函数的零点

x …
－1.5
－1 0
－0.5 0.375
0 0
0.5 －0.375
1 0
1.5
…
y … －1.875
1.875 …
在直角坐标系中描 点作图得到图象。
f(x)=x3－x
例3．若方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两
实根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（ ）
3 （A） k 2
函数的零点
潍坊滨海中学 袁延花
请你先想一个问题。 已知二次函数y=x2－x－6，试问x取哪些
值时，y=0?
求使y=0的x值，也就是求二次方程x2－x
－6=0的所有根 .
解此方程得x1=－2，x2=3。
这就是说，当x=－2或x=3时，这个函数 的函数值y=0。 画出这个函数的 简图，从图象上可以 看出，它与x轴相交于 两点(－2，0)、(3，0)。
（2）两个零点把x轴分成三个区间： (－∞，－2)、(－2，3)、(3，+∞)， 在每个区间上，所有函数值保持同号。
例1. 求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出 它的图象。 解：因为x3－2x2－x+2=x2(x－2)－(x－2) =(x－2)(x+1)(x－1). 所以函数的零点为－1，1，2. 3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)、 (－1，1)、(1，2)、(2，+∞)。 在这四个区间内，取x的一些值，以及零点， 列出这个函数的对应值表：
这两点把x轴分成三个区间(－∞，－2)、 (－2，3)、(3，+∞)。 当x∈(－∞，－2)时，y>0；当x∈(－2， 3)时，y<0；当x∈(3，+∞)时，y>0. 二次方程x2－x－6=0的根－2，3常称作函数 y=x2－x－6的零点。在坐标系中表示图象与 x轴的公共点是(－2，0)、(3，0)。
(m 2) 2 4(5 m) 0 f (2) 0 2m 2 2
2 m 16 0 解得 4 2(m 2) 5 ຫໍສະໝຸດ Baidum 0 m 2
m 4或m 4 m 5 所以 m 2
x y
… …
－1.5
－1 －0.5 0 1.88 2
0.5
1
1.5
2
2.5
…
－4.38 0
1.13 0
－0.63 0
2.63 …
在直角坐标系内描 点连线，这个函数 的图象如图所示。
例2．求函数f(x)=x3－x的零点，并画出它的图 象。 解：x3－x=x(x+1)(x－1)，令f(x)=0，即 x(x+1)(x－1)=0， 解得x1=0，x2=－1，x3=1，所以函数y=f(x) 的零点有三个，为－1，0，1， 这三个点把x轴分成四个区间，(－∞，－1)、 (－1，0)、(0，1)、(1，+∞)，在这四个区间 中取一些x的值，列出函数的对应值表：
令g(m)=4m2+4am+1，
∵g(m)≥0恒成立， ∴ △2=16a2－16≤0，解得－1≤a≤1。 综上所述知，当m=0时，a∈R； m≠0时，－1≤a≤1。
例5．方程x2+(m－2)x+5－m=0的两根都大于
2，求实数a的取值范围。
解：令f(x)= x2+(m－2)x+5－m，要使f(x)=0 的两根都大于2，则应满足
零点的定义： 一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的值 等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函数的零
点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点
是(α，0)。
我们知道，对于二次函数y=ax2+bx+c： 当△=b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0有两
个不相等的实数根，这时说二次函数y=
ax2+bx+c有两个零点； 当△=b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0有 两个相等的实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c有一个二重的零点或说有二阶 零点；
即－5<m≤－4.
所以－2<k<－1或3<k<4，选D。
例4．已知m∈R，函数f(x)=m(x2－1)+x－a恒有
零点，求实数a的取值范围。 解：（1）当m=0时，f(x)=x－a=0解得x=a恒 有解，此时a∈R； （2）当m≠0时，∵ f(x)=0，即mx2+x－m－a=0 恒有解，
∴ △1=1+4m2+4am≥0恒成立，
当△=b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0没 有实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c 没有零点；
考虑函数是否有零点是研究函数性质和精 确地画出函数图象的重要一步。 例如求出二次函数的零点及其图象的顶点
坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，
并能粗略地画出函数的简图。
另外，我们还能从二次函数的图象看到二次 函数零点的性质： （1）当函数图象通过零点且穿过x轴时，函 数值变号。如上例，函数y= x2－x－6的图象 在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通 过第一个零点－2时，函数值由正变为负，再 通过第二个零点3时，函数值又由负变正。
（B）k<3或k>4
（C）－1<k<1或3<k<4
（D）－2<k<－1或3<k<4 解：函数f(x)=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象 是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)， (1，2)内，所以由图象可知，函数y=f(x)满足
2 f (0) 0 k k 20 2 f (1) 0 ，即 k 2k 8 0 ， f (2) 0 k 2 3k 0 k 2或k 1 解得， 2 k 4 k 3或k 0