一种FFT谱细化方法

3) 从窗谱函数知道矩形窗的主瓣宽度近似为 4 / N , 也就是间隔为 2 倍的频率分辨率, 小于这个间隔的信号不 能从频谱中分辨开来。( 由于谱泄漏的影响, 一般的窗函数 很难分辨间隔小于 4 倍频率分辨率的谐波。)
2 FFT 频谱细化方法
现在对表达式( 2) 的信号进行如下调制:
xq (n) =
sin[ ( k + r i) ] sin[ (k + ri ) / N ]
(4)
而矩形窗函数的频谱函数为
W rect( k ) =
N- 1
w rect ( n) e- j 2 kn/ N =
n= 0
N- 1
e- j N
k
sin( k ) sin( k / N )
( 5)
频谱的分辨率为
F = NT s = N / f s
Abstract: FF T algo rithm is a common metho d of har monic analysis. But sig na l spectrum has spectrum leakag e and fences effect that lessens spectr um peaks and accur acy , due to the effects o f sampling sig nal truncated. T his paper puts fo rw ard an impro ving frequency resolution method which can g et high r eso lutio n fr equency spectrum, based o n the simple modulation of F FT har monic analysis alg or ithm, w ithout increasing sampling length. By theor etical elabo ration, data processing and simulation, co mpar ing w ith dir ect F FT alg or ithm, inter po lation FFT alg or ithm and the method of phase differ ence, the r esults of this method ar e much bett er t han dir ect FF T alg or ithm and the method o f phase differ ence, close to o r ex ceed the inter po lation metho d. Results sho ws that t his method is an effective metho d which impr oves the frequency spectr um resolution and reduces the spectral leakag e. Keywords: FFT ; r eso lutio n; spectr al leakag e
x(
n) e-
j
2 N
mq n
式中: m 为正整数, 一般取 2n, q = 0, 1, 2,
xq (n) 的 FFT 变换为
( 8) , m - 1。
N- 1
m
X q( k) =
xq( n) e-
j
2 N
kn
=
n= 0
i=
1
Ai 2
ej
N- 1
ei - j M
(k- ri+ q/ m)
sin[ (k sin[ ( k - ri
( 6)
通常只考虑正频率成分, 则有
X ( k) =
p i= 1
Ai 2
ej
N- 1
ei - j N
( k- r i )
s in[ ( k - ri ) ] sin[ ( k- ri ) / N ]
(7)
从式( 4) ( 5) ( 6) ( 7) 可以看出: 1) 频谱中只有 N 根谱线, 没有落在这 N 根谱线上的信 号谱线未知, 这就是栅栏现象。 2) 第 i 次谐波谱线位置为 r i, 在接近 ri 附近的某点 k 的频谱幅度由所有以正频率点 r i 为中心的窗谱函数与以负 频率点- ri 为中心的窗谱函数叠加而成, 并不是服从如式 ( 5) 一样的某次谐波的窗谱函数, 这样就带来了谱泄漏。通 常检测信号第 i 次谐波频率、幅度和相位时, 认为在 ri 附近 点频谱幅度服从式( 5) , 因而产生了检测误差, 特别是小幅 度的谐波的谱线, 容易受到附近大幅度谐波的干扰, 甚至被 淹没。
第5期
8 倍) 测量信号频率、幅度和相位, 其结果如表 2 所示。 表 2 测试数据
直接
相位
插值
频谱
FFT 法
差法
法
细化法
A1
0. 2149 - 3. 6461 0. 2306 0. 230186
f 1 121. 0938 122. 9360 121. 2949 121. 3379
1
2. 2323
2. 5949 1. 5858 1. 4494
为了 改 善谱 泄 漏和 栅 栏现 象, 通 常采 用 加窗 函 数 法[1 2] 、插值法[3 5] 、相位差法[ 6 7] 、频谱细化等方法[9 10] 。前 3 种方法对包含单频率成分信号或含有间隔较大的多频率成 分的信号都有较高的谐波检测精度, 但是不能精确分辨出 包含密集频率成分的信号[10] 。
( 2 f in/f s + i )
( 2)
式中: n= 0, 1, 2, , N - 1, N 为数据采集长度, T s 为采样
间隔, 采样频率 f s = 1/ T s 。
令 f s = N f , f i = ri f , 则
p
x (n) = A icos( 2 rin / N + i)
( 3)
理论与 算法
电子 测 量 技 术 ELECT RON IC M EASU REM ENT T ECH NOLOGY
第 33 卷 第 5 期 2010 年 5 月
一种 FFT 谱细化方法*
胡朝炜
( 华侨大学信息学院 泉州 362021)
摘 要: F FT 法是一种目前常用的谐波分析方法, 但由于采样信号的截断 效应, 信号的频谱 存在谱泄漏 和栅栏效 应, 使得频谱谱峰减小, 精度降低。针对这一现象, 提出了一种频谱 细化的方 法, 不增加采 样数据 长度, 在 F FT 谐波 分析 方法的基础上进行简单 调制, 可得到高分辨率的细化频谱; 经过理论阐述, 数据仿真与 处理, 并与 直接 F FT 法、相位差 法及插值法对比, 该方法处理结果明显要比直接 F FT 法和相位差法好, 接近或超过 插值法; 结果证 明了该方法 提高了 频谱分辨率, 减少了谱泄漏影响, 是一种行之有效的方法。 关键词: F FT ; 分辨率; 谱泄漏 中图分类号: T P911. 7 文献标 识码: A
段细化 m 倍的频谱。
另外, 对于实信号, 其幅度谱是偶函数, 有
X (- k) = X ( k)
( 11)
那么对于调制后的频谱, 有
X q(源自文库 k) = X [- (k + q/ m)] = X (k + q/ m)
( 12) 说明 X i(- k) 就是 X ( k) 向左平移 q/ m 频谱。 由于有
i= 1
x (n) 经过离散傅里叶变换( DFT) 变换得到:
X (k) =
N- 1
x
(
n)
e-
j
2 N
k
n
=
n= 0
p i= 1
Ai 2
ej
N- 1
ei - j N
( k-
ri)
sin[ ( k- ri) ] sin[ (k - ri) / N ]
+
p
A2 e e i = 1
N- 1
i -j i -j N (k + ri )
A2
0. 6937
1. 0484 0. 9999 0. 9973
f 2 239. 2578 239. 7267 239. 7012 239. 7461
2
2. 4409
0. 9340 1. 0159 0. 8734
A3
0. 6192
1. 2729 0. 6213 0. 6192
f 3 331. 0547 331. 6536 331. 0108 330. 2002
1. 0
f 2 239. 7
2
1. 02
A3
0. 62
f 3 331. 1
3
0. 68
对上面的数据 以采样频率 f s = 1000 H z, 获取 N = 1 024个采样点, 分别对 信号 用直接 FFT 法、相位差 法、 Blackman 双峰插值法和本文提出的频谱局部细化法( 细化
40
胡朝炜: 一种 FF T 谱细化方法
i 次谐波的频率, i 为 i 次谐波的初相。
* 基金项目: 福建省自然科学基金资助项目( 2009J 01257)
39
第 33 卷
电 子 测 量 技术
对 x( t) 离散化, 采样得到
p
p
x (n) = x^ ( n) = A icos(2 f inT s + i) = A i cos
i= 1
i= 1
X ( k + 0. 5) = X ( k + 1 - 0. 5)
( 13)
即 X (k) 向右平移 0. 5 与 X ( k+ 1) 向左平移 0. 5 相等
的。因此, q= 0, 1, 2, , m/ 2 就可得到 X ( k) 细化 m 倍的
全频段频谱。
由于在估算信号频率、相位和幅度时, 不论插值法和相
频谱细化方法提高频谱分辨率, 能分辨比较密集频率 成分的信号, 目前频谱细化方法有基于复解析带通滤波器 的复调制细化方法[ 11] ( Zoom FFT 或 ZFFT ) , 线性调频 Z 变换方法[12 13] ( Chir p Z 变换或 CZT ) , 和 FFT FT 方法[14] 。 这些方法存在算法复杂、需要数据长, 计算量大的缺点。
本文分析了 FFT 算法存在的谱泄漏现象, 提出了一种 频谱细化的方法。该算法不需要增加采样数据长度, 只需 简单调制就可以得到高分辨率的细化频谱。
1 FFT 频谱及谱泄漏
假设信号为
p
x( t) = A i cos( 2 f it + i )
( 1)
i= 1
式中: p 为信号谐波次数, A i 为 i 次谐波的峰值幅度, f i 为
ri + q/ m) + q/m) /
] N
]
+
m i= 1
Ai 2
e
j
ie-
N- 1 jN
( k+ ri+ q)
sin[ (k + ri + q/ m) ] sin[ ( k + ri + q/ m) / N ]
(9)
从式( 9) 可以看出,
X q (k) = X ( k+ q/ m)
( 10)
说明频谱 | X q( k) | 是频谱 | X (k) | 向右平移 q/ m 的
Improving FFT spectral frequency resolution method
Hu Chao wei ( Coll ege of Inf ormat ion S cien ce and En gineering, Hu aqiao U n iversit y, Q uanzhou 362021)
0引 言
目前, 常用 的谐波检测 分析方法 是快速 傅里叶变 换 ( FFT) 。FFT 算法能够实现整数次谐波信号的精确分析 和检测。由于谐波频率预先不知, 很难实现信号的整数次 谐波采样, 这就不可避免地存在由于时域的截断而产生的 谱泄漏, 而且 FFT 只能对有限长度的采样数据进行处理, 使得频谱存在栅栏现象, 只能观测有限个频率点谱线。谱 泄漏和栅栏现象的存在, 使得频谱谱峰减小、精度降低, 即 离散频谱的幅值、相位和频率都可能产生较大的误差, 不能 够满足检测精度的要求。
位差法, 都只用到了波峰附近的两根谱线, 因此只需细化波
峰附近的频谱, 这就是频谱的局部细化。频谱的局部细化
可以大大简化运算量。
3 仿真与分析
在无噪声的背景下, 本文选取了参照表达式( 1) 的信 号, 参数设置如表 1 所示。
表 1 信号参数设置表
A1
0. 23
f 1 121. 3
1
1. 57
A2
结果。如果 | X (k) | 可获得 0, F, 2F, , (N - 1)F 这N 点的
频 谱, 那 么 | X q(k) 就 可 以获 得 - q/ m, F - q/ m, 2F -
q/ m, , (N - 1)F - q/ m 这 N 点的频谱。当 q = 0, 1, 2, ,
m - 1 时, 将所有 | X q( k) | 组合起来可以获得 | X (k) | 全频