基于层次分析法的数学建模[1]

基于层次分析法研究云南烟草品牌竞争力
摘要
与国外知名烟草品牌相比，国内的烟草品牌存在着品牌集中度不够，品牌多、杂、散、小；品牌定位模糊，市场占有率低；品牌形象乱，品牌美誉度低，消费者购买行为习惯化导致忠诚度差等问题，因此，本文采用层次分析法对在中国烟草行业中有着举足轻重地位的云南省烟草品牌竞争力进行了评价研究，分析云南烟草业品牌现状，提出品牌竞争力的影响因素，对提高云南烟草业的品牌竞争力、解决烟草业存在的问题提供一定的帮助。

关键词：烟草品牌云南烟草品牌竞争力层次分析法
一、问题重述
近年来，我国一直推进实施卷烟工业的整合重组、卷烟品牌的淘汰和优化。

但是，由于之前的卷烟品牌众多；截止到 2009 年底我国的烟草企业有 30 家，卷烟品牌 138 个，所以目前我国烟草企业之间的竞争非常激烈，行业内有众多势均力敌的竞争对手。

当今卷烟产品差异化日渐缩小，消费者购买时会更看重品牌价值和品牌文化，使烟草行业内部面临着激烈的竞争,以具有代表性的云烟为实证，分析云南烟草企业的品牌竞争力及影响品牌竞争力的主要因素，并提出提高云烟品牌竞争力的对策建议。

二、问题分析
（1）云南卷烟近年情况分析
图1为云产卷烟在全国各地区的销量情况，有颜色部分为云南卷烟销量均超过15.58万箱，在全国卷烟销售中占有很大份额。

2008 年卷烟品牌为16个，比2003年的36个减少了 20个。

作为全国卷烟产销量最大的省份，2009 年云南的产销量达到 3667.9 亿支。

在卷烟产量增幅较小的情况下，2008 年云南烟草工业税利为577 亿元，比 2003 年的 330 亿元增加了 247 亿元。

因此，分析云南卷烟品牌竞争力有助于对云南卷烟品牌做出适当的规划调整，很大程度上能够促进云南经济的发展。

（数据为云南中烟系统中2015年云产卷烟销量数据）
图1
图2为云产卷烟各年份销量走势，从图中可以看出，云产烟销量有上升趋势，但每年增幅不大，近两年增幅呈现出下降趋势，因此，对云南卷烟品牌竞争力做出分析，找出调整方案有助于销量的增加。

图2
（2）云南烟草品牌竞争力评价指标体系
由于品牌竞争力的影响因素抽象性的居多，在遵循以上设计原则的基础上，通过文献分析与专家访谈，并结合品牌竞争力的内涵和云南烟草企业的具体情况，将云南烟草品牌竞争力分为四个一级指标：品牌市场力、品牌基础力、品牌管理力和品牌持续力。

每个一级指标又包括几个二级指标，具体如下表一所示：
表1 云南烟草品牌竞争力评价指标体系
三、模型假设
1.假设收集的数据真实可靠；
2.假设所分析的云南烟草品牌竞争力评价体系符合实际市场状况；
3.假设品牌竞争力只与所假设的4种准则层和14种措施层有关。

4、假设云南烟草主要主要靠其品牌竞争作为支柱，对品牌的研究能反映出云南烟草的发展方向。

四、模型的建立与求解
第一节：关于层次分析法知识点的补充
基于问题分析中的指标体系的构建，主要目的是采用层次分析法，对品牌市场力、品牌基础力、品牌管理力和品牌持续力四个指标权重进行计算，并结合调查数据，计算出影响品牌竞争力因素的各个指标的具体权重。

从而为品牌竞争力的评价研究提供了一定的参考价值。

其流程图如图3。

图.3
N Y
N
Y
层次分析法主要有以下几个基本步骤。

（1）建立指标的递阶层次结构
品牌竞争力A
品牌市场力
品牌基础力
品牌管理力
品牌持续力
21
22
23
产品口感
认知品质
包装设计B
B
B
11
12
13
市场占有率
产品销售额
产品利润率B
B
B
31
32
33
品牌定位
品牌个性
品牌战略
B
B
B
41
42
43
44
品牌知名度
品牌美誉度
品牌忠诚度
品牌精神文化
B
B
B
B
分
析
其
主
要
影
响
因
素
51
52
53
54
政府支持力度
企业投放政策
消费者支持力度
零售户支持力度
B
B
B
B
品牌支持力
5
B
通过对目标系统的分析，将复杂的目标问题分解成若干个组成因素，然后对这些因素进行分组，分组的依据是属性不同，从而形成不同的层次。

同一层次的因素作为标准，不仅支配下一层次的某些因素，同时又受上一层次某些因素的制约和支配。

这样从上到下的支配关系就形成一个递阶层次结构，该层次一般为树状结构。

主要可分为三类：第一，最上面的层次是目标层；第二，中间一层是准则层；第三，最低的一层是措施层。

（2）构造两两比较判断矩阵
指标层次结构建立以后，上下层次指标间的隶属关系就确定了。

构造判断矩阵是在递阶层次机构模型中，同一层次的因素与上一层次的某个因素，相互之间做比较而形成的矩阵。

判断标度是为了将比较的结果进行定量化描述。

本文使用1—5 标度法，如表2所示：
表 2 层次分析法标度
标度含义
1表示元素 i 与元素 j 相比，二者具有同等重要性
2表示元素 i 与元素 j 相比，前者比后者稍微重要
3表示元素 i 与元素 j 相比，前者比后者明显重要
4表示元素 i 与元素 j 相比，前者比后者强烈重要
5表示元素 i 与元素 j 相比，前者比后者及其重要
元素 i 与元素 j 的重要性之比为a ij ,那么元素 j 与元素 i
的重要之比其倒数a j =1/a ij
判断矩阵的得来是以重要性比较为基础的，将同层次的每个指标进行一一对比、赋值，可得到一个由判断系统构成的判断矩阵。

具体的做法是：以表1中的品牌竞争力的一级指标为例子，将其重要性的
比较转化为得分，分别令之为a 、 b 、c 和d 为一级指标中 4 个元素之间比较的重要性得分。

然后构造判断矩阵，指标 B 1，B 2，B 3，B 4 同时为判断矩阵的行和列，其中的任何一个元素设为a ij ，i j , =1,2,,n ，这里的n 为 4，i 和 j 分别代表判断矩阵中的行数和列数。

而a ij =a i /a j 。

其中a i 为指标 B i 的得分，a j 为指标 B j 的得分。

因此可以得到下面表格：
表 3 一级指标判断矩阵表格
a i / a j
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
B 1
1
a/ b
a /c a /d a /e
B 2
b/ a 1 b/ c
b /d b /e B 3
c /a c /b 1 c /
d c /
e B 4
B
5
d /a
e /a d/ b e/ b d/c e/c 1 d /e e /d 1
同理，可以计算出二级指标的判断矩阵，矩阵维数为n ⨯ n ，其中
n 为二级指标措施层的因素个数。

（3）确定权重
设判断矩阵 n n A ⨯的最大特征根为max λ，则对应的特征向量为
ω，解出判断矩阵n n A ⨯的的特征根。

max A ωλω=，所得ω经归一化
处理后，即为同一层次相应元素对于上一层次某一因素相对重要性的权重向量。

本文关于计算权重采用的是方根法，其计算步骤如下： ①计算几何平均值：
计算判断矩阵中每行所有元素的几何平均值，得到向量：
n
n 12n ij ，i ，j=1,2，,n ；j=1
（m m ...m ）,其中，a T
M =∏
②归一化处理：
对列向量做归一化处理，得到相对权重向量：
12n =（ ）T
ωωωω
,其中i
i=
n
j
j=1
m ，j=1，2，，n ；m
ω∑
令一级指标的表达式为：12()
T
n S S S S =
二级指标的表达式为123
()i T
i i i i in ωωωωω=
其中i 为第i 个二级指标，n i 为第i 个二级指标的指标个数。

（4）计算最大特征值 n n
A ⨯的最大特征根为
max
λ
近似计算公式为
max
1
()1
n
i j n i A m n
ωλω==∑，
式中
i
ω是权重向量ω左乘
n n A ⨯的得到的列向量A ω的中的第i 个分
量。

计算最大特征值max
λ
的目的是计算判断矩阵是否满足一致性检
验。

（5）一致性检验
人们给出的判断矩阵不一定完全相同，这是因为目标问题的复杂性以及人们对问题认识的模糊性和多样性，因此进行一致性检验是判断结果客观准确性的依据。

一致性检验是层次分析法的必要步骤之一。

计算出的权重有意义的前提是判断矩阵通过了检验，否则得到的结果不能完全说明指标真实的权重。

如果没有通过一致性检验，只能重新处理数据以及调整判断矩阵，计算出新的一组权重，再次进行检验，一直达到一致性检验通过为止，否则上述过程将重复。

一致性检验标为max -n
n-1
CI λ=
，其中n 为判断矩阵阶数。

若随机一次性比一致性检验指标为 1.12，0.10CI
RI CR RI
==<，则判断矩阵通过一致性检验，否则需要调整判断矩阵的元素取值。

第二节 云南烟草品牌竞争力评价指标权重的计算 （1）各单项指标分值的确定
根据经验判断以对所有二级指标的打分为依据，根据需要给予其不同的权重来计算指标的加权平均。

（2）判断矩阵的计算
以一级判断矩阵为例：通过判断重要性比较，判断矩阵的每个元素是每两个指标平均得分的比值，如下表4：
表4 一级指标的判断矩阵
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 1 1 10/7 9/8 4/5 8/3 B 2 7/10 1 4/5 5/9 6/5 B 3 8/9 5/4 1 5/7 3/7 B 4 5/4 9/5 7/5 1 4/5 B 5
3/8
5/6
7/3
5/4 1
在上表表示的矩阵中，对角线元素为a ii =B i 得分，B i 的得分=1，
而非对角线元素为相应的列指标得分比横指标得分，即：a ij = B i 得分= B j 的得分，其中：i 为行值，j 为列值，i j = 1,2,3,4 。

同理，我们可以得到四个二级指标的判断矩阵：
表 5 B1的二级指标判断矩阵
B11B12B13
B11111/69/7
B126/1115/7
B137/97/51
B21B22B23
B2113/41
B224/316/5
B2315/61
表 7 B3的二级指标判断矩阵
B31B32B33
B3113/44/3
B324/319/5
B333/45/91
表 8 B4的二级指标判断矩阵
B41B42B43B44 B4119/85/65/4
B428/913/48/7
B436/54/313/2
B444/57/82/31
表 9 B5的二级指标判断矩阵
B51B52B53B54 B5118/55/37/2
B525/817/48/5
B533/54/711/3
B547/25/83/11
（3）指标权重的计算
①计算判断矩阵中每行所有元素的几何平均值，得到向量
M = (m 1 m 2
m n ） T , 其中，n
i j=1m ,i ，j=1,2，，n ；n
ij
a ∏
通过计算可以得到：
55125
5345
512109487456
m 1 1.063，m 10.7458785310595
84535974m 10.9408，m 1 1.3408957745553575
m 10.98718634
=（1.063 0.7458 0.9408 1.3408）
同理可得二级指标的平均值：
=（1.3334 0.7308 1.0261）
=（0.8T
T
M M M ⨯
⨯⨯⨯≈⨯⨯⨯⨯≈⨯⨯⨯⨯≈⨯⨯⨯⨯≈⨯⨯⨯⨯≈345787 1.1687 0.9738）=（0.9987 1.3464 0.7436）=（1.0421 0.9351 1.2473 0.8227）=（0.8652 0.9589 1.4527 1.256）
T
T
T
T
M M M
② 对列向量做归一化处理，得到相对权重向量
i
12
n 1n j
j=1
m =（ ）,其中=
，j=1,2，，n ；
m T
ωωωωω∑
则一级指标的归一化权重计算过程为：
1234 1.063
0.2598771.0630.73580.9408 1.3408+0.9871
0.7358
0.1823291.0630.73580.9408 1.3408+0.9871
0.9408
0.23002
1.0630.73580.9408 1.3408+0.9871
1.3408
0.32771.0630.73580.9408 1.3408+0.9871
S S S S ==+++==+++==+++==+++5921.3408
0.2256
1.0630.73580.9408 1.3408+0.9871
S =
=+++
所以，可以得出烟草品牌竞争力一级指标归一化的权重向量为：
S = (S 1
S 2
S 3
S 4
S 5
)T
= (0.259877 0.182329 0.230002
0.327792 0.2256)T
同理可得烟草品牌竞争力二级指标的归一化权重向量为：
12345=（0.431479 0.236482 0.332039）=（0.290845 0.386833 0.322322）=（0.32334 0.435912 0.240748）
=（0.257487 0.231049 0.308188 0.203276）
=（0.53241 0.36429 0.13547 0.27511）
T
T
T
T
T
ωωωωω
i i i 1234通过公式k =，其中i=1,2,3,4。

可以计算出每个二级指标的跟总体指标的 权重向量：
k =（0.112131 0.061456 0.086289） k =（0.05303 0.070531 0.058769） k =（0.074369 0.100261 0.055372）
k =（0.084402 0.075736 0.101022 0.06T
T
T
S ω•56632） k =（0.063254 0.06013 0.00986 0.04325）
T
T
因此，可以得出中国烟草品牌竞争力评价指标权重表：表 9 云南烟草品牌竞争力评价指标权重表
（4）计算最大特征值
n
i n n max max j n=1
i i
n n max （A ）1
计算A 的最大特征值的近似计算公式为：=
m ，式中n （A ）是权重向量左乘A 得到的列向量A 中的第i 个分量。

将用于判断一致性检验。

ωλλωωωωλ⨯⨯∑ 通过 MATLAB 程序：[V,D]=eig(A)，可以轻易地得到一级判断矩阵的特征向量和特征值：
0.5086
0.50300.33550.3181i -0.3355+0.3881i 0.3568-0.0187-0.1689+0.4583i -0.1689-0.4583i 0.4501
-0.13050.60630.6063
0.6415-0.8542-0.1373-0.3344i -0.1373-0.3344i 0.4897-0.5256-0.2958+0.0289i -0.2958-0.0289i V ⎛---=⎫
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
化为标准式，可以得到 D ：
3.99999999997.775000
0-0.00000000024320200000.000000000136213+0.000000072581396i 00000.000000000136213-0.000000072581396i D ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
其中最大的特征值为: max =3.9999999999707754λ≈
同理可得二级判断矩阵的最大特征值为：
12max max 3
4max max
5max =3.0000000001198853，=3.0000000002997673
=3.0000000002359983，=3.9999999997732464=3.9999999997368464
λλλ
λλ≈≈≈≈≈
五、 模型检验
则判一致性检验的指标max -n
=
n-1
CI λ，其中
n 为判断矩阵阶数。

如
一级指标个数为4个，则随机一次性比率R I =0.9，
0.10CI
CR RI
=
<,则判断矩阵通过一致性检验，否则需要调整判断矩阵的元素取值，再次进行检验。

随机一致性指标R I 取值见表10。

表 10 平均随机一致性指标取值表①
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R I . . 0
0.58
0.9
1.12
1.24
1.32
1.44
1.45
经计算，表4、表5、表6、表7、表8，表9的判断矩阵的 C.R.的数值均小于0.10，所以全部一致性良好，具体过程如下：
17
max 1max 2max 表4的判断矩阵一致性检验：
-n 4-40
=0，=00.01
n-14-10.9
表5的判断矩阵一致性检验：
-n
3-30
=0，=00.01
n-13-10.58
表6的判断矩阵一致性检验：
-n
3-30
=0，=00.01
n-13-10.58
表7的判断矩阵一致性检验：
CI CI CR RI CI CI CR RI CI CI CR RI C λλλ=≈=≈<=≈=≈<=≈=≈<3max max max -n
3-30
=0，=00.01
n-13-10.58
表8的判断矩阵一致性检验：
-n 4-40
=0，=00.01
n-14-10.9
表9的判断矩阵一致性检验：
-n 4-40
=0，=00.01n-14-10.9
CI I CR RI CI CI CR RI CI CI CR RI λλλ=≈=≈<=≈=≈<=≈=≈<
六、参考文献
[1]樊瑛．运筹学[M]大连：东北财经出版社．2006．11． [2]牛映武．运筹学[M]西安：西安交通大学出版社．2006．5. [3]中国数学建模网站（/home/） [4]烟草在线网（/）。