简单的幂函数及函数的奇偶性
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o
问题3 f ( x) = x 的 图象关于原点 对称。
3
定义1：像这样 图象关于原点 对称的函数叫 做奇函数。
•
••
f ( ) = ( ) = －x = －f ( x) －x －x
3 3
x
？
探索 f (－x) 与 f (x) 的关系
• 定义2：如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个x， f 叫奇函数。 (x) f ( ) = －f,(那么函数 －x x) 都有
（2）判断函数奇偶性的方法和步骤
（3） 奇(偶)函数图像特点 作业： 课本
补充练习
（1）f (x) 是偶函数，且在区间[0，7]上是减函数， 增 则在区间[-7，0]上是 函数 （2）一次函数 f ( x) = ax + b 为奇函数，则 b = 0 。
分析： f (x)是奇函数 ∴ f ( ) = －f ( x) －x
即a(－x) + b = －ax－b
∴ b = －b
2b = 0
•
故b = 0
观察，从形式上找下列三个函数的特点。
y=x
概念:形如 y
=x
1 －1 y = (y = x ) x
y=x
2
(是常量)的函数叫作幂函数。
特点:①底数是自变量 x ②指数是常量 ③ x 的
பைடு நூலகம்
系数是1。
③④⑤ 练习：下列函数中，是幂函数的有______ 2 2 ②y= x +x ① y = 2x
y=x 3 ⑤y = x
(2) f ( x) = x4 + 2 的定义域是 R f ( ) = ( )4 + 2 = x4 + 2 －x －x ∴ f ( ) = f ( x) －x 故 f (x) 是偶函数 (3) y = x 2 , x ∈( 3， ] ，其定义域不关于原点对称 － 3 ∴ y x2 , x ∈ 3， 是非奇非偶函数 － 3
判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) =－2 x5 (2) f ( x) = x4 + 2 (1) f ( x) =－2 x5 的定义域是 R 解： 5 －2( )5 = 2x －x f( )= －x
∴ f ( ) =－f ( x) －x 故 f (x) 是奇函数
(3) y = x 2 , x ∈( 3， ] － 3
练一练
画出下列函数的图象,判断其奇偶性. 3 2 (1) y (2) y x , x (3,3] x 2 2 (3) y x 3 (4) y 2( x 1) 1
y o y x -3 o
3
y x o -3 x
y
1 -1 o
x
小结：这节课我们主要学习了
（1） 简单幂函数的概念和特点
说明: (1)当函数 f (x) 是奇函数或偶函数时称 函数具有奇偶性。 （2）由定义可知奇函数和偶函数的定义 域一定关于原点对称。 判断函数的奇偶性的步骤： 第一步：考查定义域是否关于原点对称，若不 对称，则该函数不具有奇偶性；若对称，则进 行第二步的判断。 第二步：法一、求出f (－x) ，若f (－x) = －f ( x)则该 函数是奇函数；若 f (－x) = f ( x) ，则该函数是偶函 数；否则函数是非奇非偶函数。 法二、对于容易画图象的函数也可利用 图象进行判断。
③
－4
④
1 y= 2 x
二、观察 f ( x) = x 的图象
2
y
f ( x) = x 2 的图象关于 Y轴 对称 问题1
o x 定义1：像这种图像关于Y轴对称的函数叫偶函数 问题2
？
f (1) = 1 f ( 1) = 1 － f (2) = 4 f ( 2) = 4 － f (3) = 9 f ( 3) = 9 － －x 探索 f ( ) 与 f (x) 的关系
f ( ) = ( ) = x = f ( x) －x －x
2 2
定义2：如果对于函数 f (x ) 的定义域内任意一个 －x 都有 f ( ) = f ( x) ,那么函数 f (x ) 就叫偶函数。
x
画出函数 f ( x) = x
x 的图象
3
… -2 -1 0 1 2 … f (x) … -8 -1 0 1 8 … y •
问题3 f ( x) = x 的 图象关于原点 对称。
3
定义1：像这样 图象关于原点 对称的函数叫 做奇函数。
•
••
f ( ) = ( ) = －x = －f ( x) －x －x
3 3
x
？
探索 f (－x) 与 f (x) 的关系
• 定义2：如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个x， f 叫奇函数。 (x) f ( ) = －f,(那么函数 －x x) 都有
（2）判断函数奇偶性的方法和步骤
（3） 奇(偶)函数图像特点 作业： 课本
补充练习
（1）f (x) 是偶函数，且在区间[0，7]上是减函数， 增 则在区间[-7，0]上是 函数 （2）一次函数 f ( x) = ax + b 为奇函数，则 b = 0 。
分析： f (x)是奇函数 ∴ f ( ) = －f ( x) －x
即a(－x) + b = －ax－b
∴ b = －b
2b = 0
•
故b = 0
观察，从形式上找下列三个函数的特点。
y=x
概念:形如 y
=x
1 －1 y = (y = x ) x
y=x
2
(是常量)的函数叫作幂函数。
特点:①底数是自变量 x ②指数是常量 ③ x 的
பைடு நூலகம்
系数是1。
③④⑤ 练习：下列函数中，是幂函数的有______ 2 2 ②y= x +x ① y = 2x
y=x 3 ⑤y = x
(2) f ( x) = x4 + 2 的定义域是 R f ( ) = ( )4 + 2 = x4 + 2 －x －x ∴ f ( ) = f ( x) －x 故 f (x) 是偶函数 (3) y = x 2 , x ∈( 3， ] ，其定义域不关于原点对称 － 3 ∴ y x2 , x ∈ 3， 是非奇非偶函数 － 3
判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) =－2 x5 (2) f ( x) = x4 + 2 (1) f ( x) =－2 x5 的定义域是 R 解： 5 －2( )5 = 2x －x f( )= －x
∴ f ( ) =－f ( x) －x 故 f (x) 是奇函数
(3) y = x 2 , x ∈( 3， ] － 3
练一练
画出下列函数的图象,判断其奇偶性. 3 2 (1) y (2) y x , x (3,3] x 2 2 (3) y x 3 (4) y 2( x 1) 1
y o y x -3 o
3
y x o -3 x
y
1 -1 o
x
小结：这节课我们主要学习了
（1） 简单幂函数的概念和特点
说明: (1)当函数 f (x) 是奇函数或偶函数时称 函数具有奇偶性。 （2）由定义可知奇函数和偶函数的定义 域一定关于原点对称。 判断函数的奇偶性的步骤： 第一步：考查定义域是否关于原点对称，若不 对称，则该函数不具有奇偶性；若对称，则进 行第二步的判断。 第二步：法一、求出f (－x) ，若f (－x) = －f ( x)则该 函数是奇函数；若 f (－x) = f ( x) ，则该函数是偶函 数；否则函数是非奇非偶函数。 法二、对于容易画图象的函数也可利用 图象进行判断。
③
－4
④
1 y= 2 x
二、观察 f ( x) = x 的图象
2
y
f ( x) = x 2 的图象关于 Y轴 对称 问题1
o x 定义1：像这种图像关于Y轴对称的函数叫偶函数 问题2
？
f (1) = 1 f ( 1) = 1 － f (2) = 4 f ( 2) = 4 － f (3) = 9 f ( 3) = 9 － －x 探索 f ( ) 与 f (x) 的关系
f ( ) = ( ) = x = f ( x) －x －x
2 2
定义2：如果对于函数 f (x ) 的定义域内任意一个 －x 都有 f ( ) = f ( x) ,那么函数 f (x ) 就叫偶函数。
x
画出函数 f ( x) = x
x 的图象
3
… -2 -1 0 1 2 … f (x) … -8 -1 0 1 8 … y •