中考数学专题二 二次函数综合题PPT含答案

此时y＝－12＋2×1＋3＝4，
∴M(1，4)；
专题二 第24题二次函数综合题
(3)在坐标平面内是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； 【思维教练】平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分．已知A、B、C三 点的坐标，则有以下两种思路：①分别以AB、AC、BC为一边，对应找与其平 行且相等的对边CD、BD、AD；②分别以AB、AC、BC为对角线，对应找与其 互相平分的对角线CD、BD、AD. 解：存在． 如解图①，由于以A、B、C、D为顶点的平行四边形的对角线不固定，连接AC、 BC，分别以AB、AC、BC为对角线进行讨论：
∴抛物线L1的表达式为y＝－(x－1＋ 10 )2＋4或y＝－(x－1－ 10 )2＋4；
专题二 第24题二次函数综合题
(6)将抛物线L平移得到抛物线L′，点A′、C′分别是抛物线L上点A，C的对应点．若 四边形ACC′A′为正方形，求平移后的抛物线L′的表达式．
【思维教练】正方形ACC′A′通过平移AC得到，则AC到A′C′的平移方式，即为L的 平移方式，同样可以看作点A到点A′或点C到点C′的平移方式． 解：如解图②，①当四边形ACC′A′为正方形时，过点A′作A′F⊥x轴，垂足为F， 易得△COA≌△AFA′. ∴AF＝CO＝3，A′F＝AO＝3，∴A′(6，3)， ∴将抛物线y＝－x2＋2x＋3向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后的 抛物线经过正方形ACC′A′的两点C′，A′， ∴所求的抛物线的表达式为y＝－(x－3)2＋2(x－3)＋3＋3＝－x2＋8x－9；
【思维教练】根据函数平移的规律，可知a不变，设出平移后的抛物线表达式，
将点A、O坐标代入表达式即可求解．
解：根据平移的性质可得，抛物线平移后开口方向和大小不变，即 a＝－1，
设平移后的抛物线表达式为 y＝－1x2＋b′x＋c′，
2
2
将点A(4，0)，O(0，0)代入，
得
－8＋4b′＋c′ c′＝0
＝0，解得
专题二 第24题二次函数综合题
典例精析
例2 已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(3，0)、B(－1，0)、C(0，3)三点. (1)求抛物线的表达式；
解：(1)将A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
9a＋3b＋c＝0
a＝－1
得 a－b＋c＝0 ，解得 b＝2 ，
专题二 第24题二次函数综合题
类型一 二次函数与特殊三角形判定
【类型解读】二次函数与三角形判定近10年考查2次，均涉及等腰直角三角形 的判定，均涉及求抛物线表达式，考查形式包含：①已知抛物线表达式中的 常数项和图象上两点坐标求表达式，判定抛物线与x轴的交点个数，求使等腰 直角三角形成立的抛物线平移方式(2016)；②求使等腰直角三角形成立的抛 物线表达式(2012.(2))．
专题二 第24题二次函数综合题
①当AB为对角线时，A、B两点中点的坐标为(1，0)，则当点D1与点C关于点(1， 0)对称时，四边形ACBD1为平行四边形，此时D1(2，－3)； ②当AC为对角线时，A、C两点中点的坐标为 (3，3)，
22 则当点D2与点B关于点 (32，32) 对称时，四边形ABCD2为平行四边形，此时D2(4，3)；
轴平移特点，可得BC＝BM，则线段BM长即为抛物线L沿x轴平移的距离，进而
通过抛物线L的顶点式求解抛物线L1的表达式． 解：∵B(－1，0)，C(0，3)，∴BC＝ 32＋12＝ 10， ∵MN由BC平移得到，∴四边形BCNM为平行四边形．
∵四边形BCNM为菱形，∴BM＝BC＝ 10， ∴抛物线L1可由抛物线L沿x轴向左或向右平移 10 个单位得到的． ∵抛物线L的表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
专题二 第24题二次函数综合题
3－＝3n＝－4＋2m＋n， 解得 mn＝＝3－1，
∴抛物线L′：y＝－x2－x＋3，且其顶点坐标为 (－12，143)．
将抛物线L先向左平移
3个单位，再向下平移3个单位，
2
4
可得到▱ACBE；
专题二 第24题二次函数综合题
(5)将抛物线L沿x轴平移得到抛物线L1，平移后点B、C的对应点分别为M、N， 且四边形BCNM为菱形，求抛物线L1的表达式； 【思维教练】BC平移后得到MN，根据菱形为邻边相等的平行四边形，以及沿x
DN2＝D′N2＝(n－1)2＋(－1n2＋n－1)2，
2
2
专题二 第24题二次函数综合题
DD′2＝(2n－2)2，
∵DD′2＝DN2＋D′N2，即(2n－2)2＝2(n 整理得(n－1)2＝(－1n2＋n－1)2，
－1)2＋2(－1n 2
2＋n－1)2. 2
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2
当 n－1＝－12n2＋n－12，解得n＝1(舍去)或n＝－1.
等腰直角三角形，只要满足DD′＝ 2DN即可．
解：y＝－1x2＋x＋4＝－1(x－1)2＋9， ∴点 D 的坐标为(1，9)．
2
2
2
2
设点 N(n，－12n2＋n＋4)，则点D关于直线x＝n的对称点为 D′(2n－1，92)．
∵点D和点D′关于直线x＝n对称，∴DN＝D′N.
故要使得△DND′为等腰直角三角形，只需 DD′＝ 2DN.
专题二 第24题二次函数综合题
②当四边形ACC″A″为正方形时，同理可得A″(0，－3)，C″( －3，0)， ∴将抛物线y＝－x2＋2x＋3向左平移3个单位长度，再向下平 移3个单位长度后的抛物线经过正方形ACC″A″的两点C″，A″. ∴所求的经过A″、C″的抛物线的表达式为y＝－(x＋3)2＋2(x ＋3)＋3－3＝－x2－4x－3. 综上，符合题意的抛物线的表达式为y＝－x2＋8x－9或y＝－ x2－4x－3.
例2题解图①
专题二 第24题二次函数综合题
③当BC为对角线时，B、C两点中点的坐标为 (－1，3)，
22
则当点D3与点A关于点
(－1，3) 22
对称时，四边形ABD3C为平行四边形，此时D3(－4，3)．
综上，点D的坐标为(2，－3)，(4，3)，(－4，3)；
专题二 第24题二次函数综合题
(4)将抛物线L平移得到抛物线L′.如果抛物线L′经过点C，点E是在抛物线L′上一点 ， 且以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请你写出抛物线L的平移方式； 【思维教练】根据(3)中得出的结论，只需分别求出L′经过①点C、D1；②点C、 D2；③点C、D3三种情况时对应的抛物线表达式，再得出L′是怎样平移得到．提 示：若已知L上一点的坐标和其平移后在L′上的对应点的坐标，也可确定平移方 解式：．结合解图①可得， ⅰ)将抛物线L先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，可得到▱ABEC； ⅱ)将抛物线L先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到▱ABCE； ⅲ)根据题意可知，抛物线L′经过点C1D1，设抛物线L′的表达式为y＝－x2＋mx＋n， 将点C(0，3)，D1(2，－3)代入得，
专题二 第24题二次函数综合题
解得m＝0或m＝4(舍去)，此时点M的坐标为(0，0)． (ii)当点M在y轴上时，设M(0，m)， 则AM2＝m2＋42，CM2＝(4－m)2，AC2＝42＋42＝32. ①当∠CAM＝90°时，CM2＝AM2＋AC2，即(4－m)2＝m2＋42＋32， 解得m＝－4，此时点M的坐标为(0，－4)． ②当∠AMC＝90°，AC2＝CM2＋AM2，即32＝m2＋42＋(4－m)2， 解得m＝0或m＝4(舍去)，此时点M的坐标为(0，0)． 综上，点M的坐标为(－4，0)、(0，0)、(0，－4)；
c＝3
c＝3
∴抛物线L的表达式为y＝－x2＋2x＋3；
专题二 第24题二次函数综合题
(2)求该抛物线顶点M的坐标；
【思维教练】求抛物线顶点坐标有以下3种思路：①一般式化为顶点式；②顶点
坐标为(－ b ，4ac－b2)；③将x＝－ b 代入函数关系式求y.
2a 4a
2a
解：∵x＝－2ba＝－2×（2－1）＝1，
bc′′＝＝02，
则平移后的抛物线表达式为 y＝－1x2＋2x; 2
专题二 第24题二次函数综合题
(3)点P是线段AB上的一点，连接CP，若CP＝BP，求点P的坐标；
【思维教练】设出点P的坐标，然后表示出CP和BP，根据CP＝BP，列方程求 解即可． 解：设P(p，0)，则BP＝2＋p. ∵C(0，4)， ∴CP＝ 42＋p2＝ 16＋p2. ∵CP＝BP，即p2＋16＝(2＋p)2， 解得p＝3， ∴点P的坐标为(3，0)；
专题二 第24题二次函数综合题
典例精析
例1 已知，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，
与y轴交于点C(0，4).
(1)求该抛物线的表达式和对称轴；
解：(1)∵抛物线经过点A、B、C.把点A(4，0)，B(－2，0)，C(0，4)代入y＝ax2
＋bx＋c中，
16a＋4b＋c＝0
a＝－1 2
得 4a－2b＋c＝0 ， 解得 b＝1 .
c＝4
c＝4
∴该抛物线的表达式为 y＝－1x2＋x＋4. 2
由抛物线与x轴交于点A(4，0)，B(－2，0)，可得对称轴为直线 x＝4－2＝1； 2
专题二 第24题二次函数综合题
(2)将该抛物线平移后得到新的抛物线L1，且其正好经过A、O两点，求出平移后 的抛物线的表达式；
专题二 第24题二次函数综合题
(4)在抛物线L的对称轴上，是否存在一点Q，使得△QBC为等腰三角形？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 【思维教练】要使得△QBC为等腰三角形，则只需满足三边中有任意两边相等 即可．分BQ＝CQ、BC＝BQ和BC＝CQ三种情况进行讨论． 解：存在Q点，使△QBC为等腰三角形．设Q(1，n)， BC2＝OB2＋OC2＝22＋42＝20，BQ2＝32＋n2，CQ2＝12＋(n－4)2，当BQ＝CQ时， 32＋n2＝12＋(n－4)2，解得n＝1，即Q1(1，1)； 当BQ＝BC时，32＋n2＝20，解得 n＝± 11，∴Q2(1， 11)，Q3(1，－ 11)； 当CQ＝BC时，12＋(n－4)2＝20，解得 n＝4± 19， ∴Q4(1，4＋ 19)，Q5(1，4－ 19)．综上可得，点Q的坐标为Q1(1，1)， Q2(1， 11)，Q3(1，－ 11)，Q4(1，4＋ 19)，Q5(1，4－ 19)；
专题二 第24题二次函数综合题
(5)在坐标轴上是否存在一点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的 坐标；若不存在，请说明理由； 【思维教练】要使△ACM为直角三角形，分点M在x轴和y轴上，设出点M的坐标 表示出AM、CM、AC，再结合直角三角形勾股定理分情况列方程求解即可． 解：存在M点，使得△ACM为直角三角形． (i)当点M在x轴上时，设M(m，0)， 则AM2＝(4－m)2，CM2＝m2＋42，AC2＝42＋42＝32. ①当∠ACM＝90°时，AM2＝CM2＋AC2，即(4－m)2＝m2＋42＋32， 解得m＝－4，此时点M的坐标为(－4，0)． ②当∠AMC＝90°时，AC2＝CM2＋AM2，即32＝m2＋42＋(4－m)2，
当 n－1＝－(－1n2＋n－1)，解得n＝1(舍去)或n＝3.
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综上，点 N 的坐标为(－1，5)或(3，5)．
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专题二 第24题二次函数综合题
类型二 二次函数与特殊四边形判定
（2017、2015、2014、2010～2012.24）
【类型解读】二次函数与特殊四边形判定近10年考查6次，涉及平行四边形(4 次)、矩形(1次)、菱形(1次)的判定，考查形式包含：①已知两点和关于y轴对称 的两条抛物线上各一点，且以这四点为顶点构成平行四边形，求两点坐标 (2017)；②求满足过原点和以原点为对称中心的矩形上两个顶点的抛物线的表 达式(2012)；③已知其中三个顶点坐标，求使平行四边形成立的点坐标(2011)； ④已知其中两个顶点坐标，求使平行四边形成立的点(2010)．其中2015年和 2014年涉及图形面积．
专题二 第24题二次函数综合题
(6)抛物线L的顶点为D，点N是抛物线上L上一点，抛物线L关于点N所在直线x＝n
对称的抛物线为L′，点D的对应点为D′，在抛物线L上是否存在一点N，使得
△DND′为等腰直角三角形？若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】已知点D和点D′关于直线x＝n对称，故DN＝D′N，要使得△DND′为