中值定理

f ( ) f (b) f (a)
ba
几何意义
• 在曲线弧AB上至少存在一点C, 在该点处 的切线平行于弦AB.
y
C1
y=f (x) B
C2 A
O a
h bx
证明 作辅助函数
F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
容易验证, F( x) 满足罗尔定理的条件,
第四章 中值定理与导数的应用
1. 中值定理 2. 洛必达法则 3. 函数的单调性与极值 4. 函数的最值及应用 5. 函数曲线的凹凸性及Ferma)引理 一．罗尔(Rolle)定理 二．拉格朗日(Lagrange)中值定理 三．柯西(Cauchy)中值定理
说明：如果取g(x)x，就变成了拉格朗日中值定理.
证明思路: 辅助函数为
F ( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [g( x) g(a)] g(b) g(a)
作业：习题四(A)P137~138
1. (1), (2) 2. 3. 4. (2) 5. (2) 6. 7.
推论2 如 果 f ( x) 和 g( x) 在 (a, b) 内 可导 ,且在 (a, b) 内 恒 有 f ( x) g( x) , 则 在 (a, b) 内 f ( x) 和 g(x) 最多相差一个常数.
证明 作辅助函数 (x) f (x) g(x) ,
则 (x) f (x) g(x) 0 , 由推论 1 知 ( x) f ( x) g( x) C ，
三. 柯西(Cauchy)中值定理
设函数f (x)及g (x)满足条件： (1)在闭区间[a, b]上连续， (2)在开区间(a, b)内可导， (3)在(a, b)内任何一点处g(x)均不为零，
则至少存在一点(a，b)内，使得 f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
验证
f
(
x)

cos
x
，f



2


0
，
2

(0,

)
.
例2 设 f ( x)在[0, 1]上连续,在(0, 1)内可导,且 f (1) 0，
证明：存在 (0, 1) ,使得f ( ) 1 f ( ) 0.
分析： 先将结论变形为：
f ( ) f ( ) 0
2 证 设 f ( x) arcsinx arccos x ,x [1,1]
f ( x) 1 1 0 ,x (1, 1) 1 x2 1 x2
由推论1知, f ( x) C , x (1, 1)
而 f (0) , 且 f (1) f (1) ,
即得结论。
例3 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
f ( x) 1 ， x
f (e) f (1) 1 ，
e1
e1
e 1 (1,e)，
使 f ( ) f (e) f (1) .
e1
例4 证明恒等式 arcsinx arccos x , x [1, 1]
证明： 构造辅助函数 F( x) xf ( x)
则 F( x) xf ( x) f ( x)
而：F(0) 0，F(1) f (1) 0
所以 F ( x) 在[0, 1] 上满足罗尔定理的条件,
故存在 (0, 1) , 使得
F( ) f ( ) f ( ) 0 .
则至少存在一点 (a, b),使得
f ( ) 0
几何解释
• 如果连续光滑的曲线 y =f (x) 在端点 A,B 处 的纵坐标相等.那么,在曲线弧上至少有一点 C(x , f(x))，曲线在 C点的切线是水平的。
y
C
yf (x)
A
B
Oa
bx
证明：由最值定理知，f ( x)在[a, b]上必有最大值M和 最小值m. 现在，就对此进行讨论：
于是 (a,b) ,使 F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
推论1 如果在 (a, b) 内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x) 在 (a,b) 内为一常数.
证明 在(a, b)内任取两点 x1, x2 ( x1 x2 ), 在 [ x1, x2 ] 上对 f ( x ) 使用拉格朗日定理,

0
而f ( x)在点x0可导， 所以 f ( x0 ) 0 .
4
一. 罗尔(Rolle)定理
罗尔定理 几何解释 定理的证明 注意事项 例题
罗尔定理
• 若y f (x)满足条件 :
(1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) f (a) f (b).
则 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 ) f ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ) 0，
即 f ( x2 ) f ( x1 ) .
由 x1, x2 的任意性可知, f ( x) 常数, x (a, b) .
2
2
故 f ( x) , x [1, 1] .
2
类似可得： arctan x arccot x ,x R .
2
利用拉格朗日定理证明不等式
例5 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件,所以
f ( x) f (0) f ( ), (0 x) 即 ln(1 x) 1 , (0 x)
x0
x
1
而 1 1 1, (0 x) 1 x 1
从而 1 ln(1 x) 1, ( x 0)
1 x
x
即得 x ln(1 x) x. 1 x
其次，观察函数 xf ( x) f ( x)
看此函数为哪个函数的导数？？ 看出来了没有？！ 看出来了！！
F( x) xf ( x)
11
例2 设 f ( x)在[0, 1]上连续,在(0, 1)内可导,且 f (1) 0，
证明：存在 (0, 1) ,使得f ( ) 1 f ( ) 0.
费马引理
设函数f ( x)在点x0的一个邻域U ( x0 )内有定义,并在 点x0处可导,如果
f ( x) f ( x0 ) (或f ( x) f ( x0 )), x U( x0 ) 则 f ( x0 ) 0
y f (1 ) 0
y f (x)
f (2 ) 0
如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就 可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
aO
bx a O c
bx a O
bx
f(x)不满足条件(1) f(x)不满足条件(2) f(x)不满足条件(3)
例1 f ( x) sin x ，
在[0, ] 上连续,(0, ) 内可导,
且 f (0) f ( ) 0 ,
(1) 若M m, 则 f ( x) m 由此得 f ( x) 0，x (a, b). 所以
(a, b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m. 此时,存在 (a, b), 使 f ( ) m. 由费马引理, f ( ) 0 .
注意：
o
1
2
x
证明：只就 f ( x) f ( x0 ),x U( x0 ) 加以证明 当x0 x U ( x0 )时, 就有f ( x0 x) f ( x0 )，从而
f ( x0 x) f ( x0 ) 0, x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) 0, x 0 x
故 f ( ) 1 f ( ) 0.
12
二.拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 几何解释 定理的证明 推论 例题
拉格朗日中值定理 • 若y f (x)满足条件 : (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导;
则至少存在一点 (a, b),使得
由极限的保号性，有
性质2.7
f
若( xxl0i)mx0
lfim( x
x0
)f(
xA0 ,且在x) x0的f ( x某0 )空 心0 领域内,
x
恒有
f则 ( xA0 )


0flxi(m(x或 0) fA(0x0(0或)xfx)(x)f
( x00 ))