角标表示
第二角标:产生该位移的原因
A
i Δij
j Pj
B
Δij--由于作用于j点确定方向的力Pj所引起的i点在某 确定方向的位移
A
8
柔度δ(Flexibility )--单位力所引起的位移
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系,故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
几何法
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work):
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或:T P • ds
2、实功:力由于自身所引起的位移而作功。
A
i
δij
j Pj=1
B
δjj
δjj --直接柔度 δij --间接柔度
δjj >0
>0 δij <0
=0
A
9
5、计算位移的有关假定
1)、结构材料服从“虎克定律”,即应力、应变成线形关系。
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结,不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时, 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。
-5
(图1)
(图2)
解:思路:沿拟求位移方向上加单位力(图2),求出支座
2.令虚设力在 实际位移上作虚功,写出虚功方程
1Δ FRKcK 0
3. 求拟求位移为:
Δ FRKcK
A
17
例2:已知B截面处有相对转角θ,拟求A点的竖向位移Δ。
分析: 1)等效图(b) 2) 虚设P=1
M 1.a
3) 虚功方程
1ΔMθ0
所以
ΔMθaθ
图(a) 图(b) 图(c)
A
18
例题3 三铰刚架,支座B发生如图所示的位移,a=5cm, b=3cm,
在结构的制作、架设、养护等过程中,往
往需预先知道结构的变形情况,以便采取
相应的措施(如图),以消除位移的影响
A
3
3、位移产生的原因
(1)、结构 荷载作用 内力
应变
变形
结构上各点位置发生变化
(2)、结构
非荷载作用
温度改变、支座移动、 材料涨缩、制造误差
位移
虽不一定产生应力和应变,但却使结构产生位移。
当静力加载时,即:
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为:
T 1P 2
A
11
3、虚功:当位移与作功的力无关时,这样的功称为虚功。
P
A
D
虚功的计算式为:
TP
力 A 虚功的两因素: 相应的位移
4、虚功对应的两种状态及应满足的条件:
(1)虚力状态:为求真实位移而虚设的力状态,应满足 静力平衡条件.
(2)虚位移状态:为求真实力而虚设的位移状态,应满足 变形协调条。
W外=0
A
13
1、虚力原理 ( Virtual force theory ) 以图(a)示静定梁为例说明虚力原理
已知:支座A移动位
A'
移c1,求 c1
解: 因位移状态给定
A
C
故用虚力原理
虚设一单位力,如图(b)示
由平衡条件知:
R1
b 未知力与已知力 a 之间的几何方程
由虚功方程:
a
b
图(a)
A
C
(2)在CD杆上一力偶
M=1,图(C)示:
列虚功方程:
(c)
ΔC1cA130
β1cA21l0
所得位移为正,表明
解得:
ΔC
1 3
cA
β
1 2l
cA
A
与单位荷载方向一致
16
小结:支座K有给定位移cK时静定结构的位移计算步骤
1.沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载,求出单位 荷载下的支座反力FRK.得到虚设的平衡力系。
第四章
虚功原理和结构位移计算
Computation of displacemen of structure
A
1
主要内容
§4-1 结构位移概念 §4-2 刚体体系虚功原理及其应用
§4-3 变形体结构位移计算一般公式 §4-4 荷载作用下的位移计算及举例 §4-5 图 乘 法 §4-6 温度作用时的位移计算 §4-7 互等定理 §4-8 小 结
A
12
(3)、虚力原理:研究虚设的平衡力系在实际位移上的 功,以计算结构的未知位移(如挠度、转角等).
(4)、虚位移原理:研究实际的平衡力系在虚设位移上的功, 以计算结构的未知力(如支座反力等).
二、刚体虚功原理 理论力学 质点、质点系虚功原理
刚体虚功原理:刚体平衡的充要条件是作用于刚体上 的外力在刚体的任何虚位移上所作的虚功总和为零。即:
A
2
§4-1 结构位移概念
• 1、工程结构在荷载作用、温度变化、材料收缩和支座移 动等因素下:
• 结构的形状一般会发生变化-变形(或形变) • 结构的截面位置会发生变化-位移(线位移或角位移)
2、结构位移计算的目的
(1)验证结构的刚度 (2)为超静定结构的内力分析打下基础.
(3)为研究结构动力计算和稳定分析的打基础
A
5
在梁和桁架中,垂直方向位移称为挠度(deflection) 在刚架中,结点水平方向位移称为侧移
在超静定刚架中,荷载作用下, 结点不仅有角位移,同时有侧 移现象。如图示
φ
A
6
4)、各种位移举例
绝对位移 (Absolute displacement)
相对位移
Relative displacement
2、支座位移时静定结构的位移计算 虚设单位荷载的目的 使虚功方程中正好包含拟求位移对应的力
即:单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移。
A
15
例1 : 如图示梁在支座A有竖向位移cA,拟求
(1) C点的竖向位移ΔC;
(a)
(2) 杆CD的转角β.
解: (1)在C点加一竖向
P=1,图(b)示:
(b)
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