波动光学课后习题答案(第一章)
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标系三个坐标矢量的和的形式有
v v v v v v v v k = k x ax + k y a y + k z az 和 r = xax + ya y + zaz
其中， a x 、 a y 、 a z 分别代表沿 x、y 和 z 轴的单位矢量。 则复振幅的表达式可进一步表示为，
此时， TP = 1.0 ， Ts = 0.738 ，则根据 34 页的公式(1.2‐43)可求得
Pt =
（1‐17 略）
I tp − I ts I tp + I ts
=
Tp − Ts Tp + Ts
= 0.1506
1‐18 解：根据 34 页的公式(1.2‐44)可知，当光束垂直入射到介质表面时，反射率为
v v v ⎡ ⎛ z ⎞⎤ E = E0 cos (ωt − kz ) = E0 cos ⎢ω ⎜ t − ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ υ ⎠⎦
和本题目中给出的光场振幅表达式进行对比，很容易得到如下对应关系：
ω = π × 1015
υ=
因此，得到如下结果
ω
k
= 0.65c
f =
ω = 5 ×1014 Hz 2π
根据全反射的条件以及光束在界面反射和折射时的正弦关系，有
n1 sin θ1 n2 ≤ 1 − 12 n n
此时
n≥
3 n1 = 1.628 2
（1‐23 至 1‐27 略，其中 1‐23 题刻参考教材 33 页的图 1‐29；1‐24 题与 1‐12 题是同一个内 容；1‐25 和 1‐26 题根据全反射条件很容易计算得到，关键的要求就是“为了能将光束束缚 在光纤中传输，光束在纤芯和包层之间的界面上要发生全wenku.baidu.com射” ，这些内容在“光纤通信技 术”这门课里会讲到，请大家自行推导）
o o
α = ϕi = 56.65o
若入射光是垂直纸面振动的光束，此时 Ts = 0.157 ，无法满足反射损失小于 1%的要求。 1‐22 解：假设透射光束发生全反射，要求
90o − θ 2 ≥ θ c
即
θ 2 ≤ 90o − θ c
即满足如下关系
sin θ 2 ≤ cos θ c = 1 − sin 2 θ c
tan α r = −
o
cos (θ1 − θ 2 ) tan α i cos (θ1 + θ 2 )
o o
已知 n1=1.0，n2=1.5，若 θ1 = 50 ，则 θ 2 = 30.7 ，因此，又知 α i = 45 ，则
α r = 99.71o
同理，当 θ1 = 60 时，可求得
进一步得到
Rn = 4.56%
由上面的计算可知，当光束垂直入射时，反射率只与介质折射率有关，而与角度无关，当光 束非垂直入射时，反射率还取决于入射角度的大小。 （1‐19 和 1‐20 略） 1‐21 解：根据题意分析可知，当光束以布儒斯特角入射到棱镜表面时，因为入射光束是 p 偏振光束，则没有反射光，光束全部透射，此时透射光的强度最大。根据前面题目的计算可 知，布儒斯特角为 θ B = 56.65 ，即入射角 ϕi = 56.65 ，此时棱镜底角为
o
α r = 84.23o
（1‐14 和 1‐15 略） 1‐16 解：此题考察布儒斯特现象，即当光束以布儒斯特角入射到某一界面表面时，反射光 只有 s 分量，为完全偏振光，则布儒斯特角为
tan θ B =
已知 n1=1.0，n2=1.76，则得到
n2 n1
θ B = 60.39o
v
v
v
v v i ⎡ωt −( k x + k y + k z )⎤ E = E0 e ⎣ x y z ⎦
将本题目中的平面波电矢量的表达式和上式进行比较，很容易得到如下对应关系，
v v v E0 = −2ax + 2 3a y
ω = 6 × 108
k x = − 3, k y = −1
I ts = 0.5 I i × 0.84332
同理可知，当经过 10 片玻片时，透射光中透射光中 s 分量和 p 分量的强度分别是
I tp = 0.5 I i I ts = 0.5I i × 0.843320 = 0.01654291395621I i
则透射光的偏振度为
Pt =
I tp − I ts I tp + I ts
λ=
υ
f
=
0.65 × 3 ×108 = 0.39 ( μ m ) 5 ×1014
c
n=
υ
=
1 = 1.538 0.65
1‐3 解：这一题目主要考核不同类型偏振光束的形成条件，具体参考教材 21‐22 页。 （1）振幅相同，相位差为π/2，所以为右旋圆偏振光。 （2）振幅相同，相位差为π/4，所以为右旋椭圆偏振光。 （3）相位差为−π，为线偏振光，在第一和第三象限。 （1‐4 至 1‐8 略） 1‐9 解：由教材 34 页的公式（1.2‐42）和（1.2‐43）很容易求出自然光入射情况下反射光与 透射光的偏振度，而其中的反射率和透射率可根据菲涅耳公式求出，见教材 28 页的公式 (1.2‐18\19\20\21)和 29 页的公式(1.2‐28\29\30\31)。 已知 n1=1.0，n2=1.52，根据正弦关系可根据入射角求出折射角
′ ′ ′ R′ p = 0.0000, Rs = 0.1567, Tp = 1.0000, Ts = 0.8433
综合上述分析结果可知，当假设入射光束为自然光，光束经过一个玻片（经过上下表面两次 反射和折射）后，透射光中 s 分量和 p 分量的强度分别是
I tp = 0.5 I i
因此，可确定电场的振幅大小为 E0 = E0 = 4 ，波矢大小为 k = k = 2 ，方向如下图所示。 另外，可进一步确定，
v
v
f =
ω 4 = ×108 Hz 2π π 2π λ= = π ( m)
k
（相位速度） υ =
ω
k
= 3 × 108 ( m / s )
1‐2 解：由教材第 9 页的公式(1.1‐23)可知，光场的振幅还可以表示为余弦函数的形式，即
第一章
光在各向同性介质中的传播特性
1‐1 解：由教材第 10 页的公式(1.1‐29)可知，以及图 1‐2(c)所示，单色平面波沿某一方向传播 时的复振幅为
v v i(ωt − kv •rv ) E = E0 e
v v v E0 为振幅矢量， ω 为角频率， k 为波矢， r 为位置矢量。将波矢和位置矢量表示成直角坐
1‐10 解：首先分析光束以布儒斯特角入射到一个玻片上时的情况：
入射光束在第一个界面上时，反射光只有 s 分量，根据 1‐9 题的计算可知：
R p = 0.0000, Rs = 0.1567, Tp = 1.0000, Ts = 0.8433
光束在第二个界面反射和折射时依然满足布儒斯特条件， 并根据教材第 51 页 1‐17 题的分析 结果可知，
cos θ1 sin 2 θ1 − n 2 sin 2 θ1
dθ1
= 1+
sin 2 θ1 cos 2 θ1 − (1 + cos 2 θ1 )( sin 2 θ1 − n 2 ) 2 × 1 cos 2 θ1 ( sin 2 θ1 − n 2 ) sin 3 θ ( sin 2 θ − n 2 ) 2 sin 4 θ1
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
我建议同学们通过编写程序来完成该题目，例如我在课堂上提供的 matlab 编写的程序。 程序为： ==================================== function Fresnel(n1,n2) n1=1.0; n2=1.52; % n1 为入射介质的折射率，n2 为透射介质的折射率。 % theta1 为入射角，theta2 为折射角 theta1=0*pi/180; theta2=asin(n1*sin(theta1)/n2); % 计算 s 分量和 p 分量的反射系数和透射系数； rs=‐sin(theta1‐theta2)/sin(theta1+theta2); rp=tan(theta1‐theta2)/tan(theta1+theta2); ts=2*cos(theta1)*sin(theta2)/sin(theta1+theta2); tp=2*cos(theta1)*sin(theta2)/sin(theta1+theta2)/cos(theta1‐theta2);
= 0.9359
（1‐11 略） 1‐12 解： 根据教材第 37 页的公式(1.2‐56)可知， 反射光中在入射面内振动和垂直入射面的两 束光之间的相位差满足如下关系
Δϕ = 2 arctan
对上式进行微分，可得
⎛ cos θ1 sin 2 θ1 − n 2 d ⎜ 2 arctan ⎜ sin 2 θ1 d ( Δϕ ) = ⎝ dθ1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1 1
利用基本的数学关系可以确定，上式在满足如下关系时
d ( Δϕ ) = 0 dθ1
即
2n 2 sin θ1 = 1 + n2
2
则要求
θ1 = arcsin
此时，
2n 2 1 + n2
1 − n2 2n
Δϕ = 2 arctan
1‐13 解：根据教材 36 页的公式（1.2‐47）可知，
% 计算 s 分量和 p 分量的反射率和透射率； Rs=rs^2; Rp=rp^2; Ts=n2/n1*cos(theta2)/cos(theta1)*ts^2; Tp=n2/n1*cos(theta2)/cos(theta1)*tp^2; % 计算当自然光入射时，反射光和透射光的偏振度。 Pr=abs((Rp‐Rs)/(Rp+Rs)) Pt=abs((Tp‐Ts)/(Tp+Ts)) End ========================================== 计算结果为 入射角（度） 折射角（度） 反射光的偏振度 折射光的偏振度 0 0.00 0.0000 0.0000 20 13.00 0.1669 0.0075 45 27.72 0.8236 0.0461 56°40′ 33.34 1.0000 0.8500 90 41.14 0.0000 0.3958
n −n Rn = 1 2 n1 + n2
又知 n1=1.0，n2=1.52，则可知
2
Rn = 4.26%
当光束以 45°入射时，则 θ 2 = 27.72 ，根据 35 页的公式(1.2‐45)可知
o
2 2 1 ⎡ sin (θ1 − θ 2 ) tan (θ1 − θ 2 ) ⎤ Rn = ⎢ 2 + ⎥ 2 ⎣ sin (θ1 + θ 2 ) tan 2 (θ1 + θ 2 ) ⎦
v v v v v v v v k = k x ax + k y a y + k z az 和 r = xax + ya y + zaz
其中， a x 、 a y 、 a z 分别代表沿 x、y 和 z 轴的单位矢量。 则复振幅的表达式可进一步表示为，
此时， TP = 1.0 ， Ts = 0.738 ，则根据 34 页的公式(1.2‐43)可求得
Pt =
（1‐17 略）
I tp − I ts I tp + I ts
=
Tp − Ts Tp + Ts
= 0.1506
1‐18 解：根据 34 页的公式(1.2‐44)可知，当光束垂直入射到介质表面时，反射率为
v v v ⎡ ⎛ z ⎞⎤ E = E0 cos (ωt − kz ) = E0 cos ⎢ω ⎜ t − ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ υ ⎠⎦
和本题目中给出的光场振幅表达式进行对比，很容易得到如下对应关系：
ω = π × 1015
υ=
因此，得到如下结果
ω
k
= 0.65c
f =
ω = 5 ×1014 Hz 2π
根据全反射的条件以及光束在界面反射和折射时的正弦关系，有
n1 sin θ1 n2 ≤ 1 − 12 n n
此时
n≥
3 n1 = 1.628 2
（1‐23 至 1‐27 略，其中 1‐23 题刻参考教材 33 页的图 1‐29；1‐24 题与 1‐12 题是同一个内 容；1‐25 和 1‐26 题根据全反射条件很容易计算得到，关键的要求就是“为了能将光束束缚 在光纤中传输，光束在纤芯和包层之间的界面上要发生全wenku.baidu.com射” ，这些内容在“光纤通信技 术”这门课里会讲到，请大家自行推导）
o o
α = ϕi = 56.65o
若入射光是垂直纸面振动的光束，此时 Ts = 0.157 ，无法满足反射损失小于 1%的要求。 1‐22 解：假设透射光束发生全反射，要求
90o − θ 2 ≥ θ c
即
θ 2 ≤ 90o − θ c
即满足如下关系
sin θ 2 ≤ cos θ c = 1 − sin 2 θ c
tan α r = −
o
cos (θ1 − θ 2 ) tan α i cos (θ1 + θ 2 )
o o
已知 n1=1.0，n2=1.5，若 θ1 = 50 ，则 θ 2 = 30.7 ，因此，又知 α i = 45 ，则
α r = 99.71o
同理，当 θ1 = 60 时，可求得
进一步得到
Rn = 4.56%
由上面的计算可知，当光束垂直入射时，反射率只与介质折射率有关，而与角度无关，当光 束非垂直入射时，反射率还取决于入射角度的大小。 （1‐19 和 1‐20 略） 1‐21 解：根据题意分析可知，当光束以布儒斯特角入射到棱镜表面时，因为入射光束是 p 偏振光束，则没有反射光，光束全部透射，此时透射光的强度最大。根据前面题目的计算可 知，布儒斯特角为 θ B = 56.65 ，即入射角 ϕi = 56.65 ，此时棱镜底角为
o
α r = 84.23o
（1‐14 和 1‐15 略） 1‐16 解：此题考察布儒斯特现象，即当光束以布儒斯特角入射到某一界面表面时，反射光 只有 s 分量，为完全偏振光，则布儒斯特角为
tan θ B =
已知 n1=1.0，n2=1.76，则得到
n2 n1
θ B = 60.39o
v
v
v
v v i ⎡ωt −( k x + k y + k z )⎤ E = E0 e ⎣ x y z ⎦
将本题目中的平面波电矢量的表达式和上式进行比较，很容易得到如下对应关系，
v v v E0 = −2ax + 2 3a y
ω = 6 × 108
k x = − 3, k y = −1
I ts = 0.5 I i × 0.84332
同理可知，当经过 10 片玻片时，透射光中透射光中 s 分量和 p 分量的强度分别是
I tp = 0.5 I i I ts = 0.5I i × 0.843320 = 0.01654291395621I i
则透射光的偏振度为
Pt =
I tp − I ts I tp + I ts
λ=
υ
f
=
0.65 × 3 ×108 = 0.39 ( μ m ) 5 ×1014
c
n=
υ
=
1 = 1.538 0.65
1‐3 解：这一题目主要考核不同类型偏振光束的形成条件，具体参考教材 21‐22 页。 （1）振幅相同，相位差为π/2，所以为右旋圆偏振光。 （2）振幅相同，相位差为π/4，所以为右旋椭圆偏振光。 （3）相位差为−π，为线偏振光，在第一和第三象限。 （1‐4 至 1‐8 略） 1‐9 解：由教材 34 页的公式（1.2‐42）和（1.2‐43）很容易求出自然光入射情况下反射光与 透射光的偏振度，而其中的反射率和透射率可根据菲涅耳公式求出，见教材 28 页的公式 (1.2‐18\19\20\21)和 29 页的公式(1.2‐28\29\30\31)。 已知 n1=1.0，n2=1.52，根据正弦关系可根据入射角求出折射角
′ ′ ′ R′ p = 0.0000, Rs = 0.1567, Tp = 1.0000, Ts = 0.8433
综合上述分析结果可知，当假设入射光束为自然光，光束经过一个玻片（经过上下表面两次 反射和折射）后，透射光中 s 分量和 p 分量的强度分别是
I tp = 0.5 I i
因此，可确定电场的振幅大小为 E0 = E0 = 4 ，波矢大小为 k = k = 2 ，方向如下图所示。 另外，可进一步确定，
v
v
f =
ω 4 = ×108 Hz 2π π 2π λ= = π ( m)
k
（相位速度） υ =
ω
k
= 3 × 108 ( m / s )
1‐2 解：由教材第 9 页的公式(1.1‐23)可知，光场的振幅还可以表示为余弦函数的形式，即
第一章
光在各向同性介质中的传播特性
1‐1 解：由教材第 10 页的公式(1.1‐29)可知，以及图 1‐2(c)所示，单色平面波沿某一方向传播 时的复振幅为
v v i(ωt − kv •rv ) E = E0 e
v v v E0 为振幅矢量， ω 为角频率， k 为波矢， r 为位置矢量。将波矢和位置矢量表示成直角坐
1‐10 解：首先分析光束以布儒斯特角入射到一个玻片上时的情况：
入射光束在第一个界面上时，反射光只有 s 分量，根据 1‐9 题的计算可知：
R p = 0.0000, Rs = 0.1567, Tp = 1.0000, Ts = 0.8433
光束在第二个界面反射和折射时依然满足布儒斯特条件， 并根据教材第 51 页 1‐17 题的分析 结果可知，
cos θ1 sin 2 θ1 − n 2 sin 2 θ1
dθ1
= 1+
sin 2 θ1 cos 2 θ1 − (1 + cos 2 θ1 )( sin 2 θ1 − n 2 ) 2 × 1 cos 2 θ1 ( sin 2 θ1 − n 2 ) sin 3 θ ( sin 2 θ − n 2 ) 2 sin 4 θ1
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
我建议同学们通过编写程序来完成该题目，例如我在课堂上提供的 matlab 编写的程序。 程序为： ==================================== function Fresnel(n1,n2) n1=1.0; n2=1.52; % n1 为入射介质的折射率，n2 为透射介质的折射率。 % theta1 为入射角，theta2 为折射角 theta1=0*pi/180; theta2=asin(n1*sin(theta1)/n2); % 计算 s 分量和 p 分量的反射系数和透射系数； rs=‐sin(theta1‐theta2)/sin(theta1+theta2); rp=tan(theta1‐theta2)/tan(theta1+theta2); ts=2*cos(theta1)*sin(theta2)/sin(theta1+theta2); tp=2*cos(theta1)*sin(theta2)/sin(theta1+theta2)/cos(theta1‐theta2);
= 0.9359
（1‐11 略） 1‐12 解： 根据教材第 37 页的公式(1.2‐56)可知， 反射光中在入射面内振动和垂直入射面的两 束光之间的相位差满足如下关系
Δϕ = 2 arctan
对上式进行微分，可得
⎛ cos θ1 sin 2 θ1 − n 2 d ⎜ 2 arctan ⎜ sin 2 θ1 d ( Δϕ ) = ⎝ dθ1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1 1
利用基本的数学关系可以确定，上式在满足如下关系时
d ( Δϕ ) = 0 dθ1
即
2n 2 sin θ1 = 1 + n2
2
则要求
θ1 = arcsin
此时，
2n 2 1 + n2
1 − n2 2n
Δϕ = 2 arctan
1‐13 解：根据教材 36 页的公式（1.2‐47）可知，
% 计算 s 分量和 p 分量的反射率和透射率； Rs=rs^2; Rp=rp^2; Ts=n2/n1*cos(theta2)/cos(theta1)*ts^2; Tp=n2/n1*cos(theta2)/cos(theta1)*tp^2; % 计算当自然光入射时，反射光和透射光的偏振度。 Pr=abs((Rp‐Rs)/(Rp+Rs)) Pt=abs((Tp‐Ts)/(Tp+Ts)) End ========================================== 计算结果为 入射角（度） 折射角（度） 反射光的偏振度 折射光的偏振度 0 0.00 0.0000 0.0000 20 13.00 0.1669 0.0075 45 27.72 0.8236 0.0461 56°40′ 33.34 1.0000 0.8500 90 41.14 0.0000 0.3958
n −n Rn = 1 2 n1 + n2
又知 n1=1.0，n2=1.52，则可知
2
Rn = 4.26%
当光束以 45°入射时，则 θ 2 = 27.72 ，根据 35 页的公式(1.2‐45)可知
o
2 2 1 ⎡ sin (θ1 − θ 2 ) tan (θ1 − θ 2 ) ⎤ Rn = ⎢ 2 + ⎥ 2 ⎣ sin (θ1 + θ 2 ) tan 2 (θ1 + θ 2 ) ⎦