(浙江专用)高三数学专题复习攻略 第一部分专题二第二讲专题针对训练 理 新课标

【优化方案】（浙江专用）高三数学专题复习攻略 第一部分专题
二第二讲专题针对训练 理 新课标
一、选择题
1．在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．45°或135° 解析：选B.∵BC >AC ，∴A >B . ∴角B 是锐角，由正弦定理得
BC sin A ＝AC
sin B
， 即sin B ＝AC sin A BC ＝42×
3
243
＝2
2，
∴B ＝45°，故选B.
2．(2011年高考辽宁卷)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝1
3
，则sin 2θ＝( )
A ．－79
B ．－19
C.19
D.79
解析：选A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22
(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)
＝19，∴sin 2θ＝－79
. 3．若cos(3π－x )－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝0，则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4等于( )
A ．－12
B ．－2
C.12
D ．2 解析：选D.∵cos(3π－x )－3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝0，
∴－cos x ＋3sin x ＝0，∴tan x ＝13，∴tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
1＋tan x 1－tan x ＝1＋
131－13
＝2，故选D.
4．(2011年高考天津卷)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )
A.33
B.36
C.63
D.66
解析：选D.设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝2
3 a ，BC ＝2BD ＝4
3
a ，cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 2
2AB ·AD ＝
2a 2
－43a
22a 2
＝13
， ∴sin A ＝1－cos 2
A ＝223
.
由正弦定理知sin C ＝AB BC
·sin A ＝34×223＝66
. 5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2
α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－25
5
B ．－3510
C ．－31010
D.25
5
解析：选A.由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－
10
10
. 故2sin 2
α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.
二、填空题
6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，π
4－α是第一象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2－2αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α的值是________．
解析：∵π
4
－α是第一象限角，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin2⎝ ⎛⎭⎪
⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝10
13.故填1013.
答案：1013
7．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．
解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°
＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°
sin 30°
＝10 2.在Rt △ABC 中，
tan60°＝AB
BC
，AB ＝BC tan60°＝10 6.
答案：10 6
8．方程x 2
＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，则A
＋B ＝________.
解析：由根与系数的关系得
tan A ＋tan B ＝－3a ，tan A tan B ＝3a ＋1，
则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a
1－3a ＋1＝1.
又A ，B ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，A ＋B ∈(－π，π)，tan A ＋tan B ＝－3a <0， tan A tan B ＝3a ＋1>0，所以tan A <0，tan B <0，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，B ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，A ＋B ∈(－π，0)．
所以A ＋B ＝－3π
4.
答案：－3π
4
三、解答题
9．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tan B ＝12，tan C ＝1
3
，
且c ＝1.
(1)求tan(B ＋C )； (2)求a 的值．
解：(1)因为tan B ＝12，tan C ＝13，tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C
1－tan B tan C ，
代入得tan(B ＋C )＝12＋13
1－12×13
＝1.
(2)因为A ＝180°－B －C ，
所以tan A ＝tan[180°－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－1. 又0°<A <180°，所以A ＝135°.
因为tan C ＝13>0，且0°<C <180°，所以sin C ＝10
10，
由
a sin A ＝c
sin C
，得a ＝ 5.
10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，
得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2
，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
，∴A ＝60°.
(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋3
2
cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.
∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为正三角形．
11．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x (x ∈R )．
(1)当x 取什么值时，函数f (x )取得最大值，并求其最大值；
(2)若θ为锐角，且f ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23，求tan θ的值． 解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝sin2x ＋cos 2x
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫22sin 2x ＋22cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π
8(k ∈Z )时，函数f (x )取得最大值，其值为 2.
(2)法一：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝23.
∴cos 2θ＝1
3
.
∵θ为锐角，即0<θ<π
2，∴0<2θ<π.
∴sin 2θ＝1－cos 2
2θ＝
22
3
. ∴tan 2θ＝sin 2θcos 2θ＝2 2.∴2tan θ
1－tan 2
θ＝2 2. ∴2tan 2
θ＋tan θ－2＝0.
∴(2tan θ－1)(tan θ＋2)＝0.
∴tan θ＝2
2或tan θ＝－2(不合题意，舍去)．
∴tan θ＝
22
. 法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝23. ∴cos 2θ＝13.∴2cos 2
θ－1＝13.
∵θ为锐角，即0<θ<π2，∴cos θ＝6
3.
∴sin θ＝1－cos 2
θ＝33.∴tan θ＝sin θcos θ＝2
2
.。