函数的零点
函数零点的概念
函数零点的概念
函数零点是一种非常重要的概念，用于解释复杂的数学函数。
它是一种特殊的解，它可以帮助我们理解函数的特性，并预测函数可能出现的曲线。
函数零点可以被函数本身、函数零点所在的性质以及函数对应的几何意义来解释。
一般来说，函数零点是函数的一个特殊点。
它是一个函数的特殊点，这个特殊点的函数值为0.0，我们把这个特殊点叫做函数零点。
通常当函数满足一些特定的几何性质时，函数零点就会出现。
函数零点有很多种，其中最常用的是定义在实数域上的函数零点。
实数域上的函数零点可以用数学方法求解，也可以用解析函数解析求得。
实数域上的函数零点也可以用图像法求得，但是这种方案只能用来探索函数零点的性质，不能求得函数零点的精确值。
此外，实数域上的函数零点还可以通过求导和极值的方法求得，求导可以得到函数的斜率，从而可以确定函数的零点；而极值可以求得函数的极大值和极小值，由于函数的值在极值的点的左右附近都在变动，因此也可以用来推测函数零点的位置。
而除了实数域上的函数零点，还有复数域上的函数零点等一些特殊的函数零点。
函数零点对于函数的研究和分析有着重要的意义，它可以让我们更好地分析函数，并预测函数可能出现的曲线。
函数零点也是很多科学研究中用到的重要概念，因此，了解函数零点的概念十分有必要。
总的来说，函数零点是一种非常重要的概念，可以帮助我们理解函数的性质，并预测函数可能出现的曲线。
它可以帮助我们更好地分
析函数，并且在科学研究中也非常有用，因此，了解函数零点的概念十分重要。
求函数零点的方法
函数零点的求法：确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；（2）求区间（a，b）的中点x1；（3）计算f（x1），若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点。
对于在区间[a，b]上连续不断、且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值。
步骤
（1）确定区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0，给定精确度ε；
（2）求区间（a，b）的中点x1；
（3）计算f（x1）；
1）若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；
2）若f（a）·f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0
∈（a，x1））；
3）若f（b）·f（x1）＜0，则令a＝x1（此时零点x0∈（x1，b））。
（4）判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复2～4。
函数零点
一般地，对于函数y=f(x)（x∈R），我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈R)的零点。
即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值。
函数的零点不是一个点，而是一个实数。
函数的零点复习
知识点二、二分法求方程的近似解
1、二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)· f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通过 不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法． 2、给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证 f(a)· f(b)＜0，给定精确度 ε； ②求区间(a，b)的中点 c； ③计算 f(c)； (ⅰ)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； (ⅱ)若 f(a)· f(c)＜0，则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))； (ⅲ)若 f(c)· f(b)＜0，则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度 ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤 ②③④.
9．某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜ 240，x∈N*)，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成 本)的最低产量是 A．100 台 B．120 台 C．150 台 D．180 台 ( )
10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10
)
7．若方程 a x x a 0 有两个解，则实数 a 的取值范围是 A． (1, ) B． (0,1) C． (0, )
8．如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线 l 与 AB 相交且 l⊥AB，直线 l 截这个三角形所 得的位于直线右方的图形面积为 y，点 A 到直线 l 的距离为 x，则 y=f（x）的图象大致 为 ( )
D．(3,4)
有关二次函数的零点问题
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
函数零点的概念
函数零点的概念
函数零点是指在函数图像上的一个点，虽然它看起来很小，但它
却具有重要的数学意义。
它的特殊性在于，它代表了一个位置，在这
个位置上，函数的值为零，这意味着函数在零点处的曲线图是水平的
而不是斜的。
当我们考虑一个函数时，试图理解函数零点是非常重要的，因为
它可以为我们提供有关函数的额外信息，以此来确定函数的行为特征。
特别是，我们可以利用函数零点来确定函数的奇偶性，即零点可以帮
助我们确定函数是否对称。
对称函数是具有对称性的函数，它具有相
同的形式，无论在任一方向上做出的变化（例如，左或右移动）都是
不变的。
函数零点的另一重要特征是，它可以帮助我们了解函数的单调性。
显然，除了零点之外，函数的曲线是单调的，即曲线在该点的一侧始
终是上升的，而在另一侧始终下降。
总之，函数零点是一个非常重要的概念，它允许我们在数学上测
量函数的行为，以确定它的特征和性质。
函数零点可以为我们提供宝
贵的信息，允许我们确定函数的奇偶性和单调性，从而使我们能够更
好地理解和解释函数的行为。
22.函数的零点
其中 ( z ) 在点z0解析, 且 ( z0 ) 0.
定理1 不恒为零的解析函数的零点必是 孤立零点. 这是解析函数又一个 解析函数的特性. 对于实可微函数, 其
定理 设函数f (z)在单连通区域 D上的解 零点不一定是孤立的，例如函数 1 C是 D内分段光滑 (或可求长)的Jordan曲线, z 2 x sin , x 0 f ( x) x C的内部区域 , 则f (z)在z0处存在各阶导数, 并 x0 0, 1z ) n! x f ( (n) n 1, 2, 在零点x=0处可微，但是 f ( z0 ) d z n n 1 2πi C ( z n z z 0) C lim xn 0. 也是f (z)的零点，且 ( n 1,2,3, ), n
该邻域内可展开成 Taylor 方法奠定了基础 . 级数. 由已知条件知, 该
可展开为幂级数
注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接
f ( z ) cn ( z z0 ) n ,
cn
0
内解析 , z0 为D内的一点, R为 z0 到 n! (D是全平面时, R=+), 则 f ( z ) 在
3
2 f (1) 3 z 3 0, 所以可见 解 (1) 由于 z 1
z 1 是 f ( z ) 的1级零点 . 只有一个零点?
(2) 显然，zk 2k ( k 0, 1, 2, ) 是 f (z) 的零点. 由于
f (2k ) 0,
f (2k ) sin z
D内的点，且在 z z0 R 内可展成幂级数
( z z0 ) n , f ( z ) cn
第15节 函数的零点
典例分析：
例 4：已知函数 f（x）的图象是连续不断的，有如下的 x，f（x）的对应表：
则函数 f（x）存在零点的区间有（ ）
A．区间[2，3]和[3，4]
B．区间[3，4]、[4，5]和[5，6]
C．区间[2，3]、[3，4]和[4，5] D．区间[1，2]、[2，3]和[3，4]
解：由已知条件可得：f（1）=﹣8＜0，f（2）=2＞0，f（3）=﹣3＜0，f（4）=5
高中数学 必修一
第二章 函数 第15节 函数的零点
第二章 函数
第十五节 函数的零点
必备新知
1．函数的零点
如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值等于零，即 f(α)＝0，则 α 叫做这个函数的零点．在坐标系
中表示图象与 x 轴的公共点是(α，0)．
典例分析：
例 1：求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1.
3.已知函数
则方程 f（x）+1=0 的实根个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：画出函数
和 y=﹣1 的图象，
方程 f（x）+1=0 即 f（x）=﹣1， 结合图象易知这两个函数的图象有 2 交点， 则方程 f（x）+1=0 的实根个数为 2． 故选 C．
4.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调，f（2） ＞0＞f（1），则函数 f（x）的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
典例分析：
例 6：（1）函数 f（x）=x2﹣2x+a 在区间（1，3）内有一个零点，则实数 a 的取值
范围是（ ）
A．（﹣3，0）
B．（解：﹣∵3令，f1（）x）=Cx2．﹣（2x﹣+a1，，它3的）对称D轴．为（x﹣=1，1，1）
函数的零点
函数的零点零点这一块内容知识点比较少，但我相信本文引用的例题对于高一新生来说有较大的参考价值。
【零点】设有一函数f(x)，我们把能够使f(x)=0的实数x_0称为函数f(x)的一个“零点”。
显然，函数的零点和它的图像与x轴交点横坐标对应（零点并非几何意义上的点，而是数字，但在不关心数值，只关心零点个数的时候，我们不必强调“横坐标”这件事，因为这并不影响“对应”一词的正确性）。
零点可以通过解方程f(x)=0得到，但零点个数不一定与对应方程的实根个数相同。
例如f(x)=(x-1)^2(x-2)(x^2+1)，我们说对应方程有三个实根：x_1=x_2=1，x_3=2，但说函数的零点只有1，2两个。
不难理解，对于函数F(x)=f(x)-g(x)，它的零点对应函数f(x)与g(x)图像的交点。
特别地，如果g(x)=c，从而是一个常数函数，那么F(x)的零点就对应函数f(x)的图像与直线y=c的交点。
【例】【2020-2021学年嘉兴市高一上期末统考】（多选）若定义在\bold{R} 上的函数 f(x) 满足 f(-x)+f(x)=0 ，当 x<0 时，f(x)=x^2+2ax+\dfrac 32a （ a \in \bold{R} ），则下列说法正确的是：A. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有两个不同的实数根，则 a<0 或4<a<8 ；B. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有两个不同的实数根，则 4<a<8 ；C. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有4个不同的实数根，则 a>8 ；D. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有4个不同的实数根，则 a>4 。
解：首先，由题意， f(x) 是奇函数，这样就可以根据已知的 x<0时的解析式写出函数在 \bold{R} 上的解析式：f(x)=\begin{cases} -x^2+2ax-\dfrac 32a& (x>0)\\ 0& (x=0)\\x^2+2ax+\dfrac 32a& (x<0) \end{cases}根据选项，设 g(x)=ax+\dfrac a2 。
函数零点问题
知识重温
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使方程__f(x)＝0__成立 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：1.函数的零点不是点，是函数 f(x)与 x 轴交点的横坐标； 2．并不是所有的函数都有零点； 3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
________．
解析:由题意函数 y f x g x 2[ f x 1] 恰有 4 个零点，则
方程 f x 1有 4 个解．
作出函数
f
x
a x 1 , x 1
x
当 x 1时，函数 f (x) 的最大值为 a ；
在[1,1]上， f (x) a x 1 的最小值为 f (1) a 2 ；
(2)方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点 ⇔函数 y＝f(x)有零点. 即方程 f(x)＝0 的实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横
坐标⇔函数 y＝f(x)的零点.
重要的转化关系
(3)零点的存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
若 a＝0，则 f(x)＝x2－3，f(x)有两个零点，不符合题意；
若 a>0，则 f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增．因为
f(x)有且只有一个零点，所以 4a2－3＝0，解得 a＝ 3(负值舍去)； 2
若 a<0，则 f(x)在区间(－∞，a)上单调递减，在区间(a，0)上单调递增，在区间(0， －a)上单调递减，在区间(－a，＋∞)上单调递增． 易知 f(x)为偶函数，所以 f(x)的最小值为 f(a)或 f(－a)，所以 f(x)不可能只有一个 零点，不符合题意．
函数的零点
1 3 f(x)＝ex－1 的零点为 x＝0，f(x)＝ln(x－2)的零点为 x＝2，现在我们来估 1 算 g(x)＝4x＋2x－2 的零点，因为 g(0)＝－1，g(2)＝1，所以 g(x)的零点 1 x∈(0，2)，又函数 f(x)的零点与 g(x)＝4x＋2x－2 的零点之差的绝对值不 超过 0.25，只有 f(x)＝4x－1 的零点适合，故选 A.
则a的范围为________． 解析：由题意f(1)f(0)<0，∴a(2＋a)<0，∴－2<a<0.
答案：(－2,0)
5．(2012届温州八校联考)关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－
2|－a＝0有实根的充要条件是(
)
A．a≥－4 C．a<0
B．－4≤a<0 D．－3≤a<0
解析：令t＝3－|x－ 2|∈(0,1]，∴t2－4t－a＝0在(0,1]内有 根，∴a＝t2－4t t∈(0,1]，∴a∈[－3,0)． 答案：D
[解析] 令 f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函数 f(x)的零点为 x＝1，于是抛 1 物线 x＝ay2 的焦点的坐标是(1,0)，因为 x＝ay2 可化为 y2＝ax，所以
1>0 a 1 4a＝1
[答案] 1 4
1 ，解得 a＝4.
本小节结束
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)
解析：∵f′(x)＝ex＋1＞0，∴f(x)＝ex＋x－2在R上是增函数．
而f(－2)＝e－2－4＜0，f(－1)＝e－1－3＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝ e－1＞0，f(2)＝e2＞0，∴f(0)·f(1)＜0.故(0,1)为函数f(x)的零点所在 的一个区间． 答案：C
2．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为( A．2 B．3 C．1
函数的零点_优秀课件
的零点个数
基 础 知 识
梳
为( )
理
聚
焦
A．3
B．2
考 向
透
C．1
D．0
析
感
悟
解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x＝－3(x＝1舍去)；
经 典
考
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2，所以函数有2个零点，故 题
课
时
选B.
规 范
训
答案：B
练
基
础
考向三 由函数零点的存在情况求参数值
考 题
课 时
规
范
训
练
【思维流程】
基
求导，及 k＝f′(1)．
础 知
识
梳
利用点斜式写切线方程．
理
聚
讨论两极值点的大小，当－(a＋2)≤0，确定 f(x)在[0，＋∞)
焦 考
向
上的单调性，从而判断 f(x)＝k 的根的情况．
透 析
感
当－(a＋2)＞0 时，f(x)在[0，＋∞)上先减后增．
悟 经
典
考
求 f(x)在[0，＋∞)上的最小值 f(－(a＋2))．
悟 经 典 考
题
() A.0，12
课
时
B.21，1
规 范 训 练
C．(1,2)
D．(2,3)
【审题视点】 (1)将方程的根转化为两个函数图象交点问题，
基
础
结合图象以及单调性进行求解．
知 识
梳
(2)根据区间(a，b)上的零点存在定理．f(a)f(b)＜0判定．
理
聚
焦
【解析】 (1)由题意知，x≠0，则原方
利用导数研究函数零点
利用导数研究函数零点函数的零点是指函数曲线与x轴相交的点，即函数值等于0的点。
研究函数的零点可以通过利用导数的性质和方法来进行。
一、定义导数导数是描述函数变化率的概念，可以理解为函数在其中一点的瞬时变化速率。
对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)，也可以表示为dy/dx的形式。
二、零点的定义函数的零点是指函数在其中一点上的函数值等于0的点。
即对于函数y=f(x)，当f(x)=0时，x称为函数的零点。
三、导数与零点的关系1.导数与函数增减性：当函数在其中一区间内导数的值为正时，函数在该区间上是递增的；当导数的值为负时，函数在该区间上是递减的。
2.导数与函数极值：若函数在其中一点的导数为0，那么该点可能是函数的极值点（极大值或极小值）。
但需要注意的是，导数为0只是一个充分条件，并不是必要条件。
3.导数与函数的单调性：如果函数在其中一区间上的导数恒为正（负），则函数在该区间上是严格递增（递减）的。
当导数取值恢复为0时，函数可能出现极值。
4.导数与函数的凹凸性：函数的凹凸性与导数的二阶导数（也称为函数的二阶导数）有关。
若函数的二阶导数大于0，则函数在该区间上是凹函数；若二阶导数小于0，则函数在该区间上是凸函数。
四、利用导数研究函数零点的方法1.函数增减性分析法：a.求出函数的导数；b.确定导数的符号表；c.根据导数的符号表，确定函数的增减区间；d.根据函数的增减区间，找出函数的零点。
2.函数极值分析法：a.求出函数的导数；b.求导函数的导数（二阶导数）；c.解一阶导数等于0的方程，得到一阶导数等于0的点；d.利用二阶导数的符号表，确定这些点是极大值点还是极小值点；e.确定这些点是否是函数的零点。
3.函数凹凸性分析法：a.求出函数的导数；b.求导函数的导数（二阶导数）；c.解二阶导数等于0的方程，得到二阶导数等于0的点；d.利用二阶导数的符号表，确定这些点是函数的凹点还是凸点；e.确定这些点是否是函数的零点。
函数的零点
判别式
y=ax2+bx+c 的图象
ax2+bx+c=0 的根
函数的零点
>0
y
x1 0
x2 x
两个不相等的 实数根x1 、x2
两个零点 x1 , x2
0
y
0 x1 x
有两个相等的 实数根x1 = x2
一个零点x= b 2a
<0
y
0
x
无实数根
无零点
方程f (x) 函数y 函数y
0的实数根 f (x)的图象与x轴交点的横坐标 f (x)的零点
A（3，0）,（2，0）； B x=2 ；
C x=3 ；
D 2和3．
2、若函数f x x2 2x a没有零点，
则实数a的取值范围是 B
A、a 1
B、a 1
C、a 1
D、a 1
什么条件下才能确 定零点的存在呢？
二次函数 f (x) x2 2x 3 的图象，
可以发现
① 在区间[-2,1]上有零点___-1___。
函数的零点
函数的零点
在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 (－2，0)、(3，0)。
零点的定义：
一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的 值等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函 数的零点。在坐标系中表示图象与x 轴的公共点是(α，0)。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的零点，以 a 0为例画图.
只有一个吗？ 至少有一个， 可以有多个。
（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？
如果函数 y f (x)在区间a, b上的图象是 连续不断
求函数零点的几种方法
求函数零点的几种方法函数的零点，即函数取值为零的点，是函数解的根。
求函数的零点是数学中一项重要的任务，对于函数的性质以及问题的解有着关键的作用。
在实际问题中，往往需要找到函数的零点来解决问题。
下面将介绍几种常用的方法用于求解函数的零点。
1.图形法图形法是通过函数的图形来确定函数的零点。
具体步骤如下：1)绘制函数的图形。
2)寻找图形与横轴(函数值为零)的交点。
3)根据图形的特点确定所有零点的位置。
图形法主要适用于简单函数，可以直观地得到函数的零点，并且可以对函数的变化趋势有一个初步的了解。
2.开方法开方法是将函数的表达式进行开方得到一个新的方程，通过解新方程找到函数的零点。
具体步骤如下：1)对函数的表达式进行开方处理。
2)解开方后的方程，得到新方程的解。
3)验证解是否为函数的零点。
开方法适用于含有含有根号的函数，通过化简方程后解得函数的零点。
3.代数法代数法是通过代数运算将函数的表达式化简，然后解方程求解函数的零点。
具体步骤如下：1)化简函数的表达式，将函数转化为简单的方程。
2)解方程，得到函数的零点。
代数法是一种比较常用且灵活的求解函数零点的方法，适用于各种类型的函数。
4.迭代法迭代法是通过不断逼近函数的零点来求解函数的零点。
具体步骤如下：1)选择一个初始值。
2)根据函数的迭代公式计算下一个值。
3)判断逼近的精度是否满足要求，如果满足，则确定逼近值为函数的零点；如果不满足，则返回第二步。
迭代法是一种数值近似的方法，适用于函数难以用代数公式表示的情况，可以通过函数的近似值来逼近零点。
5.数值逼近法数值逼近法是通过数值计算的方法逼近函数的零点。
具体步骤如下：1)选择一个初始值。
2)根据数值逼近公式迭代计算下一个值。
3)判断逼近的精度是否满足要求，如果满足，则确定逼近值为函数的零点；如果不满足，则返回第二步。
数值逼近法是通过数值计算来逼近函数的零点，适用于难以通过代数运算求解的复杂函数。
总结：求函数的零点是数学中的一项重要内容。
求函数零点的方法_二分法
求函数零点的方法_二分法
一、零点及零点存在性定理
零点定义，对于函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，使得
f(x)=0f(x)=0f(x)=0的实数xxx叫做函数f(x)f(x)f(x)的零点。
换句话说，函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的零点就是方程
f(x)=0f(x)=0f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图像与xxx轴的交点。
零点存在性定理，如果函数f=f(x)f=f(x)f=f(x)在区间
[a,b][a,b][a,b]上的图像是连续的曲线，并且有f(a)⋅
f(b)<0f(a)\cdotf(b)\lt0f(a)⋅f(b)<0，我们就说函数
y=f(x)y=f(x)y=f(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)c\in(a,b)c∈(a,b)使得f(c)=0f(c)=0f(c)=0。
注意：满足该定理是函数存在零点的充分不必要条件。
如果该函数是一个单调函数，那么零点有且仅有一个。
二、二分法求函数零点
利用零点存在定理，可以用来求取函数的零点的近似值。
二分法的基本思想是通过不断地将零点所在的区间一分为二，使得两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法叫做二分法。
求函数零点的四种解题方法
求函数零点的四种解题方法在代数学中，函数的零点是使得函数值为零的输入值。
求解函数的零点是数学中常见的问题之一、以下将介绍四种常用的方法来求解函数的零点。
方法一：图像法图像法是一种常用的直观方法，在解决函数零点问题时非常有用。
它主要通过绘制函数图像来确定函数零点的位置。
具体步骤如下：1.首先，根据函数的定义确定函数的定义域和值域。
2.使用合适的比例和区间，在坐标轴上绘制函数的图像。
3.根据图像的形状和变化，使用直观的方法估计函数的零点的位置。
4.根据估计的位置，使用更精确的方法来求解函数的零点。
图像法的优点是直观、易于理解，在初步估计函数零点的位置时非常有用。
然而，它对于精确求解函数的零点并不总是有效，需要进一步使用其他方法来提高精度。
方法二：因数分解法因数分解法是一种常见的方法，适用于多项式函数（特别是一次、二次和三次多项式函数）。
它的基本思想是将多项式函数分解为两个或更多个因式相乘的形式，然后根据因式为零的性质来求解函数的零点。
具体步骤如下：1.将多项式函数表示为二项式或多项式的乘积。
2.令每个因式为零，解得每个因式的解。
3.将解代入原多项式函数，验证是否为零点。
因数分解法通常适用于可因式分解的多项式函数。
然而，对于高次多项式函数，因数分解法可能不太实用，因为需要找到合适的因式分解形式。
方法三：代入法代入法是一种常用的方法，适用于无法通过因数分解或图像法求解函数的零点。
具体步骤如下：1.首先，从函数的定义出发，选择一个合适的变量替换，将原函数转化为一个新的函数。
2.将新函数设置为零，并求解变量的值。
3.将求解得到的变量值代回原函数，验证是否为零点。
在实际应用中，选择合适的变量代换往往是关键。
代入法通常适用于复杂函数的求解，但也可能需要使用其他数值或近似方法来解决问题。
方法四：数值法数值法是一类通过数值计算来解决函数零点问题的方法。
它主要通过数值逼近的原理和算法，以迭代的方式逐步求解函数的零点。
求函数零点的四种解题方法
求函数零点的四种解题方法
1.图像法：
图像法是通过绘制函数的图形来求函数零点的一种方法。
首先，根据函数的表达式或数据，绘制函数的图形，然后寻找其图形上的零点，从而求出函数的零点。
2.分段表示法：
分段表示法是根据函数的表达式，将函数分成多段，然后求出每一段的零点，从而求出函数的整体零点。
3.二分法：
二分法是指将函数的定义域分成两个部分，求解函数在每个部分上是单调函数的情况，然后对比函数的值。
如果函数在两边都接近零点，那么可以缩小搜索范围，直到找到所求的精确的函数零点。
4.牛顿迭代法：
牛顿迭代法是基于泰勒公式和函数的一阶导数来求函数零点的方法。
首先，选择一个初始值作为零点的近似值，然后用牛顿迭代公式来求函数零点的值，得到一个接近零点的新值，不断重复上述过程，直到求得函数零点的值。
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（B）k<3或k>4
（C）－1<k<1或3<k<4
（D）－2<k<－1或3<k<4 解：函数f(x)=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象 是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)， (1，2)内，所以由图象可知，函数y=f(x)满足
2 f (0) 0 k k 20 2 f (1) 0 ，即 k 2k 8 0 ， f (2) 0 k 2 3k 0 k 2或k 1 解得， 2 k 4 k 3或k 0
（2）两个零点把x轴分成三个区间： (－∞，－2)、(－2，3)、(3，+∞)， 在每个区间上，所有函数值保持同号。
例1. 求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出 它的图象。 解：因为x3－2x2－x+2=x2(x－2)－(x－2) =(x－2)(x+1)(x－1). 所以函数的零点为－1，1，2. 3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)、 (－1，1)、(1，2)、(2，+∞)。 在这四个区间内，取x的一些值，以及零点， 列出这个函数的对应值表：
(m 2) 2 4(5 m) 0 f (2) 0 2m 2 2
2 m 16 0 解得 4 2(m 2) 5 m 0 m 2
m 4或m 4 m 5 所以 m 2
令g(m)=4m2+4am+1，
∵g(m)≥0恒成立， ∴ △2=16a2－16≤0，解得－1≤a≤1。 综上所述知，当m=0时，a∈R； m≠0时，－1≤a≤1。
例5．方程x2+(m－2)x+5－m=0的两根都大于
2，求实数a的取值范围。
解：令f(x)= x2+(m－2)x+5－m，要使f(x)=0 的两根都大于2，则应满足
x y
… …
－1.5
－1 －0.5 0 1.88 2
0.5
1
1.5
2
2.5
…
－4.38 0
1.13 0
－0.63 0
2.63 …
在直角坐标系内描 点连线，这个函数 的图象如图所示。
例2．求函数f(x)=x3－x的零点，并画出它的图 象。 解：x3－x=x(x+1)(x－1)，令f(x)=0，即 x(x+1)(x－1)=0， 解得x1=0，x2=－1，x3=1，所以函数y=f(x) 的零点有三个，为－1，0，1， 这三个点把x轴分成四个区间，(－∞，－1)、 (－1，0)、(0，1)、(1，+∞)，在这四个区间 中取一些x的值，列出函数的对应值表：
所以－2<k<－1或3<k<4，选D。
例4．已知m∈R，函数f(x)=m(x2－1)+x－a恒有
零点，求实数a的取值范围。 解：（1）当m=0时，f(x)=x－a=0解得x=a恒 有解，此时a∈R； （2）当m≠0时，∵ f(x)=0，即mx2+x－m－a=0 恒有解，
∴ △1=1+4m2+4am≥0恒成立，
即－5<m≤－4.
函数的零点
潍坊滨海中学 袁延花
请你先想一个问题。 已知二次函数y=x2－x－6，试问x取哪些
值时，y=0?
求使y=0的x值，也就是求二次方程x2－x
－6=0的所有根 .
解此方程得x1=－2，x2=3。
这就是说，当x=－2或x=3时，这个函数 的函数值y=0。 画出这个函数的 简图，从图象上可以 看出，它与x轴相交于 两点(－2，0)、(3，0)。
当△=b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0没 有实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c 没有零点；
考虑函数是否有零点是研究函数性质和精 确地画出函数图象的重要一步。 例如求出二次函数的零点及其图象的顶点
坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，
并能粗略地画出函数的简图。
另外，我们还能从二次函数的图象看到二次 函数零点的性质： （1）当函数图象通过零点且穿过x轴时，函 数值变号。如上例，函数y= x2－x－6的图象 在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通 过第一个零点－2时，函数值由正变为负，再 通过第二个零点3时，函数值又由负变正。
x …
－1.5
－1 0
－0.5 0.375
0 0
0.5 －0.375
1 0
1.5
…
y … －1.875
1.875 …
在直角坐标系中描 点作图得到图象。
f(x)=x3－x
例3．若方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两
实根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（ ）
3 （A） k 2
零点的定义： 一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的值 等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函数的零
点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点
是(α，0)。
我们知道，对于二次函数y=ax2+bx+c： 当△=b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0有两
个不相等的实数根，这时说二次函数y=
ax2+bx+c有两个零点； 当△=b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0有 两个相等的实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c有一个二重的零点或说有二阶 零点；
这两点把x轴分成三个区间(－∞，－2)、 (－2，3)、(3，+∞)。 当x∈(－∞，－2)时，y>0；当x∈(－2， 3)时，y<0；当x∈(3，+∞)时，y>0. 二次方程x2－x－6=0的根－2，3常称作函数 y=x2－x－6的零点。在坐标系中表示图象与 x轴的公共点是(－2，0)、(3，0)。