容斥原理

【思路点拨】内科150人中包括内、外科都求诊 的18人；外科92人中也包括内、外科都求诊的18 人；内、外科都求诊的18人被重复计数，根据容 斥原理应减去重复部分。150+92-18=224（人）。
4.在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人， 参加径赛的有12人，参加田赛又参加径赛 的有7人，没有参加比赛的有21人，那么甲 班共有（ ）人。 41
脑筋急转弯：一张照片上有两对父 子，数数却只有三个人,为什么？
2＋2＝3？ 2＋2－1＝3
在计数时，必须注 意无一重复，无一遗漏。 为了使重叠部分不被重复 计算，人们研究出一种新 的计数方法，这种方法的 基本思想是：先不考虑重 叠的情况，把包含于某内 容中的所有对象的数目先 计算出来，然后再把计数 时重复计算的数目排斥出 去，使得计算的结果既无 遗漏又无重复，这种计数 的方法称为容斥原理。
【思路点拨】第一次测验中26人满分，包括两次
测验中都得满分的学生；第二次测验中21人满分，也包 括两次测验中都得满分的学生；两次测验中都得满分的 学生被重复计数，因此，就出现比全班50人多的现象， 多的部分就是被重复计数的那部分——两次测验中都得 满分的学生。26+21+17-50=14
每道题答题时间60秒
【思路点拨】 会骑自行车的68人，包括既会 骑车又会游泳的； 会游泳的62人也包括既会 骑车又会游泳的；既会骑车又会游泳的人被重 复计数，因此，就出现比全单位85人多的现象， 多的部分就是被重复计数的那部分——既会骑 车又会游泳的人。68+62+12-85=57（人）
聪明之星
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【思路点拨】
先求出两个大正方形的面积， 分别是：3×3=9（平方厘米）； 2×2=4（平方厘米），中间重 复的小正方形面积是 1.5×1.5=2.25 （平方厘米）。 根据容斥原理，可得所求覆盖 面积为：9+4-2.25=10.75（平 方厘米）。
3
1.5
2
3.某门诊部统计某一天挂号的病人，内科150 人，外科92人，其中内、外科都求诊的18 人，这一天共来了（224 ）个病人。
1.从1到200中能被3或5整除 的整数共有（ 93 ）个。
• A类元素的个数=200÷3=66（个）……2 • B类元素的个数=200÷5=40（个） • 既是A类又是B类元素的个数=200÷15=13 （个）……5
根据容斥原理：66+40-13=93
2.两个正方形的纸片盖在桌面上，位置与 尺寸如图所示，则它们盖住面积是（10.75 ） 平方厘米。
1
2
3
4
5
规 律 小 结
①在计数时，常常遇到这样的情 况，作合并运算时会把重复的部 分多算，需要减去；作排除运算 时会把重复的部分多减，需要加 上，这就是容斥原理。
口诀： 计算总数，包含排除； 分项计数，减去重复； 如果多减，莫忘找补。
中国留学生学习成绩往往比 一起学习的美国学生好得多，然 而十年以后，科研成果却比人家 少得多，原因就在于美国学生思 维活跃，动手能力和创造精神强。
如果被计数的事物有AB两类，那么A 类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元 素个数－既是A类又是B类的元素个数
?
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（1）C=A+B-AB（相交部分）
A AB
B
C
1.某班50名学生，在第一次测验 中26人满分，在第二次测验中21 人满分，如果两次测验中都没有 得到过满分的学生有17人，那么， 两次测验中都获得满分的人数是 14 （ ）人。
【思路点拨】参加田赛的有15人包括既参加田赛 又参加径赛的7人；参加径赛的有12人也包括既 参加田赛又参加径赛的7人；既参加田赛又参加 径赛的7人被重复计数，根据容斥原理应减去重 复部分。15+12+21-7=41（人）。
5.某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行 车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12人，则既会骑车又会游泳的有（57）人。
容斥原理
例1：从1到20中2或3的倍数的个数 共有（ ）个。 [解] 2的倍数是：2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20。 10个 3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个
但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13
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全班50人
第一次测验
第二次测验
26
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21 17