【线性系统课件】传递函数矩阵的零极点

M ( s ) U ( s ) G ( s )V ( s ) E ( s ) r 1 ( s ) 1 ( s ) 0 0
1
1 1
(s) 0 I
1


r (s)
0
r (s)
0
则
G (s) U [U
2
,
( s 1)
2
,
2 ( s 1)( s 2 ) 母为 ( s 1 )( s 2 ) ( s 1 )
2
所以 , p ( s ) ( s 1)( s 2 ) ( s 1) G ( s )的极点为 1, 2 , 2 ,1
（2）求零点 上边的2阶子式以p(s)为分母，则有
y ( t ) re
t
, t 0 , r 为非零常数
证明： t y ( t ) re 必要性：由是g(s)的极点 是g(s)的极点》》 是A的特征值 设v是与相关联的特征向量，即 （ I-A）v=0
则（sI-A)v=(sI-A)v-(I-A)v=(s- )v
v 1 s ( sI A ) v
1 ( ) 2 ( ) r ( )
称 { 1 ( ), 2 ( ), , r ( )} 为 G ( s ) 在 处的结构指数 .
例: s ( s 1) 2 ( s 2 ) 2 M (s) 0 S zp { 2 , 1, 0 } M ( s ) diag { (s 2) 2 所以 , 2 处的结构指数为 1处的结构指数为 0 处的结构指数为 { 2 , 1} { 2 ,0} {1, 2 } 0 2 s s 2
sI A v 0 c
但已有（ I-A）v=0，故cv0 必要性得证。
充分性：由
y ( t ) re
t
导出是g(s)的极点。
1
y ( s ) c ( sI A ) 即: 1 det( sI A )
x (0) r ( s )
1
c adj ( sI A ) x ( 0 )
1 s 2 0
G(s)的零点为s=-2, rankG(-2)=rankG(s) 因此，不能误把rankG(s)降秩与否作为判断G(s)零点的依据。
三. 传递函数矩阵的零极点的性质
1. 关于极点 SISO系统：考虑具有正则传递函数g(s)及不可简约实现 —{A,b,c,d}的单变量系统 定理：数是g(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初 始状态 x 0 ，使得系统的零输入响应
G ( s )的极点 G ( s )的零点 det( sI A ) 0的根 sI A 使 C B 降秩的 s 值 0
3. 方便计算的定义 （1）G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是G(s)的极点多项 式，记为p(s)，p(s)=0的根，即为G(s)的极点。 （2）当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分子的首1最 大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)，z(s)=0的根，即为 G(s)的零点。 注：各阶子式必须化为不可简约形式。
1
描述 G ( s ) N ( s ) D ( s ) E ( s )W ( s )
( s )中 ,
D ( s ) D 0 ( s ) W ( s ) V ( s ) r ( s )W ( s ) 故 rankN ( s ) rankE ( s ), det D ( s ) c det r ( s ) 由 Rosenbrock G ( s )的零点 定义 , i ( s ) 0的根 , i 1, 2 , r
定义：零点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那 些s值。 极点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为的 那些s值。 显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值； 极点是使G(s)的模为 的那些s值。
Байду номын сангаас
对MIMO系统，则要复杂得多。
一. Rosenbrock对零极点的定义
给定
G ( s ) q p , rankG ( s ) r min( q , p ), 其 Smith Mcmillan
8. 传递函数矩阵的零极点
8.1 极点和零点
SISO系统：
K G (s)

i 1 n
m
(s zi )

j 1 m
(s p j )
以 ( s z i ) 0的根 z i 作为 G ( s )的零点 ;
i 1

j 1
n
( s p j ) 0的根 p j 作为 G ( s )的极点 .
• 例如
s ( s 1) 2 ( s 2 ) 2 G (s) s 2 (s 2) Smith Mcmillan 形
2 (s 2) s 2 (s 2) s
s ( s 1) 2 ( s 2 ) 2 M (s) 0

M (s)


diag {( s )
1 ( )
, ,( s )
r ( )
}
i ( ) 为包括 0 在内的整数
由 i ( s ) | i 1 ( s ),
i 1
( s ) | i ( s ) 可知 , { i ( )} 是一个非降序列
cx 0 0 的 x0 , u 0 , ( z 0 I A ) x 0 Bu 0 系统对 u ( t ) u 0 e 0 的一类输入
z t
, 输出 y ( t )
恒为 0 .
阻塞传输性。 所以，前面定义的零点也叫传输零点。
8.2 结构指数
rank G(s)=r
1(s) ( s ) 1 M (s) i (s) 0 diag i ( s ) 0 0
1(s) ( s ) 1 U ( s ) G ( s )V ( s ) M ( s ) 0 0
形为

r (s) r (s)
0
定义：G(s)的极点为M(s)中 i ( s ) 0 的根，i=1,2,…,r G(s)的零点为M(s)中 i ( s ) 0 的根，i=1,2,…,r
( s 2 )( s 1 )
2
( s 1)( s 2 ) ( s 1 ) ( s 1)( s 2 ) ( s 1 ) ( s 1)( s 2 ) ( s 1 )
2 2
,
( s 1)
2
,
2 ( s 2 )( s 1)
分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。
, 也无极点
（2）零极点的重数 在s=处的极点重数={ i ( ) }中负指数之和取绝对值 在s=处的零点重数={ i ( ) }中正指数之和
1 1
( s ) M ( s )V
1
(s) U
1
1
(s) E (s) r
1
1
( s )V
1
(s)
( s ) E ( s )][ V ( s ) r ( s )]
1
N 0 (s)D0 (s) MFD
1
G ( s ) N 0 ( s ) D 0 ( s ) 为右不可简约 另一不可简约矩阵分式 N ( s ) N 0 ( s )W ( s ) U
对MIMO系统，有相同的结论。 即：考虑具有正则传递矩阵G(s)及不可简约实现{A,B,C,D} 的多变量系统。数是G(s)的极点的充分必要条件是，存 在一个初始状态x0，使得系统输出端的零输入响应为 t y ( t ) re ，其中r为非零向量。 2. 关于零点 证明见书 G(s)<<>>{A,B,C} 满足
i

}
i
( s 1) 2 1 (s 2)
s1 0 ( s 1)
2 s
• 几点讨论 （1）不管是零点，还是极点，统一表达成一个对角阵形式。
i ( ) 0 在 处有零点 i ( ) 0 在 处有极点 i ( ) 0 在 处既无零点
几点讨论： （1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时， 可以不形成对消。例
s 2 s3 G (s) 0 1 s 2 0
（2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一 元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极 点。“一致性”
使 E ( s )降秩的 s 值 使 N ( s )降秩的 s 值
而
G ( s )的极点 i ( s ) 0的根 , i 1, 2 , r det r ( s ) 0的根 det D ( s ) 0的根
对左不可简约MFD有同样的结论。 2. G(s)严格真时，对应的状态空间描述{A,B,C}能控，能观 则
r s
( s ) c adj ( sI A ) x ( 0 ) r det( sI A ) 当 s 时 , 左边为 0 , 右边 r det( sI A ) 0 故 是 A 的特征值 , 也是 g ( s )的极点 .
定理的意义： t • 若是g(s)的极点，则能用初始状态在输出端产生模态 e 而不必施加任何输入； t e • 若不是g(s)的极点，则这是不可能的。在输出端产生 的唯一途径是在输入端施加 e t

r (s) r (s)
0
0 0
定义： S zp { s | s C , i ( s ) 0 , i ( s ) 0 , i 1, 2 , , r } 则 S zp 是G(s)的有限极点和零点的集合。
diag {
i

}可表为
i
S zp
例：
1 s 1 G (s) 1 s 1 rankG ( s ) 2 ( s 1)( s 2 ) 1 s2 s 1
0 1 s2
（1）求极点 G(s)的一阶子式即为其各个元素 G(s)的二阶子式为
1 ( s 1)( s 2 ) ( s 1)( s 2 ) 可见 , 其各阶子式的最小公分
1
系统输出
y ( s ) c ( sI A )
1
x (0) 1 s
t
取 x (0 ) v,
c ( sI A ) v cv
故当 t 0 时 , y ( t ) cve
re
t
r=cv是不为0的常数？！ {A，c}能观：由PBH秩判据，等价于[sI-A’,c’]满秩，sC 对非零向量v，应有
0 2 s (s 2)
所以，零点：s=0处有三个零点； 极点：s=-1处有两个零点； s=-2处有三个极点。
二. 其它对零极点的定义
1. 不可简约矩阵分式描述 G ( s ) N ( s ) D ( s ) A ( s ) B ( s ) G(s)的极点：detD(s)=0的根，或，detA(s)=0的根 G(s)的零点：使N(s)或B(s)降秩的s值。 该定义等价于Rosenbrock定义。 证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则
（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相 同。 （4）若s=是G(s)的零点，则必有
rankN ( s ) | s rankG ( s ) rankB ( s ) | s rankG ( s )
但不一定rankG(s= )<rankG(s).
如：
s 2 s3 G (s) 0