垂直与弦的直径

一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C


O B
(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。

解:连接OC.
设弯路的半径为 Rm , 则OF ( R 90) m. OE CD , 1 1 CF CD 600 300( m ). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理, 得
R 2 300 2 R 90 . D 解这个方程, 得 R 545. 这段弯路的半径约为545 m.
2
C
E F
●
O
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
练习：半径为５的圆中，有两条平行弦 AB 和CD，并且AB =６,CD=８，求AB 和CD间的距离.
C E
.O
F B
D
A C
F
B
.
O
E
D
A
(1)
(2)
做这类问题是，思考问题一定要 全面，考虑到多种情况.
1、已知： ⊙O的半径为6厘米，弦
AB与半径OA的夹角为30°.求：弦AB的长.
2、在直径为650毫 米的圆柱形油槽内装 入一些油后，截面如 图所示.若油面宽AB ＝600毫米，求油的 最大深度.
O A B
试一试
挑战自我填一填
1、判断：
驶向胜利 的彼岸
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条 弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （ √）
垂径定理
定理
C
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ AD=BD.
⌒
D
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
C
① B ② ③ ④ ⑤
经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
2 2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON HN , 即OH 3.9 1.5 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
A
M└
●
O
D
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
C
垂径定理及推论
条件 ①② ①③ 结论 命题
A
M└
●
B
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 .
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
A B
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长. O 6 O A
30°
C (2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分, 交点为 M , 求 弦 AB 的长.
E
B
A
M
B

例1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为 F,EF=90m.求这段弯路的半径.
（7）平分弦的直径垂直于弦
C B O A C B C O A D A O E D (6)
B
(4)
(5)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） _____________________________________________________ ， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 2 4 到AB的距离是___________cm ，AB=_________cm. A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
F
A
E
G
B
D
破镜重圆
A
m
n
C
·
O
B
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
A
B
第2题图
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其 中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的 个数为 （ A ） A A、3 B、2 C、1 D、0
。 O
C B D
1. 平分已知弧 AB . 你会四等分弧AB吗?
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 ,
O
N C
AC= 4 ,OA= 13
.
2.如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8， ⌒ D是AC的中点，连结CD，求CD的长. B O
A
E
C
D
3.如图为一圆弧形拱 桥，半径OA = 10m，拱 高为4m，求拱桥跨度AB 的长.
2 2
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
B
D
600
C
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 AB = 600mm，求油的最大深度.
D
A
O ┌ E
A
600
B
O ø650
D
B
D
600
C
C
M
E A
.O
小结:
B
A
ห้องสมุดไป่ตู้
C
. E
O
D
B
C A
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
C A D O B
4.一条排水管的截面如图所示 已知排水管的半径 OB=10 ， 水面宽 AB=16 .求水深.
E
D
5. 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂 足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能求出这面 镜子的半径吗？ C P
14 7
B
A O
求作弧AB的四等分点.
C m n
A
M
．
O
N C
B
3.在⊙ O中，直径CE⊥AB于D，OD=4㎝， 弦AC= 10 ㎝ ，求⊙ O的半径.
E
E
O
O
A
A
D
D
B
B
C
C
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦 长为8㎝,那么⊙o的半径是 5㎝
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 那么⊙O的半径为 5 Cm 4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
挑战自我
1. 如图，⊙O 与矩形 ABCD 交于 E , F ,G ,H ， AH=4, HG=6,BE=2.求EF的长.
A
4 2
E
H
6
M 0
·N
G
D
B
F
C
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
练习:如图，CD为圆O的直径，弦AB交 CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝， CE=3㎝，求弦AB的长.
A D
F E O C B
提高练习: 1．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 ． 2或14 2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．