基于多目标优化的打孔机生产效能模型李坤

Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．１２
Ｄｅｃ２０１２
赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第２８卷第１２期（下）
２０１２年１２月过孔是印刷线路板（也称为印刷电路板）的重要组成部分，过孔的加工费用通常占制板费用的３０％和４０％，而在制造印刷线路板的流程中，由打孔机进行打孔作业，因此，提高打孔机的生产效能是降低印刷线路板成本的主要途径之一，所以研究打孔机路径优化问题就显得尤为重要．
本文首次采用不等式的方法［１－３］解决打孔机优先级问题和采用剥离和虚设过孔的思想解决一个过孔多次被钻的问题，并设计嵌入优先级的蚁群算法［４－５］和改进的２－ｏｐｔ算法来解决多目标的０－１规划模型．最后借用２０１２年
“深圳杯”数学建模夏令营竞赛Ｄ题中的数据［６］进行实验，并对实验结果进行分析．1
问题描述与分析
本文以２０１２年“深圳杯”数学建模夏令营竞赛Ｄ题为背景，深入研究了单钻头打孔机生产效能优化问题．
考虑到打孔机打孔存在打孔先后顺序以及打孔优先级等复杂问题，所以本文主要从以下５步对打孔机生产效能进行优化研究：第一步，数据预处理，采用剥离过孔的思想，得到打孔机打孔时间矩阵和打孔成本矩阵；第二步，建立以打孔机工作时间尽量少和打孔成本尽量少的多目标０－１规划模型；第三步，利用功效系数法，将多目标０－１规划模型转化成单目标的０－１规划模型；第四步，利用改进的蚁群算法得到优化结果；第五步，在由蚁群算法得到优化结果的基础上，运用２－ｏｐｔ算法进行破圈，得到打孔机行进路线的相对最优解．2
建模准备
２．１虚设过孔
由于同一线路板上的过孔不要求加工完毕后，再加工下一个过孔，故，钻头每次钻孔是独立的．基于此，可将需多个刀片加工的过孔剥离．若某过孔需要ｎ种刀片加工，那么对于该过孔，再虚设ｎ－１倍过孔．由题目的表一［６］可知，Ｃ、Ｄ、
Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｉ、Ｊ都需要多种刀片加工，分别对其虚设过孔；那么１０种过孔表示为：Ａａ、Ｂｂ、Ｃａ、Ｃｃ、Ｄｄ、Ｄｅ、Ｅｃ、Ｅｆ、Ｆｇ、Ｆｈ、Ｇｄ、Ｇｇ、Ｇｆ、Ｈｈ、Ｉｅ、Ｉｃ、Ｊｆ、Ｊｃ（Ａａ表示用ａ刀片加工的Ａ种过孔）．２．２
构造时间矩阵
由距离公式求得任意两过孔间的距离ｄｉｊ，然后由距离与时间的关系可得钻头行进时间ｔｉｊ，即：
ｔｉｊ＝（ｘｉ－ｘｊ）２＋（ｙｉ－ｙｊ）
２
姨ｖ
ｉ，ｊ∈｛１，２，…，ｍ｝（１）
连续刀片间的转换时间为１８ｓ，记转换时间为ｔ＇ｉｊ，不连续刀片的转化时间为所有相邻刀片转换时间的累加；钻头在各个点间行进中过程中，可以同时进行转换，故，取两者时间最大值作为钻头的时间，即：
Ｔｉｊ＝ｍａｘ｛ｔｉｊ，ｔ＇ｉｊ｝
（２）
其中，当ｉ＝ｊ时，只有转换时间ｔ＇ｉｊ，行进时间ｔｉｊ为０，即此
时的钻头时间就为ｔ＇ｉｊ．Ｔｉｊ即为两孔之间的时间矩阵．２．３
构造打孔成本矩阵任意两过孔间的成本公式
Ｑｉｊ＝Ｃ１ｄｉｊ＋Ｃ２ｔ＇ｉｊｉ，ｊ∈｛１，２，…，ｍ｝
（３）
其中，Ｃ１为钻头行进成本，Ｃ２为钻头转换成本，ｔ＇ｉｊ为转
头从ｉ孔到ｊ孔间的转换时间，
ｄｉｊ为ｉ孔与ｊ孔间的距离．当ｉ＝ｊ时，钻头无需行进，即，ｄｉｊ＝０时，成本为：Ｑｉｊ＝Ｃ２ｔ＇ｉｊ．Ｑｉｊ
即为两孔之间的成本矩阵．3单钻头最佳作业线路的TSP 模型
３．１
基于多目标优化的单钻头最佳作业线路模型决策变量：以第ｉ孔是否分钻向第ｊ孔为决策变量，即：ｘｉｊ＝
１钻头从ｉ孔钻向ｊ孔
０钻头不从ｉ孔钻向ｊ姨孔
ｉ，ｊ＝１，２，…，ｍｉ≠ｊ
目标函数：要得到打孔机的最优作业线路，主要优化以下两个方面：
目标一：线路板打孔需要一定时间，而对于单线路板，
基于多目标优化的打孔机生产效能模型
李
坤，贺灵悦，陈雨，牟廉明
（内江师范学院
数学与信息科学学院，内江
６４１１００）
摘要：在线路板加工中，过孔加工费占的比重较大，因此，研究打孔机生产效能对减少生产成本，提高收益有重要的作用．首先，进行数据预处理，采用剥离过孔的思想，得到钻头工作时间矩阵及成本矩阵；其次，建立了以打孔机打孔总时间尽量小和打孔总成本尽量小的多目标０－１规划模型；
然后，利用功效系数法，将多目标０－１规划模型转化成单目标０－１规划模型；最后，运用加入优先级的改进蚁群算法和２－ｏｐｔ算法计算出打孔机最短行进时间和最少成本以及打孔机的最优作业线路．
关键词：０－１规划；生产效能优化；多目标优化；旅行商问题中图分类号：ＴＰ２９
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１２）１２－００３３－０３
基金项目：内江师范学院自然科学重点项目基金（12NJZ03）
３３－－
总打孔时间越短越优化，即追求最求工作时间最钻：
ｍｉｎｊ
Σｉ
ΣＴｉｊｘｉｊ
（４）
其中，Ｔｉｊ为任意两过孔间钻头的时间；
目标二：打孔机每打一个孔，都有一个花费，为此追求打完一块线路板的总成本最少：
ｍｉｎｊ
Σｉ
ΣＣｉｊｘｉｊ
（５）
其中，Ｃｉｊ为任意两过孔间钻头的成本．约束条件：
（１）钻孔唯一性约束：每个过孔只被一个钻头打孔，则每个过孔点只有一条边进入，即：
ｍ
ｊ
Σｘｉｊ＝１
ｉ＝１，２，…，ｍ（６）（２）每个过孔只被一个钻头打孔，每个过孔点只有一条边出去，即：
ｍ
ｉ
Σｘｉｊ＝１
ｊ＝１，２，…，ｍ（７）
（３）钻头的行进路线中，
不会重复经过某过孔，但最后打完所有过孔时，需回到起始点除起点与终点外，各边不构成圈，即：
ｉ，ｊ∈Ｓ
Σｘｉｊ
≤｜Ｓ｜－１，２≤｜Ｓ｜≤ｎ－２，Ｓ奂｛１，２，…，ｍ｝
（８）
其中，Ｓ为过孔点编号集合；（４）优先级约束：
Ｃ种孔型用ｃ刀片加工前，必须经过ａ刀片加工；经过ａ刀片加工前，不一定被ｃ刀片加工，即：
ｘｉｊ≥ｘｋ，（ｊ＋ｎ１
）
（９）
其中，ｊ为Ｃ种孔型的编号，ｎ１为Ｃ种孔型的个数；Ｅ种孔型用ｆ刀片加工前，必须经过ｃ刀片加工；经过ｃ刀片加工前，不一定被ｆ刀片加工，即：
ｘｉｊ≥ｘｋ，（ｊ＋ｎ２
）
（１０）
其中，ｊ为Ｅ种孔型的编号，ｎ２为Ｅ种孔型的个数；Ｇ种孔型用ｆ刀片加工前，必须经过ｄ、ｇ刀片加工；而用ｇ刀片加工前，一定经过ｄ刀片加工过；经过ｄ刀片加工前，不一定被ｇ、ｆ刀片加工；经过ｇ刀片加工前，不一定被ｆ刀片加工，即：
ｘｉｊ≥ｘｋ，（ｊ＋ｎ３
）
（１１）
其中，ｊ为Ｇ种孔型的编号，ｎ３为Ｇ种孔型的个数；Ｉ种孔型用ｃ刀片加工前，必须经过ｅ刀片加工；经过ｅ刀片加工前，不一定被ｃ刀片加工，
即：ｘｉｊ≥ｘｋ，（ｊ＋ｎ４
）
（１２）
其中，ｊ为Ｉ种孔型的编号，ｎ４为Ｉ种孔型的个数；Ｊ种孔型用ｃ刀片加工前，必须经过ｆ刀片加工；经过ｆ刀片加工前，不一定被ｃ刀片加工，即：
ｘｉｊ≥ｘｋ，（ｊ＋ｎ５
）
（１３）
其中，ｊ为Ｅ种孔型的编号，ｎ５为Ｊ种孔型的个数；综上所述，单钻头最佳作业线路ＴＳＰ模型为：
ｍｉｎ∑ｊ∑ｉＴｉｊｘｉｊｍｉｎ∑ｊ∑ｉＣｉｊｘｉｊ
（１４）
ｓ．ｔ＝
∑ｍ
ｊｘｉｊ＝１ｉ＝１，２，…，ｍ∑ｍ
ｉｘｉｊ＝１ｊ＝１，２，…，ｍ
∑ｉ，ｊ∈Ｓｘｉｊ≤｜Ｓ｜－１，２≤｜ｓ｜≤ｎ－２，Ｓ奂｛１，２，…，ｍ｝ｘｉｊ≥ｘｋ，（ｊ＋ｎ１
）
ｘｉｊ≥ｘｋ，（ｊ＋ｎ２
）
ｘｉｊ≥ｘｋ，（ｊ＋ｎ３
）
ｘｉｊ≥ｘｋ，（ｊ＋ｎ４
）
ｘｉｊ≥ｘｋ，（ｊ＋ｎ５
）
≥
≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥
其中，Ｔｉｊ为任意两过孔间钻头时间，Ｃｉｊ为任意两过孔间钻头成本，ｘｉｊ为钻头的打孔状态量；３．２
目标函数线性加权
将两个目标归一化之后，进行线性加权，其中．加权之
后的目标函数为：
ｍｉｎｚ＝∑ｍｊ∑ｍ
ｉｘｉｊ（λ１ｆｉｊ（Ｔ）ｆｉｊｍａｘ（Ｔ）＋λ２ｆｉｊ（Ｃ）
ｆｉｊｍａｘ（Ｃ）
（１５）λ１＋λ２＝１
（１６）
其中，ｆｉｊｍａｘ＝ｍａｘｘ∈Ｓ
ｆ（Ｔ）为时间矩阵每行的最大值，ｆｉｊ（Ｔ）时间矩阵的实际值；其中，ｆｉｊｍａｘ＝ｍａｘｘ∈Ｓ
ｆ（Ｃ）为成本矩阵每行的最大
值，ｆｉｊ（Ｃ）时成本矩阵的实际值．4
实验结果及分析
４．１
基于改进的蚁群算法实验结果
根据公式（１４）和（１５）的打孔机打孔路径优化模型，借用
２０１２年“深圳杯”数学建模夏令营竞赛Ｄ题附件中的数据，研究打孔机打孔优化线路的问题．可知ｍ＝２８１４、ｎ１＝２７０、ｎ２＝９３、ｎ３＝２０、ｎ４＝１０、ｎ５＝２９，为找到打孔机最优线路，本文主
要采用嵌入优先级的蚁群算法．由于算法的时间复杂度高，首先假定迭代次数定为１００次，运用Ｍａｔｌａｂ．１０编程，求出最佳工作路线即迭代次数对结论的影响趋势，见图１：
结论分析：Ｉ作业线路分析：图２中存在很多交叉线路，解可能并不是最优解，为求得最优解，采用２－ｏｐｔ法破圈，对结论进行优化；
ＩＩ
迭代１００次较好原因分析：由图２可知，迭代次数
越大，求得的距离越短；理论上为提高结论的精确值，迭代
次数越高越好，但是迭代次数变高，
算法的时间复杂度会增
图１单钻头的最优工作路线及迭代次数与距离关系图
３４－－
高，而当迭代次数迭代次数趋于１００时，结论的变化率变小，可以认为，此处迭代１００次，
得到的结果已相对精确．ＩＩＩ
图１给出了最优作业线路，根据题目所给的刀具
加工顺序原则，可以确定这２８１４个点的刀具钻换方案，由于点数太大，在此只给出路线前２０个点作说明，
见表１，即：分析：根据表１，可以直观的看出各个过孔间刀片的转
过孔编号107510551054102110291023
17552105914963
刀具转换b →
b →
b →
b →
b →
b →d 、e →f 、
c →
b →
b
过孔编号972978984403340334974967973968…刀具转换
b
→b
→b
→a
→a
→a
→
b
→
b →
b →b
表１前２０个过孔的刀具转换方案
换方案，以此可以给出所有过点的刀片转换方案，并得到总行进时间４２９．７６秒、总作业成本７４２．８元．４．２
基于２－ｏｐｔ算法的实验结果
首先，以一组初始值开始计算，算法结束得到一组解，又将此组解作为初始值，继续计算，以此类推，直达线路交叉项足够少．见图２：
分析图４，线路的交叉现象明显降低，而图中交叉线路的出现可能因为破圈后，外部连线时形成的．优化结论的分析见表２：
分析：由表２可以看出，优化后，总时间虽然增加，但是总成本降低将近７６元，与增加７秒多的行进时间相比，成本降低的更多，结论被优化．
5
结束语
本文将图论中的旅行商问题的数学模型成功地应用于打孔机打孔中，优化了打孔机运动的距离，减少了加工时间和打孔机总的成本．经过实际应用表明，该模型满足实际要求，提高了打孔机的工作效能．——————————————————
—参考文献：
〔1〕姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003．〔2〕《运筹学》教材编写组.运筹学[M].北京：清华大学出版
社，2003．
〔3〕钱颂迪.运筹学[M].北京：清华大学出版社，2003．〔4〕王海龙，等.基于遗传算法的多旅行商问题研究[J].计算
机应用研究，2009，26（5）．
〔5〕周辉仁，等.基于递阶遗传算法的多旅行商问题优化[J].
计算机应用研究，2009，26（10）．
〔6〕2012年深圳杯数学建模夏令营竞赛赛题，http://www.
/zhuanti/node_112146.htm ，2012．10．27．
〔7〕梁吉元，郁鼎文，张玉峰，等.CAM 系统中孔加工路径的
优化处理[J].计算机集成制造系统,2000，6(1)：
74-76.
图２单钻头的最优作业线路的优化图
总行进时间（s ）
总成本（元）
优化前429.76742.80优化后436.77
666.86
表２采用２－ｏｐｔ法优化前后时间与成本对比
３５－－。