专题训练一全等三角形的性质和判定的综合

二、利用全等三角形解决与角有关的证明与计算问题 7．如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点， 且BM＝CN，AM交BN于点P. (1)求证：△ABM≌△BCN； (2)求∠APN的度数．
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BF＝BA，作 DF⊥BC交AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点G，连接GF，求证： DG平分∠AGF.
解：∵∠BAC＝90°，DF⊥BC，∴在Rt△ABD和Rt△FBD中，AB ＝BF，BD＝BD，∴Rt△ABD≌Rt△FBD(HL)，∴∠ADG＝∠GDF， AD ＝ DF ， 又 ∵ DG ＝ DG ， ∴ △ ADG≌△FDG(SAS) ， ∴ ∠ AGDቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝ ∠FGD，即DG平分∠AGF
4．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分 ∠DAB，∠CBA，BE的延长线交AD的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△AFE； (2)求证：AD＋BC＝AB.
解 ： (1)∵AE 平 分 ∠ DAB ， ∴ ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∵ BE 平 分 ∠ CBA ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ CBE ， ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ F ＝ ∠ CBE ， ∴∠ABE＝∠F，在△ABE和△AFE中，∵∠ABE＝∠F，∠BAE ＝ ∠ FAE ， AE ＝ AE ， ∴ △ ABE≌△AFE(AAS) (2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF，在△BCE和△FDE 中 ， ∵ ∠ CBE ＝ ∠ F ， BE ＝ FE ， ∠ BEC ＝ ∠ FED ， ∴ △ BCE≌△FDE(ASA) ， ∴ BC ＝ FD ， ∵ AD ＋ DF ＝ AF ， AB ＝ AF，∴AD＋BC＝AB
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是 AC的中点，将一块锐角是45°的直角三角板如图放置，使三角板 斜边的两个端点分别与点A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段 BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．
解：垂直且相等．证明：∵∠BAC＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45 °，∴∠EAB＝135°，∠EDC＝135°，∴∠EAB＝∠EDC，∵点 D 是 AC 的中点，∴DC＝12AC，∵AC＝2AB，∴AB＝21AC，∴DC＝AB，又 ∵AE＝ED，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴BE＝EC，∠AEB＝∠DEC， ∵∠AEB＋∠BED＝90°，∴∠BED＋∠DEC＝90°，∴∠BEC＝90°， 即 BE 与 EC 垂直且相等
解：(1)图①EF＝BE－DF，易证△ABE≌△DAF(AAS)，∴AE＝DF， BE＝AF，∴EF＝AF－AE，∴EF＝BE－DF (2)图②EF＋BE＝DF (3)图③BE＋DF＝EF
10．如图①，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝ CE，M，N分别为AE，BD的中点，连接CM，CN.
3．如图，AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果 AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
解 ： ∵ AD ， AF 分 别 是 两 个 钝 角 △ ABC 和 △ ABE 的 高 ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ AFB ＝ 90° ， ∵ AD ＝ AF ， AB ＝ AB ， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴DB＝FB，∵AC＝AE，AD＝AF， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴DC＝FE，∴DB－DC＝FB－FE， 即BC＝BE
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，且AE平分 ∠BAC，AF＝AB，求证：EF∥BC.
解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中， AE ＝ AE ， ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， AB ＝ AF ， ∴ △ ABE≌△AFE(SAS) ， ∴∠ABE＝∠AFE，又∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，又 ∵BD⊥AC，∴∠BAC＋∠ABE＝90°，∴∠C＝∠ABE，∴∠C＝ ∠AFE，∴EF∥BC
八年级上册数学（人教版）
专题训练(一) 全等三角形的性质和判定的综合
一、利用全等三角形解决与线段有关的证明与计算问题 1．如图，AB＝CD，BD＝AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC. 解：∵AB＝CD，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)， ∴∠ABC＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB⊥BC
6．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 解 ： (1) 延 长 AD 至 点 E ， 使 DE ＝ AD ， 连 接 BE ， 在 △ ACD 和 △ EBD 中 ， AD ＝ ED ， ∠ ADC ＝ ∠ BDE ， CD ＝ BD ， ∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE＝AC，∵AB＋BE＞AE，∴AB ＋AC＞2AD (2)由三角形三边关系得AB－BE＜2AD＜AB＋BE， ∴5－3＜2AD＜5＋3，∴1＜AD＜4
三、动态中的全等三角形 9．(2017·铜仁模拟)在正方形ABCD中，P是CD上一动点，连接PA， 分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F. (1)如图①，线段BE，DF，EF有怎样的数量关系？并说明理由； (2)如图②，若P点在DC的延长线上，那么BE，DF，EF又有怎样的 数量关系；(只写结论) (3)如图③，若P点在CD的延长线上，那么BE，DF，EF又有怎样的 数量关系．(只写结论)