罗尔定理的研究及推广论文

本科毕业论文（设计）题目罗尔定理应用和推广研究

学院数学与统计学院

专业数学与应用数学

年级2009级

学号***************

姓名郑世凤

指导教师杜文久

成绩中

2013年5月12日

目录

1 罗尔定理的基本性质及应用 (2)

1.1 罗尔(Rolle)中值定理 (2)

1.2几何意义 (2)

1.3 罗尔定理证明 (3)

1.4 在简单函数中讨论罗尔定理条件 (4)

1.5 利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理 (6)

1.6 利用罗尔定理解决零点问题 (8)

2 关于罗尔定理的进一步讨论 (11)

2.1 多元函数的的罗尔中值定理 (11)

2.2 任意区间和端点值上的罗尔定理 (13)

2.4 广义罗尔在高中数学中的应用 (16)

结语 (18)

参考文献： (19)

致谢 (19)

I

罗尔定理应用和推广研究

郑世凤

数学与统计学院，重庆 400715

摘要：本论文探讨了罗尔定理的基本性质，并应用罗尔定理解决实际问题。同时近一步讨论罗尔定理，将其推广到更广泛的适用范围，并证明其可行性，最后运用推广的罗尔定理解决问题。

关键词：罗尔定理；性质；应用；广义罗尔定理；

Rolle theorem and its application research

ShifengZheng

School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China

Abstract: This paper discusses the basic properties of Rolle's theorem,then use Rolle's theorem to solve practical problems and applications. Rolle's theorem further discussion at the same time, will it spread to the broader scope of application, and prove its feasibility,finally using the promotion of Rolle's theorem to solve the problem.

Keywords:Rolle's theorem; Properties; Applications; Generalized rolle's theorem;

引言

微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导

数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯

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西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。

尔定理是微分中值定理中的基础定理，以罗尔定理为基础可推导拉格朗日中

值定理及柯西中值定理。罗尔定理本身不仅仅局限于讨论有限区间，在给出其他

更弱条件下，我们将罗尔定理推广到更广泛的适应范围，帮助我们在中学微分学

教学中理解和解决函数与导数的相关问题。

1 罗尔定理的基本性质及应用

1.1 罗尔(Rolle)中值定理

若函数f 满足如下条件:

⑴在闭区间[],a b 上连续;

⑵在开区间(),a b 内可导;

⑶()()f a f b =,则(),a b 内至少存在一点ξ,使得()'ξ0f =.

1.2 几何意义

⑴在[],a b 上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的;

⑵()f x 在开区间(),a b 内可导()f x 表明曲线()y f x =在每一点处有切线存

在;

⑶()()f f a b =表明曲线的割线直线AB 平行于x 轴.

罗尔定理的结论的直观意义是:在(),a b 内至少能找到一点ξ,()'f ξ0=.表明

曲线上至少有一点的切线斜率为0,也就平行于x 轴符合罗尔定理条件的曲线至

少有一条水平切线.

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图1

1.3 罗尔定理证明

方法一:根据f 是闭区间[],a b 上连续函数的性质,由极值定理得在[],a b 上有

最大值M 和最小值m .

⑴如果M m =,此时()f x 在[],a b 上恒为常数,结论显然成立.

⑵如果M m =,由()a (b)f f =条件知,两个数,M m 中至少有一个不等于端点

的函数值()f f ()a b =，

不妨设()()()M f a m f a ≠≠,证法类似,那么必定在开区间(),a b 内有一点ξ

使

()f M ξ=.

因此,[]x ,a b ∀∈有()(ξ)f x f ≤,

由费马引理可知

()'ξ0f =.

方法二:

由于()f x 在ξ处最大,故不论x ∆是正或负,

总有,

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()ξ(ξ)0f x f +∆-≤,

因此，当0x ∆>时,

()()ξξ0F x f x

+∆-⎡⎤⎣⎦≤∆, 故由极限的保号性有

()()()'x 0ξξξ0lim f x f x f -

→+∆-⎡⎤⎣⎦=≤∆， 而当0x ∆<时，

()()ξξ0F x f x

+∆-⎡⎤⎣⎦≥∆. 故

()()()0lim ξξ'ξx f x f x f +

∆→+∆-⎡⎤⎣⎦∆=. 综上所述及'(ξ)f 存在知，必有'(ξ)0f =

证明完毕.

1.4 在简单函数中讨论罗尔定理条件

了解了罗尔中值定理，我们便可以合理利用它的判定条件快速的判别一些中

学遇到的简单函数导数的零点问题。但是要满足罗尔定理，罗尔定理的三个条件

缺一不可。

例1.1 ()010

1x x x x f ⎧=≤<=⎨⎩

解:由题知: ()f x 在[]0,1上不连续;

()f x 在()0,1内可导;

()()01f f =;