微积分 第三版 第七章 7.5幂级数

1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x
x

x
(0 x 1 及
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)
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S (x)
而
(0 x 1 及
ln (1 x) 1 , lim x 0 x
)
因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) , x
所以收敛域为 ( , ) .
1 n! lim 1 n (n 1) !

an lim n ! (2) R lim n an 1 n (n 1) !
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
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0
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例3.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由 比值审敛法求收敛半径.
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例4. 解: 令 级数变为
的收敛域.
1 an R lim lim 2 n n n an 1 n
1 2 n 1 (n 1)
2 n 1 (n 1) 2 lim n 2n n
当 t = 2 时, 级数为
当 t = – 2 时, 级数为
在以原点为中心、
为半径的对称区间内是收敛的
设
， 则在区间（-R，R）内幂级数收敛.
称R为幂级数的收敛半径. 在区间端点处，其收敛域发散需另行讨论 .
收敛半径R = +∞, 收敛区间（－∞ ，+ ∞ ） 收敛半径R = 0, 收敛域缩为一点，即只在 x = 0
例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1 lim n 1 n n 1
根值判别法成立
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备用题 求极限
解: 令
作幂级数
其中
易知其收敛半径为 1, 设其和为
则
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an 解: R lim n an 1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] .
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收敛;
发散 .
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例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
an R lim n an 1
n 1
an 1 1 2 (1) n an 2 2 (1)
能否确定它的收敛半径不存在 ?
3 1
2 6
, ,
n 为奇数 n 为偶数
答: 不能. 因为
n
lim
n
u n ( x) lim
n
n
x 2 (1) 2
n
当
时级数收敛 , 比值判别法成立
时级数发散 ,
说明: 可以证明
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2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;
3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
思考与练习
1. 已知
半径是多少 ? 答: 根据Abel 定理可知, 级数在 时发散 . 故收敛半径为 收敛 , 处条件收敛 , 问该级数收敛
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2. 在幂级数
中,
发散点的全体称为其发散域 .
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在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项 则在收敛域上有
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例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数 S(x)
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ） 或写作 x 1 . ,

n 0
an x bn x
n n n 0
n 0
(an bn ) x n ,
x R
S1 ( x ) S2 ( x )
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性质2. 设幂级数
及
的收敛半径分别为R1, R2 ,和函数为S1, S2 令 R min R1 , R2 ,
此级数发散;
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 , 故原级数的收敛域为
即 1 x 3 .
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三、幂级数的运算
性质1. 设幂级数 及
的收敛半径分别为R1, R2 , 和函数为S1(x), S2 (x) 令 R min R1 , R2 , 则有 :
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二、幂级数及其收敛性
形如：
的函数项级数称为幂级数, 其中数列 称为幂级数的系数 . 下面着重讨论 的情形, 即
1 , x 1 即是此种情形. 例如, 幂级数 x 1 x n 0
n
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幂级数
的收敛域
将级数的各项取绝对值，的正项级数
x [1, 0) (0 ,1)
S (x)
1,
x0
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例8. 解: 设 S ( x)
n2
n2 1 ,


x
n
则
1 1 1 n S ( x) x n 2 2 n 1 n 1
x x n 1 1 x n 1 2 n 2 n 1 2x n 2 n 1 x xn 1 xn 2 n 1 n 2x n 3 n
n 0
则有 :
an x n bn x n
n 0
a0b0 (a0b1 a1b0 ) x (a0b2 a1b1 a2b0 ) x
2
(a0bn a1bn1 a2bn 2 anb0 ) x
n
x R
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性质3 逐项求导
若幂级数
的收敛半径R , 和函数S (x) ,
则和函数在(-R,R)可导，且有
na x n 1 , S ( x) an x n
n n 0来自x ( R , R )
n 1
所得幂级数的收敛半径为R，端点处另行讨论.
x ( R , R )
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定理：幂级数
， 如果 则
当
时，（如果 l = 0，则换 该幂级数收敛；
为+∞）
当
时，该幂级数发散 .
证明： 将级数的各项取绝对值，的正项级数
当
时，
收敛，
级数
绝对收敛,
即：原级数收敛
当
时，
也就是说 显然：此时所给的幂级数各项的绝对值越来越大 ， 一般项 不趋近于 0 .
由级数收敛的必要条件可知：该级数发散. 由定理知：当 时，幂级数
[ 2 (n 1) ] ! 2 ( n 1) x 2 [ (n 1) ! ] u n 1 ( x) lim lim [ 2n] ! 2n n u n ( x ) n 2 x [n! ]
当4 x2 1 当4 x2 1
( 2 n 1)(2 n 2) 2 lim x 4 x2 n ( n 1 )2 时级数收敛 1 故收敛半径为 R . 2 时级数发散
x x n x (x )
n n 1


x x 1 x
n 1
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例7. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
xn 1 x n 1 S ( x) x n 0 n 1 n 0 n 1
则
故有 因此得
x n 1 S ( x) n 1 ( n 1) !

S (x)
e x S ( x) 0
S ( x) C e x
x
由S (0) 1得 S ( x) e , 故得
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例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
性质4 逐项积分
若幂级数
的收敛半径R , 和函数S (x) ,
则和函数在(-R, R)可积，且有：
0 S ( x) d x
x n 0


x n an x 0
dx
x ( R , R )
an n 1 x , n 0 n 1
所得幂级数的收敛半径为R，端点处另行讨论
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第三节
幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
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一、 函数项级数的概念
设 un ( x) (n 1, 2 ,) 为定义在区间 I 上的函数, 称
为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 收敛, 称 x0 为其收
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
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内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 也可通过换元化为标准型再求 . 2. 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算.
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1 x2 (x ) 2x 2
而
x x x n x n 1 dx n 1 n x dx x dx 1 x n 1 n 1 0 0 n 1 0

ln(1 x)
故
1 S 2
机动
例. 求幂级数
的和函数 . 设
解: 收敛半径 R＝1

x
0
n 1 n1 S ( x )dx x n 0 n 1

x 1 x
求导数： 所以
1 S( x) (1 x ) 2
端点处另行讨论
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例5.
的和函数 .
解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设