牛顿迭代法在工程计算中的应用

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图1

牛顿迭代法在工程计算中的应用

李红军　(天津水利水电勘测设计研究院　300222)

在工程计算中经常遇到需要试算的一些公式,例如在灌注桩内力配筋计算中,需要求解地面至第一弹性0点的距离,该公式是一个一元四次方程,用常规方法进行了多次试算才能得到解。且试算法往往带有盲目性,计算繁杂,工作量大。随着计算机的日益普及,利用牛顿迭代法,编写一段程序即可求解,精度可满足工程的需要。1　牛顿迭代法原理

牛顿迭代公式为:

X n +1=X n -f (X n ) f ’(X n )(1)从图1可以看出,在几何意义上,f ’

(x 1)是曲线f (x )在x =x 1点处的切线斜率,即:

f ’

(x 1)=f (x 1) (x 1-x 2)(2)因此,如果给出x 1和f (x ),先找到f (x 1),在通过f (x 1)作切线,求出x 2:

x 2=x 1-f (x 1) f ’

(x 1)(3)x 2是上述切线与横轴的交点。求出x 2后再找出f (x 2),通过f (x 2)作切线,与横轴交于x 3。f ’(x 2)是通过f (x 1)的切线斜率。如此一直求下去,直到接近真正的根。2　程序流程图

用F 代表f (x 1)的值,F 1代表f ’(x )的值,N 代表迭代的次数。给出x 的初值,先把它赋给x 1,然后用公式(3)求出x 2(程序中用x 代表)。再将新求出的x 2(程序中的x )作为下一次迭代的x 1,再去求新的x 2,

直到满足精度要求,得到方程的根。

3　应用实例

　311　在灌注柱内力及配筋计算上的应用(“

K ”)。计算中需求出地面至第一弹性0点的距离t ,计算公式如下:

0105Α3t 4-015Αt 2-t -1 2Α=0

(4)程序用Basic 语言编制,代码如下:10i n put x 20N =130x 1=x

40F =0.5Α3x 4-015Αx 2-x -1 2Α

50F 1=0.2Α3x 3

-Αx -160x =x 1-F F 170N =N +1

80if abs (x -x 1)<=10E -6then goto 3090t =x :pr i n t t 100end

　312　在水闸波浪压力计算上的应用

计算中需求出波长L L ,其计算公式如下:

L L =gT 2th (2ΠH L L )

2Π(5)th (x )=(e x -e -x ) (e x +e -x )(6)th ’(x )=4

(e x +e -x )2(7)令A =gT 2 2Π(8)x =2ΠH L L (9)则F =2ΠH x -A th (x )(10)F 1=-2ΠH x 2-A th ’(x )(11)

程序代码如下:

10i n put x 20N =130x 1=x

40F =2ΠH x -A (e x -e -x ) (e x +e -x )50F 1=-2ΠH x 2-4A

(e x +e -x )260x =x 1-F F 170N =N +1

80if abs (x -x 1)<=10E -6then goto 3090L L =2ΠH x :pr i n t L L 100end 4　结语

牛顿迭代法基本上可以解决工程计算中的试算问题,本文提供的原代码起到一个抛砖引玉的作用,在此基础上再编写一些代码,便可完成一个完整功能模块。本人已编写了《灌注桩内力及配筋计算程序》及《水闸波浪压力计算程序》,在屈家店枢纽永定新河进洪闸加固工程得到了应用,工作效率有了很大的提高。

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