仿射坐标系

中的坐标。若 OM (x, y, z) 为 M (x, y, z)。
，则点M的坐标记
由定义2.1知，点M在{O;e1,e2 ,e3}中的坐标为(x, y, z)
当且仅当
OM xe1 ye2 ze3.
以后我们把向量 a 在基e1, e2, e3 中的坐标也称为 a 在
仿射标架 {O;e1, e2, e3}中的坐标。
矢）。
定义2.1 空间中一个点O和一组基e1, e2 , e3合在一起称
为空间的一个仿射标架或仿射坐标系，简称标架，记
为 {O;e1, e2 , e3} ，其中，O称为原点，e1, e2 , e3 称为坐
标向量。对于空间中任一点M，把它的位置向量 OM
在基 e1, e2, e3 下的坐标称为点M在仿射标架{O;e1, e2 , e3}
称为空间中的一个基。根据定理1.2,对于空间中任一向
量 a ，存在唯一的数组（ x, y, z）,使
a xe1
我们把有序三元实数组(
yxe,2y,
zze3 ,
)称为a在基
e1, e2 , e3
下的坐标，记为 a (x, y, z)。
在空间中任意取定一点O，任意一点M与向量 OM
一一对应，我们把向量OM 称为点M的位置向量（或径
取定标架 {O;e1, e2 , e3}，设
a (a1, a2 , a3 ),b (b1,b2 ,b3 ) ，则容易证明下列命题
命题2.1 (1) a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3.)
(2)
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ).
取仿射标架 A; AB, AC, AD , 则各点的坐标分别为：
A(0,0,0), B(1,0,0),C(0,1,0), D(0,0,1),
B' 1 ,0,0,C' 0, 1 ,0, D' 0,0, 1 , 2 2 2
E 1 , 1 ,0, F 0, 1 , 1 , G 1 ,0, 1 . 2 2 2 2 2 2
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1).
设向量 a (a1, a2 , a3 ),b (b1,b2 ,b3 )，那么我们有
定理2.2 a与b 共线当且仅当 a与b 的对应分量成比
例。
思考题：设 Pi (xi , yi , zi ) i 1,2,3,推导三点共线
§2 仿射坐标系
向量法的优点在于比较直观，但是向量的运算不如数 的运算简洁，为了取长补短，我们给向量引进坐标，同 时也给点引进坐标，把向量法与坐标法结合起来使用。
1.标架、向量和点的坐标 2.用坐标作向量的线性运算
1.标架、向量和点的坐标
空间中任意三个有次序的不共面的向量组 e1, e2 , e3
空间中取定一个标架后，可知，空间中全体 向量的集合与全体有序三元实数组的集合之间就建立了 一一对应；通过位置向量，空间中全体点的集合与全体 有序三元实数组的集合之间也建立了一一对应的关系。
设{O;e1, e2, e3}为空间的一个标架，过原点O，且分 别以e1, e2, e3为方向的有向直线分别称为x轴、y轴、z轴，
1 l
1 l
1 l
解得k=l=1从而交点P存在，且P的坐标为
设
B'
F与C'G
交于
P'
,同理可得
P'

1
,
1
,
1
,

1 4
,
1 4
,
1 4
。
所以P与P'
重合，即 B' F, D' E,C'G 交于一点。 4 4 4
另法：先后求出 B' F, D' E,C'G 的中点坐标，知道它
的充要条件。
对于线段 P1P2 (P1 P2 ), 如果P点满足P1P PP2 ,
则称点P分线段P1P2 成定比 , 当 >0 时 P1P与PP2
同向，点P在线段P1P2 内，称P为内分点；当 <0时，
当P1P=与0时P，P2P与反P向1 ，重点合P。在假线若段P1
P2 外，称P为外分点；
=－1，则，
P1P PP2 ,即P1P2 0 ,这与P1 P2矛盾，
所以 ≠－1。
请读者自证下列命题：
命题2.1 设 Pi (xi , yi , zi ), i 1,2, 则分线段 P1P2 成定比
（ ≠ 1）的分点P的坐标是
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 . （2.3）
A
B'
D'
·G
D
B C' P
E
F
C 图1.12
假设B' F 与D' E 交于点P(x,y,z)，设
B' P kPF, D' P lPE, 则P的坐标为
1 k0
0k1
0k1
x 2
, y
2, z
2
1 k
1 k
1 k
0l1
0l1
1 l0
x
2, y
2, z 2
e3
O
e1
e2
右手系
e3
O
e2
e1
图1.11
左手系
定义2.2 如果e1, e2 , e3 是两两垂直的单位向量，
则{O;e1, e2 , e3} 称为直角标架或直角坐标系。
直角标架是特殊的仿射标架。点（或向量）在直
角标架中的坐标称为它的直角坐标，在仿射标架中的坐
标称为它的仿射坐标。
2.用坐标作向量的线性运算
统称为坐标轴。由每两条坐标轴决定的平面称为坐标平
面，它们分别是xOy,yOz,zOx平面。坐标平面把空间分
成八个部分，称为八个卦限（图1.10），z
在每个卦限内，点的坐标的符号 III
II
不变。
IV I
O VI y
VII x
VIII
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图1.10
将右手四指（拇指除外）从x轴方向弯向y轴方向 （转角小于π），如果拇指所指的方向与z轴方向在xOy 平面的同侧，则称此坐标系为右手系，否则称为左手系 （图1.11）。
们的坐标都相同，因而三线交于一点。
1
1
1
推论2.1 线段 P1P2 的中点坐标为
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 . （2.4）
2
2
2

例 用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点。
证明 设四面体ABCD（图1.12）的AB,AC,AD,BC,
CD,DB的中点分别为 B',C', D', E, F,G 。
(3)对于任意实数 ，有 a (a1,a2 ,a3 )
.
定理2.1 向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐 标。
证明 对于向量 AB ，设 A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 ) ，
则 OA (x1, y1, z1),OB (x2 , y2 , z2 ). 因为 AB OB OA， 所以